Funkcja kwadratowa to funkcja postaci , gdzie
.
Jej wykresem jest krzywa nazywana parabolą.
Funkcja kwadratowa ma tyle miejsc zerowych ile rozwiązań może mieć równanie kwadratowe, a zatem jedno, dwa lub żadnego.
Do określenia tego oraz znalezienia miejsc zerowych służy wyróżnik równania kwadratowego zwany deltą i ozn.
.
Przypomnijmy, że , natomiast miejsca zerowe mają postać
,
, o ile
.
Położenie paraboli określone jest przez miejsca zerowe funkcji oraz kierunek jej ramion. Jeśli ramiona paraboli skierowane są do góry, natomiast gdy
ramiona paraboli skierowane są ku dołowi.
Funkcja kwadratowa jest funkcją ciągłą i nieróżnowartościową.
Jej monotoniczność zmienia się w punkcie zwanym wierzchołkiem paraboli. Współrzędne wierzchołka paraboli równe są
,
(drugą współrzędną można także policzyć jako
. Funkcja kwadratowa w tzw. postaci kanonicznej ma równanie
.
Jeśli wierzchołek paraboli leży na osi (tzn. kiedy jego pierwsza współrzędna jest równa zero, tj.
) funkcja jest parzysta. W każdej innej sytuacji (tj. gdy
, a zatem gdy
funkcja nie jest ani parzysta ani nieparzysta.
Funkcja kwadratowa nie jest funkcją okresową.
Ograniczoność funkcji kwadratowej jest jednostronna, to znaczy gdy funkcja jest ograniczona od dołu (a jej ograniczeniem dolnym jest druga współrzędna jej wierzchołka, tj.
), gdy
funkcja jest ograniczona od góry (jej ograniczeniem górnym jest
).
Przykład:
Niech dana będzie funkcja .
Parametr przy najwyższej potędze zmiennej wynosi
, zatem ramiona paraboli skierowane są ku górze.
Parametr jest niezerowy, więc funkcja nie jest ani parzysta ani nieparzysta.
Policzmy jej deltę:
, zatem funkcja ma dwa miejsca zerowe.
Wyznaczmy je:
Teraz pozostaje tylko policzyć współrzędne wierzchołka:
Po znalezieniu współrzędnych wierzchołka funkcję można zapisać w postaci kanonicznej, a znając położenie wierzchołka oraz jej miesca zerowe można także narysować jej wykres.
Zadanie:
Narysować wykres funkcji . Zapisać funkcję w postaci kanonicznej.
Odpowiedzi:
