Wielkie Twierdzenie Fermata

Jednym z najsłynniejszych problemów teorii liczb i matematyki w ogóle jest wielkie twierdzenie Fermata (nazywane także jego ostatnim twierdzeniem).

Treść twierdzenia jest następująca:

Nie istnieją liczby naturalne dodatnie, które byłyby rozwiązaniem równania dla liczby naturalnej .

Dla problem jest trywialny: sumując dowolną parę liczb naturalnych otrzymujemy trzecią liczbę naturalną.

Dla równanie przybiera postać twierdzenia Pitagorasa: , dla którego rozwiązania w liczbach naturalnych nazywamy trójkami pitagorejskimi. Przykładem takiej trójki są liczby 5, 12 i 13 lub 3, 4 i 5 tworzące tzw. trójkąt egipski. Trójek takich jest nieskończenie wiele, zatem dla przypadku n = 2 istnieje nieskończenie wiele rozwiązań równania Fermata.

Dla , a zatem , , itd. problem nie jest już tak prosty. Fermat nie był w stanie znaleźć ani jednej trójki spełniającej to równanie dla n większych od 2.

Równania tego typu - tzn. których rozwiązań poszukujemy wyłącznie wśród liczb całkowitych (w tym: naturalnych) nazywamy równaniami diofantycznymi, od nazwiska greckiego matematyka Diofantosa z Aleksandrii. Diofantos był autorem dzieła Arithmetica, które dało podwaliny pod dalszy rozwój teorii liczb - w szczególności skupiało się właśnie na rozwiązywaniu równań w liczbach całkowitych. Równania tego typu wydają się być proste, jednak ich rozwiazywanie wcale tak proste nie jest - o czym m.in. świadczy historia zmagań z wielkim twierdzeniem Fermata.

Fermat po raz pierwszy przedstawił to twierdzenie w roku 1637 lecz opublikowano je dopiero 33 lata później, w roku 1670 - zostało odnalezione po śmierci Fermata w jego notatkach. Tam też pojawił się słynny dopisek: znalazłem doprawdy zadziwiający dowód tego twierdzenia, jednakże margines jest zbyt mały by go pomieścić - słowa te należą do najbardziej znanych cytatów w środowisku matematycznym. Czy Fermat faktycznie miał w rękawie tak zdumiewający dowód o jakim pisał? Najprawdopodobniej nie (choć przypuszcza się, że dla przypadku n = 4 faktycznie mógł znać dowód). Świadczy o tym między innymi fakt, że...

Mimo wielu prób podejmowanych na przestrzeni stuleci, dopiero w 1994 roku twierdzenie udało się udowodnić - dokonał tego brytyjski matematyk Andrew Wiles, używając technik, o których w czasach Fermata nikt nie byłby w stanie jeszcze pomyśleć. Można więc powiedzieć, parafrazując Erdősa, że twierdzenie to było jednym z problemów, na które (współczesna Fermatowi) matematyka nie była jeszcze gotowa. Choć przecież jego sformułowanie nie jest wcale przesadnie trudne. W tym właśnie tkwi piękno i potęga matematyki, a w szczególności teorii liczb, nazywanej przez Gaussa (który sam nosił miano księcia matematyków) królową matematyki.

Znaczenie wielkiego twierdzenia Fermata polega bardziej na tym, że przez lata rozpalało wyobraźnię wielu pokoleń matematyków, niż na jego praktycznym zastosowaniu. Przyjrzyjmy się historii prób jego udowodnienia (udanych, częściowo udanych oraz nieudanych):

- 1637 - Fermat formułuje twierdzenie w dopisku na marginesie swojego egzemplarza Arithmetici Diofantosa.

- 1670 - 5 lat po śmierci Fermata twierdzenie zostaje przedstawione światu - jest to jak wyzwanie rzucone matematykom, którzy odtąd będą próbować swych sił w starciu z tą prostą jak się z pozoru wydaje zagadką.

- 1753 - Euler udowadnia twierdzenie dla n = 3.

- 1825 - Legendre i Dirichlet niezależnie od siebie udowadniają twierdzenie dla n = 5 (Dirichlet był także autorem dowodu dla przypadku n = 14).

- 1839 - Lame udowadnia twierdzenie dla n = 7 (sądził, że znalazł pełny dowód, jednak był w błędzie - udowodnił jedynie przypadek n = 7).

- 1843 - Kummer ogłasza