W przypadku funkcji jednej zmiennej definiowaliśmy pojęcie różniczki funkcji. W przypadku funkcji wielu zmiennych, możemy zdefiniować tzw. różniczkę zupełną.
W tym celu zdefiniujmy najpierw pochodną funkcji w kierunku wektora.
Definicja:
Pochodną funkcji \(f\) w punkcie \(x^0\) w kierunku wektora \(a\) nazywamy \( \frac{ \partial f}{ \partial a} (x^0)=f_a'(x^0)= \nabla f(x^0) \circ \frac{a}{||a||} \), gdzie \( \circ \) oznacza iloczyn skalarny wektorów a \(|| \cdot ||\) normę wektora.
Przykład:
Policzymy pochodną funkcji \(f(x,y)=xy \ln (xy)\) w punkcie \(x^0=(e,e)\) w kierunku wektora \(a=(1,2)\).
Wyznaczmy pochodne cząstkowe:
\(f_x'=(xy)_x' \cdot \ln(xy)+xy(\ln (xy))_x'=y\ln(xy)+xy \cdot \frac{1}{xy} \cdot y =y \ln(xy)+y\)
\(f_y'=(xy)_y' \cdot \ln(xy)+xy(\ln (xy))_y'=x\ln(xy)+xy \cdot \frac{1}{xy} \cdot x =x \ln(xy)+x\)
Następnie obliczmy ich wartość w punkcie \(x^0=(e,e)\):
\(f_x'(e,e) =e \ln(e^2)+e=3e\)
\(f_y'(e,e) =e \ln(e^2)+e=3e\)
Teraz wyznaczymy wektor \(\nabla f(x^0)\), a zatem gradient funkcji \(f\) w punkcie \(x^0\):
\(\nabla f(e,e)=(3e,3e)\)
Norma wektora \(a=(1,2)\): \(||a||= \sqrt{1^2+2^2} = \sqrt{5} \).
\( \frac{a}{||a||} =( \frac{1}{ \sqrt{5} } , \frac{2}{ \sqrt{5} } )\)
Ostatecznie mamy więc
\(f_a'(e,e)=(3e,3e) \circ (\frac{1}{ \sqrt{5} } ,\frac{2}{ \sqrt{5} } )= \frac{3e}{ \sqrt{5} } +\frac{6e}{ \sqrt{5} } =\frac{9e}{ \sqrt{5} } =\frac{9 \sqrt{5}e}{5 } \)
Różniczkę zupełną funkcji definiujemy następująco.
Definicja:
Różniczką zupełną I rzędu funkcji \(f(x_1,x_2,...,x_n)\) w punkcie \(x^0\) nazywamy wyrażenie
\(df(x^0)= \sum_{i=1}^{n} f'_{x_i}(x_0) \cdot dx_i\).
A zatem różniczka to suma iloczynów pochodnych cząstkowych przez przyrosty zmiennej.
Prawdziwy jest następujący wzór aproksymacyjny:
\(f(x_1^0+dx_1,x_2^0+dx_2,...,x_n^0+dx_n) \approx f(x_1^0,x_2^0,...,x_n^0) + df(x_1^0,x_2^0,...,x_n^0)\).
Możemy zdefiniować także różniczki wyższych rzędów.
Definicja:
Różniczką zupełną \(d^{(n)}f\) rzędu \(n\)-tego określamy rekurencyjnie jako różniczkę różniczki rzędu \(n-1\)-go.
Np. dla \(n=2\) \(d^{2}f=d(df)= \sum_{i,j=1}^{n} f^{''}_{x_ix_j}dx_idx_j\)
Dla funkcji dwóch zmiennych \(x\) i \(y\) będzie to
\(d^2f(x,y)=f_{xx}^{''}(dx)^2+f_{yy}^{''}(dy)^2+2f_{xy}^{''}dxdy\)
Przykład:
Wyznaczymy różniczkę drugiego rzędu funkcji \(f(x,y)=2x^2y-3xy^2\) w \(x^0=(1,2)\).
Liczymy pochodne cząstkowe pierwszego rzędu:
\(f^'_x=2y \cdot 2x-3y^2=4xy-3y^2\)
\(f^'_y=2x^2-3x \cdot 2y=2x^2-6xy\)
Następnie wyznaczamy pochodne cząstkowe drugiego rzędu:
\(f^{''}_{xx}=4y\)
\(f^{''}_{yy}=-6x\)
\(f^{''}_{xy}=4x-6y\)
Oraz wartość tych pochodnych w punkcie \(x^0=(1,2)\):
\(f^{''}_{xx}(1,2)=8\)
\(f^{''}_{yy}(1,2)=-6\)
\(f^{''}_{xy}(1,2)=-8\)
A zatem szukana różniczka ma postać:\(d^2f(x,y)=f_{xx}^{''}(dx)^2+f_{yy}^{''}(dy)^2+2f_{xy}^{''}dxdy = 8(dx)^2-6(dy)^2-16dxdy\)