Strona główna

/

Matematyka

/

Różniczka zupełna

Różniczka zupełna

W przypadku funkcji jednej zmiennej definiowaliśmy pojęcie różniczki funkcji. W przypadku funkcji wielu zmiennych, możemy zdefiniować tzw. różniczkę zupełną.

W tym celu zdefiniujmy najpierw pochodną funkcji w kierunku wektora.

Definicja:

Pochodną funkcji $f$ w punkcie $x^0$ w kierunku wektora $a$ nazywamy $\frac{ \partial f}{ \partial a} (x^0)=f_a'(x^0)= \nabla f(x^0) \circ \frac{a}{||a||}$ , gdzie $\circ$ oznacza iloczyn skalarny wektorów a $|| \cdot ||$ normę wektora.

Przykład:

Policzymy pochodną funkcji $f(x,y)=xy \ln (xy)$ w punkcie $x^0=(e,e)$ w kierunku wektora $a=(1,2)$ .

Wyznaczmy pochodne cząstkowe:

$f_x'=(xy)_x' \cdot \ln(xy)+xy(\ln (xy))_x'=y\ln(xy)+xy \cdot \frac{1}{xy} \cdot y =y \ln(xy)+y$

$f_y'=(xy)_y' \cdot \ln(xy)+xy(\ln (xy))_y'=x\ln(xy)+xy \cdot \frac{1}{xy} \cdot x =x \ln(xy)+x$

Następnie obliczmy ich wartość w punkcie $x^0=(e,e)$ :

$f_x'(e,e) =e \ln(e^2)+e=3e$

$f_y'(e,e) =e \ln(e^2)+e=3e$

Teraz wyznaczymy wektor $\nabla f(x^0)$ , a zatem gradient funkcji $f$ w punkcie $x^0$ :

$\nabla f(e,e)=(3e,3e)$

Norma wektora $a=(1,2)$ : $||a||= \sqrt{1^2+2^2} = \sqrt{5}$ .

$\frac{a}{||a||} =( \frac{1}{ \sqrt{5} } , \frac{2}{ \sqrt{5} } )$

Ostatecznie mamy więc

$f_a'(e,e)=(3e,3e) \circ (\frac{1}{ \sqrt{5} } ,\frac{2}{ \sqrt{5} } )= \frac{3e}{ \sqrt{5} } +\frac{6e}{ \sqrt{5} } =\frac{9e}{ \sqrt{5} } =\frac{9 \sqrt{5}e}{5 }$

Różniczkę zupełną funkcji definiujemy następująco.

Definicja:

Różniczką zupełną I rzędu funkcji $f(x_1,x_2,...,x_n)$ w punkcie $x^0$ nazywamy wyrażenie

$df(x^0)= \sum_{i=1}^{n} f'_{x_i}(x_0) \cdot dx_i$ .

A zatem różniczka to suma iloczynów pochodnych cząstkowych przez przyrosty zmiennej.

Prawdziwy jest następujący wzór aproksymacyjny:

$f(x_1^0+dx_1,x_2^0+dx_2,...,x_n^0+dx_n) \approx f(x_1^0,x_2^0,...,x_n^0) + df(x_1^0,x_2^0,...,x_n^0)$ .

Możemy zdefiniować także różniczki wyższych rzędów.

Definicja:

Różniczką zupełną $d^{(n)}f$ rzędu $n$ -tego określamy rekurencyjnie jako różniczkę różniczki rzędu $n-1$ -go.

Np. dla $n=2$ $d^{2}f=d(df)= \sum_{i,j=1}^{n} f^{''}_{x_ix_j}dx_idx_j$

Dla funkcji dwóch zmiennych $x$ i $y$ będzie to

$d^2f(x,y)=f_{xx}^{''}(dx)^2+f_{yy}^{''}(dy)^2+2f_{xy}^{''}dxdy$

Przykład:

Wyznaczymy różniczkę drugiego rzędu funkcji $f(x,y)=2x^2y-3xy^2$ w $x^0=(1,2)$ .

Liczymy pochodne cząstkowe pierwszego rzędu:

$f^'_x=2y \cdot 2x-3y^2=4xy-3y^2$

$f^'_y=2x^2-3x \cdot 2y=2x^2-6xy$

Następnie wyznaczamy pochodne cząstkowe drugiego rzędu:

$f^{''}_{xx}=4y$

$f^{''}_{yy}=-6x$

$f^{''}_{xy}=4x-6y$

Oraz wartość tych pochodnych w punkcie $x^0=(1,2)$ :

$f^{''}_{xx}(1,2)=8$

$f^{''}_{yy}(1,2)=-6$

$f^{''}_{xy}(1,2)=-8$

A zatem szukana różniczka ma postać: $d^2f(x,y)=f_{xx}^{''}(dx)^2+f_{yy}^{''}(dy)^2+2f_{xy}^{''}dxdy = 8(dx)^2-6(dy)^2-16dxdy$

Polecamy również:

Pochodne cząstkowe

Podobnie jak w przypadku funkcji jednej zmiennej, dla funkcji wielu zmiennych możemy zdefiniować pochodne... Więcej »

Zobacz również

Pochodne cząstkowe
Więcej

Losowe zadania

Komentarze (0)