Mnożenie wielomianów

W tym dziale

Drukuj: Drukuj
Rozmiar: AAA

Kolejną operacją, którą można wykonywać na wielomianach, jest ich mnożenie.

Niech dane będą dwa wielomiany $P(x) = a_{n}x^{n}+...+a_{1}x+a_{0}$ oraz $Q(x)$ . Iloczyn $P(x) \cdot Q(x)$ ma postać $P(x) \cdot Q(x) = a_{n}x^{n}Q(x)+...+a_{1}xQ(x)+a_{0}Q(x)$ .

Innymi słowy, każdą potęgę zmiennej $x$ (wraz ze stojącym przy niej współczynnikiem) mnożymy przez wielomian $Q(x)$ .

Przykład:

Dane są wielomiany $P(x) = 3x^{2}-2x+4$ i $Q(x) = 3x-8$ . Wykonamy ich mnożenie: $P(x) \cdot Q(x) = (3x^{2}-2x+4) \cdot (3x-8) = 3x^{2}(3x-8)-2x(3x-8)+4(3x-8) =$

$9x^{3}-24x^{2}-6x^{2}+16x+12x-32 = 9x^{3}-30x^{2}+28x-32$

Stopień wielomianu P(x)Q(x) równy jest sumie stopnia wielomianu P(x) i stopnia wielomianu Q(x). W powyższym przykładzie wielomian P(x) był drugiego stopnia, zaś wielomian Q(x) pierwszego - natomiast ich iloczyn, tj. wielomian P(x)Q(x) ma stopień równy trzy.

Zadania:

Dane są wielomiany:

$P(x) = x^{3}-3x^{2}+4x+2$ ,

$Q(x) = 2x^{2}-x$ .

Wykonać następujące mnożenia:

a) $P(x) \cdot Q(x)$ ,

b) $Q(x) ^{2}$ ,

c) $P(x) \cdot Q(x)^{2}$ .

Odpowiedzi:

a) $P(x) \cdot Q(x) = 2x^{5} - 7x^{4} + 11x^{3} - 2x^{3} - 2x$ ,

b) $Q(x)^{2} = 4x^{4}-4x^{3}+x^{2}$ ,

c) $P(x) \cdot Q(x)^{2} = 4x^{7} - 16x^{6} + 29x^{5} -11x^4 -4x^{3}+2x^{2}$ .

Polecamy również:

Dodawanie wielomianów

Jedną z podstawowych operacji, jakie możemy wykonywać na wielomianach, jest ich dodawanie. Dodawanie wielomianów polega na sumowaniu współczynników stojących przy odpowiednich potęgach. Więcej »
Dzielenie wielomianów

Dzielenie wielomianów jest operacją, która znajduje zastosowanie w rozkładaniu wielomianu na czynniki, co jest jednym z etapów rozwiązywania równań wielomianowych. Więcej »
Równość wielomianów

Dwa wielomiany są równe wtedy i tylko wtedy, gdy są tego samego stopnia i ich współczynniki przy tych samych potęgach są równe. Więcej »
Twierdzenie Bezouta

Z dzieleniem wielomianów związane jest twierdzenie Bezouta opisujące zależność między pierwiastkami wielomianu, a czynnikami występującymi w jego rozkładzie. Więcej »
Rozkład wielomianu na czynniki

Zajmując się wielomianami często stajemy przed koniecznością rozłożenia wielomianu na czynniki... Więcej »

Ostatnio dodane
Losowe

Komentarze (0)

Anna Boleyn

19 maja została ścięta !

Pauline • 2019-08-22 06:47:17

Warunki zawarcia małżeństwa

Ma to swoje praktyczne konsekwencje w kościelnym procesie o nieważność małżeństwa ...

Arletta Bolesta • 2019-08-21 14:21:44

Joseph Fourier

Tekst zapewne zredagowany przez historyka. Tak naprawdę nic na temat rewolucyjnych osiąg...

furiat • 2019-08-15 11:10:28

Arytmetyka i teoria liczb

Szkoda że nie ma zdań a tak poza tym to fajna strona

Nie kumata862 • 2019-08-06 19:59:23

Motyw danse macabre

Sorry, ale to nie jest o tańcu śmierci, tylko o "Rozmowie..." w ogóle.

Andr • 2019-07-30 10:51:02