Funkcja kwadratowa – wzory, przykłady, zadania

Co to jest funkcja kwadratowa? Jaki jest jej wykres? Jak poradzić sobie z funkcją kwadratową w obliczeniach? Przejrzyj nasze notatki, przykład, a później postaraj się samodzielnie rozwiązać zadanie.

Co to jest funkcja kwadratowa? Wykres

Funkcja kwadratowa to funkcja postaci \(f(x) = a x^2 + bx +c\), gdzie \(a \neq 0\).

Jej wykresem jest krzywa nazywana parabolą.

Miejsca zerowe

Funkcja kwadratowa ma tyle miejsc zerowych, ile rozwiązań może mieć równanie kwadratowe, a zatem jedno, dwa lub żadnego.

Do określenia tego oraz znalezienia miejsc zerowych służy wyróżnik równania kwadratowego \(f(x) = 0\) zwany deltą i ozn\( \Delta \).

Przypomnijmy, że \( \Delta = b^2 - 4ac\), natomiast miejsca zerowe mają postać \(x_1 = \frac{-b- \sqrt{ \Delta } }{2a}\)\(x_2 = \frac{-b+ \sqrt{ \Delta } }{2a}\), o ile \( \Delta \ge 0\).

Położenie paraboli określone jest przez miejsca zerowe funkcji oraz kierunek jej ramion. Jeśli \(a >0\) ramiona paraboli skierowane są do góry, natomiast gdy \(a<0\) ramiona paraboli skierowane są ku dołowi.

Ciągłość i nieróżnowartość

Funkcja kwadratowa jest funkcją ciągłą i nieróżnowartościową.

Jej monotoniczność zmienia się w punkcie zwanym wierzchołkiem paraboli. Współrzędne wierzchołka \(W(p,q)\) paraboli równe są \(p =- \frac b {2a}\)\(q=-\frac{\Delta}{4a}\) (drugą współrzędną można także policzyć jako \(f(p)\). Funkcja kwadratowa w tzw. postaci kanonicznej ma równanie \(y= a(x-p)^2+q\).

Jeśli wierzchołek paraboli leży na osi \(Y\) (tzn. kiedy jego pierwsza współrzędna jest równa zero, tj. \(p = -\frac b{2a} = 0\)) funkcja jest parzysta. W każdej innej sytuacji (tj. gdy \(p \neq 0\), a zatem gdy \(b \neq 0\) funkcja nie jest ani parzysta ani nieparzysta.

Ograniczoność funkcji kwadratowej

Funkcja kwadratowa nie jest funkcją okresową.

Ograniczoność funkcji kwadratowej jest jednostronna, to znaczy gdy \(a > 0\) funkcja jest ograniczona od dołu (a jej ograniczeniem dolnym jest druga współrzędna jej wierzchołka, tj. \(q=-\frac{\Delta}{4a}\)), gdy \(a <0\) funkcja jest ograniczona od góry (jej ograniczeniem górnym jest \(q=-\frac{\Delta}{4a}\)).

Funkcja kwadratowa - przykład

Niech dana będzie funkcja \(f(x) = x^2+2x-3\).

Parametr przy najwyższej potędze zmiennej \(x\) wynosi \(1>0\), zatem ramiona paraboli skierowane są ku górze.

Parametr \(b\) jest niezerowy, więc funkcja nie jest ani parzysta ani nieparzysta.

Policzmy jej deltę:

\( \Delta = b^2 - 4ac = 4+12=16\), zatem funkcja ma dwa miejsca zerowe.

Wyznaczmy je:

\(x_1 = \frac {-2-4}{2} = -\frac 6 2 = -3\)

\(x_2 = \frac {-2+4}{2} = -\frac 2 2 = 1\)

Teraz pozostaje tylko policzyć współrzędne wierzchołka:

\(p = -\frac b{2a} = -\frac22=-1\)

\(q = -\frac{\Delta}{4a} =- \frac{16}4= -4\)

Po znalezieniu współrzędnych wierzchołka funkcję można zapisać w postaci kanonicznej, a znając położenie wierzchołka oraz jej miejsca zerowe, można także narysować jej wykres.

Funkcja kwadratowa - zadanie. Rozwiąż samodzielnie!

Narysuj wykres funkcji \(f(x) = 2x^2 -3x +1\). Zapisz funkcję w postaci kanonicznej.

Odpowiedź

\(f(x) = 2(x-\frac34)^2-\frac18\)

Polecamy również:

  • Wzory Viete'a

    Wzory Viete'a umożliwiają znalezienie sumy oraz iloczynu miejsc zerowych funkcji kwadratowej... Więcej »

Komentarze (1)
Wynik działania 4 + 5 =
tomasz samuel
2023-01-26 06:23:39
dzieki
Ostatnio komentowane
cycki lubie
• 2025-03-05 14:35:07
bardzo to działanie łatwe
• 2025-03-03 13:00:02
Jest nad czym myśleć. PEŁEN POZYTYW.
• 2025-03-02 12:32:53
pozdro mika
• 2025-02-24 20:08:01
dzięki
• 2025-02-24 09:56:27