Na stronie używamy cookies. Korzystanie z witryny oznacza zgodę na ich wykorzystywanie. Szczegóły znajdziesz w Regulaminie.
ZAMKNIJ X

Różniczka zupełna

Ostatnio komentowane
pozdrawiam ciepło z wigilii
kluska a • 2019-12-06 14:12:20
Dzk
Serek • 2019-12-05 21:29:59
Spoko
Nauczyciel • 2019-12-04 15:35:14
w tekście są poważne błędy merytoryczne
Damian • 2019-12-04 10:25:25
XD ale oszukane
XNXX.COM • 2019-12-03 16:44:01
Autor:
Drukuj
Drukuj
Rozmiar
AAA

W przypadku funkcji jednej zmiennej definiowaliśmy pojęcie różniczki funkcji. W przypadku funkcji wielu zmiennych, możemy zdefiniować tzw. różniczkę zupełną.

W tym celu zdefiniujmy najpierw pochodną funkcji w kierunku wektora.

Definicja:

Pochodną funkcji f w punkcie x^0 w kierunku wektora a nazywamy  \frac{ \partial f}{ \partial a} (x^0)=f_a'(x^0)= \nabla f(x^0) \circ  \frac{a}{||a||} , gdzie  \circ  oznacza iloczyn skalarny wektorów a || \cdot ||normę wektora.

Przykład:

Policzymy pochodną funkcji f(x,y)=xy \ln (xy) w punkcie x^0=(e,e) w kierunku wektora a=(1,2).

Wyznaczmy pochodne cząstkowe:

f_x'=(xy)_x' \cdot \ln(xy)+xy(\ln (xy))_x'=y\ln(xy)+xy \cdot  \frac{1}{xy}  \cdot y
=y \ln(xy)+y

f_y'=(xy)_y' \cdot \ln(xy)+xy(\ln (xy))_y'=x\ln(xy)+xy \cdot  \frac{1}{xy}  \cdot x
=x \ln(xy)+x

Następnie obliczmy ich wartość w punkcie x^0=(e,e):

f_x'(e,e)
=e \ln(e^2)+e=3e

f_y'(e,e)
=e \ln(e^2)+e=3e

Teraz wyznaczymy wektor \nabla f(x^0), a zatem gradient funkcji f w punkcie x^0:

\nabla f(e,e)=(3e,3e)

Norma wektora a=(1,2): ||a||= \sqrt{1^2+2^2} = \sqrt{5} .

 \frac{a}{||a||} =( \frac{1}{ \sqrt{5} } , \frac{2}{ \sqrt{5} } )

Ostatecznie mamy więc

f_a'(e,e)=(3e,3e) \circ (\frac{1}{ \sqrt{5} } ,\frac{2}{ \sqrt{5} } )=
\frac{3e}{ \sqrt{5} } +\frac{6e}{ \sqrt{5} } =\frac{9e}{ \sqrt{5} } =\frac{9 \sqrt{5}e}{5 }

Różniczkę zupełną funkcji definiujemy następująco.

Definicja:

Różniczką zupełną I rzędu funkcji f(x_1,x_2,...,x_n) w punkcie x^0 nazywamy wyrażenie

df(x^0)= \sum_{i=1}^{n} f'_{x_i}(x_0) \cdot dx_i.

A zatem różniczka to suma iloczynów pochodnych cząstkowych przez przyrosty zmiennej.

Prawdziwy jest następujący wzór aproksymacyjny:

f(x_1^0+dx_1,x_2^0+dx_2,...,x_n^0+dx_n) \approx 
f(x_1^0,x_2^0,...,x_n^0) +
df(x_1^0,x_2^0,...,x_n^0).

Możemy zdefiniować także różniczki wyższych rzędów.

Definicja:

Różniczką zupełną d^{(n)}f rzędu n-tego określamy rekurencyjnie jako różniczkę różniczki rzędu n-1-go.

Np. dla n=2d^{2}f=d(df)= \sum_{i,j=1}^{n} f^{''}_{x_ix_j}dx_idx_j

Dla funkcji dwóch zmiennych x i y będzie to

d^2f(x,y)=f_{xx}^{''}(dx)^2+f_{yy}^{''}(dy)^2+2f_{xy}^{''}dxdy

Przykład:

Wyznaczymy różniczkę drugiego rzędu funkcji f(x,y)=2x^2y-3xy^2 w x^0=(1,2).

Liczymy pochodne cząstkowe pierwszego rzędu:

f^'_x=2y \cdot 2x-3y^2=4xy-3y^2

f^'_y=2x^2-3x \cdot 2y=2x^2-6xy

Następnie wyznaczamy pochodne cząstkowe drugiego rzędu:

f^{''}_{xx}=4y

f^{''}_{yy}=-6x

f^{''}_{xy}=4x-6y

Oraz wartość tych pochodnych w punkcie x^0=(1,2):

f^{''}_{xx}(1,2)=8

f^{''}_{yy}(1,2)=-6

f^{''}_{xy}(1,2)=-8

A zatem szukana różniczka ma postać:d^2f(x,y)=f_{xx}^{''}(dx)^2+f_{yy}^{''}(dy)^2+2f_{xy}^{''}dxdy
= 8(dx)^2-6(dy)^2-16dxdy

Polecamy również:

Komentarze (0)
4 + 1 =