Funkcja kwadratowa – wzory, przykłady, zadania

Funkcja kwadratowa to funkcja postaci $f(x) = a x^2 + bx +c$ , gdzie $a \neq 0$ .

Jej wykresem jest krzywa nazywana parabolą.

Funkcja kwadratowa ma tyle miejsc zerowych ile rozwiązań może mieć równanie kwadratowe, a zatem jedno, dwa lub żadnego.

Do określenia tego oraz znalezienia miejsc zerowych służy wyróżnik równania kwadratowego $f(x) = 0$ zwany deltą i ozn. $\Delta$ .

Przypomnijmy, że $\Delta = b^2 - 4ac$ , natomiast miejsca zerowe mają postać $x_1 = \frac{-b- \sqrt{ \Delta } }{2a}$ , $x_2 = \frac{-b+ \sqrt{ \Delta } }{2a}$ , o ile $\Delta \ge 0$ .

Położenie paraboli określone jest przez miejsca zerowe funkcji oraz kierunek jej ramion. Jeśli $a >0$ ramiona paraboli skierowane są do góry, natomiast gdy $a<0$ ramiona paraboli skierowane są ku dołowi.

Funkcja kwadratowa jest funkcją ciągłą i nieróżnowartościową.

Jej monotoniczność zmienia się w punkcie zwanym wierzchołkiem paraboli. Współrzędne wierzchołka $W(p,q)$ paraboli równe są $p =- \frac b {2a}$ , $q=-\frac{\Delta}{4a}$ (drugą współrzędną można także policzyć jako $f(p)$ . Funkcja kwadratowa w tzw. postaci kanonicznej ma równanie $y= a(x-p)^2+q$ .

Jeśli wierzchołek paraboli leży na osi $Y$ (tzn. kiedy jego pierwsza współrzędna jest równa zero, tj. $p = -\frac b{2a} = 0$ ) funkcja jest parzysta. W każdej innej sytuacji (tj. gdy $p \neq 0$ , a zatem gdy $b \neq 0$ funkcja nie jest ani parzysta ani nieparzysta.

Funkcja kwadratowa nie jest funkcją okresową.

Ograniczoność funkcji kwadratowej jest jednostronna, to znaczy gdy $a > 0$ funkcja jest ograniczona od dołu (a jej ograniczeniem dolnym jest druga współrzędna jej wierzchołka, tj. $q=-\frac{\Delta}{4a}$ ), gdy $a <0$ funkcja jest ograniczona od góry (jej ograniczeniem górnym jest $q=-\frac{\Delta}{4a}$ ).

Przykład:

Niech dana będzie funkcja $f(x) = x^2+2x-3$ .

Parametr przy najwyższej potędze zmiennej $x$ wynosi $1>0$ , zatem ramiona paraboli skierowane są ku górze.

Parametr $b$ jest niezerowy, więc funkcja nie jest ani parzysta ani nieparzysta.

Policzmy jej deltę:

$\Delta = b^2 - 4ac = 4+12=16$ , zatem funkcja ma dwa miejsca zerowe.

Wyznaczmy je:

$x_1 = \frac {-2-4}{2} = -\frac 6 2 = -3$

$x_2 = \frac {-2+4}{2} = -\frac 2 2 = 1$

Teraz pozostaje tylko policzyć współrzędne wierzchołka:

$p = -\frac b{2a} = -\frac22=-1$

$q = -\frac{\Delta}{4a} =- \frac{16}4= -4$

Po znalezieniu współrzędnych wierzchołka funkcję można zapisać w postaci kanonicznej, a znając położenie wierzchołka oraz jej miesca zerowe można także narysować jej wykres.