Co to jest funkcja kwadratowa? Jaki jest jej wykres? Jak poradzić sobie z funkcją kwadratową w obliczeniach? Przejrzyj nasze notatki, przykład, a później postaraj się samodzielnie rozwiązać zadanie.
Co to jest funkcja kwadratowa? Wykres
Funkcja kwadratowa to funkcja postaci \(f(x) = a x^2 + bx +c\), gdzie \(a \neq 0\).
Jej wykresem jest krzywa nazywana parabolą.
Miejsca zerowe
Funkcja kwadratowa ma tyle miejsc zerowych, ile rozwiązań może mieć równanie kwadratowe, a zatem jedno, dwa lub żadnego.
Do określenia tego oraz znalezienia miejsc zerowych służy wyróżnik równania kwadratowego \(f(x) = 0\) zwany deltą i ozn. \( \Delta \).
Przypomnijmy, że \( \Delta = b^2 - 4ac\), natomiast miejsca zerowe mają postać \(x_1 = \frac{-b- \sqrt{ \Delta } }{2a}\), \(x_2 = \frac{-b+ \sqrt{ \Delta } }{2a}\), o ile \( \Delta \ge 0\).
Położenie paraboli określone jest przez miejsca zerowe funkcji oraz kierunek jej ramion. Jeśli \(a >0\) ramiona paraboli skierowane są do góry, natomiast gdy \(a<0\) ramiona paraboli skierowane są ku dołowi.
Ciągłość i nieróżnowartość
Funkcja kwadratowa jest funkcją ciągłą i nieróżnowartościową.
Jej monotoniczność zmienia się w punkcie zwanym wierzchołkiem paraboli. Współrzędne wierzchołka \(W(p,q)\) paraboli równe są \(p =- \frac b {2a}\), \(q=-\frac{\Delta}{4a}\) (drugą współrzędną można także policzyć jako \(f(p)\). Funkcja kwadratowa w tzw. postaci kanonicznej ma równanie \(y= a(x-p)^2+q\).
Jeśli wierzchołek paraboli leży na osi \(Y\) (tzn. kiedy jego pierwsza współrzędna jest równa zero, tj. \(p = -\frac b{2a} = 0\)) funkcja jest parzysta. W każdej innej sytuacji (tj. gdy \(p \neq 0\), a zatem gdy \(b \neq 0\) funkcja nie jest ani parzysta ani nieparzysta.
Ograniczoność funkcji kwadratowej
Funkcja kwadratowa nie jest funkcją okresową.
Ograniczoność funkcji kwadratowej jest jednostronna, to znaczy gdy \(a > 0\) funkcja jest ograniczona od dołu (a jej ograniczeniem dolnym jest druga współrzędna jej wierzchołka, tj. \(q=-\frac{\Delta}{4a}\)), gdy \(a <0\) funkcja jest ograniczona od góry (jej ograniczeniem górnym jest \(q=-\frac{\Delta}{4a}\)).
Funkcja kwadratowa - przykład
Niech dana będzie funkcja \(f(x) = x^2+2x-3\).
Parametr przy najwyższej potędze zmiennej \(x\) wynosi \(1>0\), zatem ramiona paraboli skierowane są ku górze.
Parametr \(b\) jest niezerowy, więc funkcja nie jest ani parzysta ani nieparzysta.
Policzmy jej deltę:
\( \Delta = b^2 - 4ac = 4+12=16\), zatem funkcja ma dwa miejsca zerowe.
Wyznaczmy je:
\(x_1 = \frac {-2-4}{2} = -\frac 6 2 = -3\)
\(x_2 = \frac {-2+4}{2} = -\frac 2 2 = 1\)
Teraz pozostaje tylko policzyć współrzędne wierzchołka:
\(p = -\frac b{2a} = -\frac22=-1\)
\(q = -\frac{\Delta}{4a} =- \frac{16}4= -4\)
Po znalezieniu współrzędnych wierzchołka funkcję można zapisać w postaci kanonicznej, a znając położenie wierzchołka oraz jej miejsca zerowe, można także narysować jej wykres.
Funkcja kwadratowa - zadanie. Rozwiąż samodzielnie!
Narysuj wykres funkcji \(f(x) = 2x^2 -3x +1\). Zapisz funkcję w postaci kanonicznej.
Odpowiedź
\(f(x) = 2(x-\frac34)^2-\frac18\)