W przypadku funkcji jednej zmiennej definiowaliśmy pojęcie różniczki funkcji. W przypadku funkcji wielu zmiennych, możemy zdefiniować tzw. różniczkę zupełną.
W tym celu zdefiniujmy najpierw pochodną funkcji w kierunku wektora.
Definicja:
Pochodną funkcji w punkcie
w kierunku wektora
nazywamy
, gdzie
oznacza iloczyn skalarny wektorów a
normę wektora.
Przykład:
Policzymy pochodną funkcji w punkcie
w kierunku wektora
.
Wyznaczmy pochodne cząstkowe:
Następnie obliczmy ich wartość w punkcie :
Teraz wyznaczymy wektor , a zatem gradient funkcji
w punkcie
:
Norma wektora :
.
Ostatecznie mamy więc
Różniczkę zupełną funkcji definiujemy następująco.
Definicja:
Różniczką zupełną I rzędu funkcji w punkcie
nazywamy wyrażenie
.
A zatem różniczka to suma iloczynów pochodnych cząstkowych przez przyrosty zmiennej.
Prawdziwy jest następujący wzór aproksymacyjny:
.
Możemy zdefiniować także różniczki wyższych rzędów.
Definicja:
Różniczką zupełną rzędu
-tego określamy rekurencyjnie jako różniczkę różniczki rzędu
-go.
Np. dla
Dla funkcji dwóch zmiennych i
będzie to
Przykład:
Wyznaczymy różniczkę drugiego rzędu funkcji w
.
Liczymy pochodne cząstkowe pierwszego rzędu:
Następnie wyznaczamy pochodne cząstkowe drugiego rzędu:
Oraz wartość tych pochodnych w punkcie :
A zatem szukana różniczka ma postać: