Jednym z najsłynniejszych problemów teorii liczb i matematyki w ogóle jest wielkie twierdzenie Fermata (nazywane także jego ostatnim twierdzeniem).
Treść twierdzenia jest następująca:
Nie istnieją liczby naturalne dodatnie, które byłyby rozwiązaniem równania \(x ^{n} + y^n =z^n\) dla liczby naturalnej \(n>2\).
Dla \(n=1\) problem jest trywialny: sumując dowolną parę liczb naturalnych otrzymujemy trzecią liczbę naturalną.
Dla \(n=2\) równanie przybiera postać twierdzenia Pitagorasa: \(x^2+y^2=z^2\), dla którego rozwiązania w liczbach naturalnych nazywamy trójkami pitagorejskimi. Przykładem takiej trójki są liczby 5, 12 i 13 lub 3, 4 i 5 tworzące tzw. trójkąt egipski. Trójek takich jest nieskończenie wiele, zatem dla przypadku n = 2 istnieje nieskończenie wiele rozwiązań równania Fermata.
Dla \(n>2\), a zatem \(n=3\), \(n=4\), itd. problem nie jest już tak prosty. Fermat nie był w stanie znaleźć ani jednej trójki spełniającej to równanie dla n większych od 2.
Równania tego typu - tzn. których rozwiązań poszukujemy wyłącznie wśród liczb całkowitych (w tym: naturalnych) nazywamy równaniami diofantycznymi, od nazwiska greckiego matematyka Diofantosa z Aleksandrii. Diofantos był autorem dzieła Arithmetica, które dało podwaliny pod dalszy rozwój teorii liczb - w szczególności skupiało się właśnie na rozwiązywaniu równań w liczbach całkowitych. Równania tego typu wydają się być proste, jednak ich rozwiazywanie wcale tak proste nie jest - o czym m.in. świadczy historia zmagań z wielkim twierdzeniem Fermata.
Fermat po raz pierwszy przedstawił to twierdzenie w roku 1637 lecz opublikowano je dopiero 33 lata później, w roku 1670 - zostało odnalezione po śmierci Fermata w jego notatkach. Tam też pojawił się słynny dopisek: znalazłem doprawdy zadziwiający dowód tego twierdzenia, jednakże margines jest zbyt mały by go pomieścić - słowa te należą do najbardziej znanych cytatów w środowisku matematycznym. Czy Fermat faktycznie miał w rękawie tak zdumiewający dowód o jakim pisał? Najprawdopodobniej nie (choć przypuszcza się, że dla przypadku n = 4 faktycznie mógł znać dowód). Świadczy o tym między innymi fakt, że...
Mimo wielu prób podejmowanych na przestrzeni stuleci, dopiero w 1994 roku twierdzenie udało się udowodnić - dokonał tego brytyjski matematyk Andrew Wiles, używając technik, o których w czasach Fermata nikt nie byłby w stanie jeszcze pomyśleć. Można więc powiedzieć, parafrazując Erdősa, że twierdzenie to było jednym z problemów, na które (współczesna Fermatowi) matematyka nie była jeszcze gotowa. Choć przecież jego sformułowanie nie jest wcale przesadnie trudne. W tym właśnie tkwi piękno i potęga matematyki, a w szczególności teorii liczb, nazywanej przez Gaussa (który sam nosił miano księcia matematyków) królową matematyki.
Znaczenie wielkiego twierdzenia Fermata polega bardziej na tym, że przez lata rozpalało wyobraźnię wielu pokoleń matematyków, niż na jego praktycznym zastosowaniu. Przyjrzyjmy się historii prób jego udowodnienia (udanych, częściowo udanych oraz nieudanych):
- 1637 - Fermat formułuje twierdzenie w dopisku na marginesie swojego egzemplarza Arithmetici Diofantosa.
- 1670 - 5 lat po śmierci Fermata twierdzenie zostaje przedstawione światu - jest to jak wyzwanie rzucone matematykom, którzy odtąd będą próbować swych sił w starciu z tą prostą jak się z pozoru wydaje zagadką.
- 1753 - Euler udowadnia twierdzenie dla n = 3.
- 1825 - Legendre i Dirichlet niezależnie od siebie udowadniają twierdzenie dla n = 5 (Dirichlet był także autorem dowodu dla przypadku n = 14).
- 1839 - Lame udowadnia twierdzenie dla n = 7 (sądził, że znalazł pełny dowód, jednak był w błędzie - udowodnił jedynie przypadek n = 7).
- 1843 - Kummer ogłasza dowód twierdzenia, jednak Dirichlet znajduje błąd w dowodzie. Mimo to Francuska Akademia Nauk przyznaje Kummerowi nagrodę w wysokości 3000 franków za ambitną próbę udowodnienia twierdzenia. Dowód Kummera był poprawny dla wszystkich liczb pierwszych mniejszych od 100 - oprócz 37, 59 i 67 - a także dla niektórych innych wartości. Zmagania Kummera z twierdzeniem Fermata wniosły do matematyki wiele nowych technik i pomysłów, których znaczenie zdaniem niektórych jest dużo większe, niż samego rozstrzygnięcia prawdziwości hipotezy Fermata.
- 1907 - Von Lindemann (matematyk, który wykazał przestępność liczby \( \pi \)) ogłasza dowód, również błędny.
- 1908 - Wolfskehl oferuje nagrodę za pełne rozwiązanie uzyksane w ciągu najbliższych 100 lat (100 000 marek) - na przestrzeni lat nadesłano około 5000 dowodów, żaden nie był poprawny.
- 1993 - Wiles wygłasza w Cambrige wykład o teorii krzywych eliptycznych, w którym zwiera dowód twierdzenia Fermata. Niestety - jego dowód także zawierał błąd. Wiles na rok odciął się od świata by pracować nad luką w dowodzie.
- 1994 - Wiles ogłasza poprawny dowód, zgarnia nagrodę Wolfskehla oraz na trwałe zapisuje się na kartach historii matematyki. Dowód Wilesa zajmował około 100 stron (został opublikowany w 1995 roku).
Jak zatem widać historia zmagań z twierdzeniem jest imponująca. Jest to problem, którego sformułowanie jest wyjątkowo proste, jednak na dowód świat matematyczny czekać musiał ponad trzy wieki.
Historie takie jak powyższa ukazują zupełnie inne, przeważnie niespotykane w szkole oblicze matematyki. Matematyka jawi nam się jako dziedzina pełna interesujących osobowości ale też jako pole walki, na którym zanim nieliczni odniosą sukces - wielu musi polec. Czy Fermat faktycznie znał zadziwiający dowód swojego twierdzenia? Prawdopodobnie prawdziwy jest któryś z następujących scenariuszy. Najpewniej "dowód" Fermata był po prostu błędny. Możliwe, że Fermat zdał sobie sprawę z błędu tkwiącego w rzekomym dowodzie, toteż tematu dopisku na marginesie nigdy nie kontynuował. Niektórzy uważają też, że pisząc te słowa Fermat po prostu blefował. Jak było na prawdę - nie dowiemy się nigdy.
Istotne jest natomiast to, że stosunkowo prosta zagadka była inspiracją do zajmowania się matematyką dla tak wielu. Andrew Wiles pierwszy raz usłyszał o twierdzeniu (wówczas jeszcze będącym hipotezą) gdy jako dziesięciolatek wertował książki matematyczne w bibliotece w Cambridge.
Niewykluczone, że już dziś po świecie chodzą podobni Wilesowi śmiałkowie, których udziałem stanie się udowodnienie na przykład hipotezy Riemanna lub problemu Collatza. A może któryś z nich postawi problem równie rozpalający umysły co twierdzenie Fermata i taki, na którego rozwiązanie matematycy czekać będą musieli kolejne trzy wieki?