Kolejną operacją, którą można wykonywać na wielomianach, jest ich mnożenie.
Niech dane będą dwa wielomiany \(P(x) = a_{n}x^{n}+...+a_{1}x+a_{0}\) oraz \(Q(x)\). Iloczyn \(P(x) \cdot Q(x)\) ma postać \(P(x) \cdot Q(x) = a_{n}x^{n}Q(x)+...+a_{1}xQ(x)+a_{0}Q(x)\).
Innymi słowy, każdą potęgę zmiennej \(x\) (wraz ze stojącym przy niej współczynnikiem) mnożymy przez wielomian \(Q(x)\).
Przykład:
Dane są wielomiany \(P(x) = 3x^{2}-2x+4\) i \(Q(x) = 3x-8\). Wykonamy ich mnożenie:\(P(x) \cdot Q(x) = (3x^{2}-2x+4) \cdot (3x-8) = 3x^{2}(3x-8)-2x(3x-8)+4(3x-8) = \)
\(9x^{3}-24x^{2}-6x^{2}+16x+12x-32 = 9x^{3}-30x^{2}+28x-32\)
Stopień wielomianu P(x)Q(x) równy jest sumie stopnia wielomianu P(x) i stopnia wielomianu Q(x). W powyższym przykładzie wielomian P(x) był drugiego stopnia, zaś wielomian Q(x) pierwszego - natomiast ich iloczyn, tj. wielomian P(x)Q(x) ma stopień równy trzy.
Zadania:
Dane są wielomiany:
\(P(x) = x^{3}-3x^{2}+4x+2\) ,
\(Q(x) = 2x^{2}-x\).
Wykonać następujące mnożenia:
a) \(P(x) \cdot Q(x)\),
b) \(Q(x) ^{2} \),
c) \(P(x) \cdot Q(x)^{2}\).
Odpowiedzi:
a) \(P(x) \cdot Q(x) = 2x^{5} - 7x^{4} + 11x^{3} - 2x^{3} - 2x \),
b) \(Q(x)^{2} = 4x^{4}-4x^{3}+x^{2}\),
c) \(P(x) \cdot Q(x)^{2} = 4x^{7} - 16x^{6} + 29x^{5} -11x^4 -4x^{3}+2x^{2}\).