Różniczka zupełna

W przypadku funkcji jednej zmiennej definiowaliśmy pojęcie różniczki funkcji. W przypadku funkcji wielu zmiennych, możemy zdefiniować tzw. różniczkę zupełną.

W tym celu zdefiniujmy najpierw pochodną funkcji w kierunku wektora.

Definicja:

Pochodną funkcji \(f\) w punkcie \(x^0\) w kierunku wektora \(a\) nazywamy \( \frac{ \partial f}{ \partial a} (x^0)=f_a'(x^0)= \nabla f(x^0) \circ \frac{a}{||a||} \), gdzie \( \circ \) oznacza iloczyn skalarny wektorów a \(|| \cdot ||\) normę wektora.

Przykład:

Policzymy pochodną funkcji \(f(x,y)=xy \ln (xy)\) w punkcie \(x^0=(e,e)\) w kierunku wektora \(a=(1,2)\).

Wyznaczmy pochodne cząstkowe:

\(f_x'=(xy)_x' \cdot \ln(xy)+xy(\ln (xy))_x'=y\ln(xy)+xy \cdot \frac{1}{xy} \cdot y =y \ln(xy)+y\)

\(f_y'=(xy)_y' \cdot \ln(xy)+xy(\ln (xy))_y'=x\ln(xy)+xy \cdot \frac{1}{xy} \cdot x =x \ln(xy)+x\)

Następnie obliczmy ich wartość w punkcie \(x^0=(e,e)\):

\(f_x'(e,e) =e \ln(e^2)+e=3e\)

\(f_y'(e,e) =e \ln(e^2)+e=3e\)

Teraz wyznaczymy wektor \(\nabla f(x^0)\), a zatem gradient funkcji \(f\) w punkcie \(x^0\):

\(\nabla f(e,e)=(3e,3e)\)

Norma wektora \(a=(1,2)\): \(||a||= \sqrt{1^2+2^2} = \sqrt{5} \).

\( \frac{a}{||a||} =( \frac{1}{ \sqrt{5} } , \frac{2}{ \sqrt{5} } )\)

Ostatecznie mamy więc

\(f_a'(e,e)=(3e,3e) \circ (\frac{1}{ \sqrt{5} } ,\frac{2}{ \sqrt{5} } )= \frac{3e}{ \sqrt{5} } +\frac{6e}{ \sqrt{5} } =\frac{9e}{ \sqrt{5} } =\frac{9 \sqrt{5}e}{5 } \)

Różniczkę zupełną funkcji definiujemy następująco.

Definicja:

Różniczką zupełną I rzędu funkcji \(f(x_1,x_2,...,x_n)\) w punkcie \(x^0\) nazywamy wyrażenie

\(df(x^0)= \sum_{i=1}^{n} f'_{x_i}(x_0) \cdot dx_i\).

A zatem różniczka to suma iloczynów pochodnych cząstkowych przez przyrosty zmiennej.

Prawdziwy jest następujący wzór aproksymacyjny:

\(f(x_1^0+dx_1,x_2^0+dx_2,...,x_n^0+dx_n) \approx f(x_1^0,x_2^0,...,x_n^0) + df(x_1^0,x_2^0,...,x_n^0)\).

Możemy zdefiniować także różniczki wyższych rzędów.

Definicja:

Różniczką zupełną \(d^{(n)}f\) rzędu \(n\)-tego określamy rekurencyjnie jako różniczkę różniczki rzędu \(n-1\)-go.

Np. dla \(n=2\) \(d^{2}f=d(df)= \sum_{i,j=1}^{n} f^{''}_{x_ix_j}dx_idx_j\)

Dla funkcji dwóch zmiennych \(x\) i \(y\) będzie to

\(d^2f(x,y)=f_{xx}^{''}(dx)^2+f_{yy}^{''}(dy)^2+2f_{xy}^{''}dxdy\)

Przykład:

Wyznaczymy różniczkę drugiego rzędu funkcji \(f(x,y)=2x^2y-3xy^2\) w \(x^0=(1,2)\).

Liczymy pochodne cząstkowe pierwszego rzędu:

\(f^'_x=2y \cdot 2x-3y^2=4xy-3y^2\)

\(f^'_y=2x^2-3x \cdot 2y=2x^2-6xy\)

Następnie wyznaczamy pochodne cząstkowe drugiego rzędu:

\(f^{''}_{xx}=4y\)

\(f^{''}_{yy}=-6x\)

\(f^{''}_{xy}=4x-6y\)

Oraz wartość tych pochodnych w punkcie \(x^0=(1,2)\):

\(f^{''}_{xx}(1,2)=8\)

\(f^{''}_{yy}(1,2)=-6\)

\(f^{''}_{xy}(1,2)=-8\)

A zatem szukana różniczka ma postać:\(d^2f(x,y)=f_{xx}^{''}(dx)^2+f_{yy}^{''}(dy)^2+2f_{xy}^{''}dxdy = 8(dx)^2-6(dy)^2-16dxdy\)

Polecamy również:

Komentarze (0)
Wynik działania 4 + 3 =
Ostatnio komentowane
AAAA
• 2025-04-06 10:59:03
,m
• 2025-04-06 09:43:25
gg
• 2025-04-04 16:49:00
Może być
• 2025-03-27 18:35:05
siema mega fajne
• 2025-03-22 08:47:31