Funkcja kwadratowa – wzory, przykłady, zadania

Funkcja kwadratowa to funkcja postaci f(x) = a x^2 + bx +c, gdzie a \neq 0.

 

Jej wykresem jest krzywa nazywana parabolą.

 

Funkcja kwadratowa ma tyle miejsc zerowych ile rozwiązań może mieć równanie kwadratowe, a zatem jedno, dwa lub żadnego.

Do określenia tego oraz znalezienia miejsc zerowych służy wyróżnik równania kwadratowego f(x) = 0 zwany deltą i ozn \Delta .

Przypomnijmy, że  \Delta = b^2 - 4ac, natomiast miejsca zerowe mają postać x_1 = \frac{-b- \sqrt{ \Delta } }{2a}x_2 = \frac{-b+ \sqrt{ \Delta } }{2a}, o ile  \Delta \ge 0.

 

Położenie paraboli określone jest przez miejsca zerowe funkcji oraz kierunek jej ramion. Jeśli a >0 ramiona paraboli skierowane są do góry, natomiast gdy a<0 ramiona paraboli skierowane są ku dołowi.

 

Funkcja kwadratowa jest funkcją ciągłą i nieróżnowartościową.

Jej monotoniczność zmienia się w punkcie zwanym wierzchołkiem paraboli. Współrzędne wierzchołka W(p,q) paraboli równe są p =- \frac b {2a}q=-\frac{\Delta}{4a} (drugą współrzędną można także policzyć jako f(p). Funkcja kwadratowa w tzw. postaci kanonicznej ma równanie y= a(x-p)^2+q.

Jeśli wierzchołek paraboli leży na osi Y (tzn. kiedy jego pierwsza współrzędna jest równa zero, tj. p = -\frac b{2a} = 0) funkcja jest parzysta. W każdej innej sytuacji (tj. gdy p \neq 0, a zatem gdy b \neq 0 funkcja nie jest ani parzysta ani nieparzysta.

Funkcja kwadratowa nie jest funkcją okresową.

Ograniczoność funkcji kwadratowej jest jednostronna, to znaczy gdy a > 0 funkcja jest ograniczona od dołu (a jej ograniczeniem dolnym jest druga współrzędna jej wierzchołka, tj. q=-\frac{\Delta}{4a}), gdy a <0 funkcja jest ograniczona od góry (jej ograniczeniem górnym jest q=-\frac{\Delta}{4a}).

 

Przykład:

Niech dana będzie funkcja f(x) = x^2+2x-3.

Parametr przy najwyższej potędze zmiennej x wynosi 1>0, zatem ramiona paraboli skierowane są ku górze.

Parametr b jest niezerowy, więc funkcja nie jest ani parzysta ani nieparzysta.

Policzmy jej deltę:

 \Delta = b^2 - 4ac = 4+12=16, zatem funkcja ma dwa miejsca zerowe.

Wyznaczmy je:

x_1 = \frac {-2-4}{2} = -\frac 6 2 = -3

x_2 = \frac {-2+4}{2} = -\frac 2 2 = 1

Teraz pozostaje tylko policzyć współrzędne wierzchołka:

p = -\frac b{2a} = -\frac22=-1

q = -\frac{\Delta}{4a} =- \frac{16}4= -4

Po znalezieniu współrzędnych wierzchołka funkcję można zapisać w postaci kanonicznej, a znając położenie wierzchołka oraz jej miesca zerowe można także narysować jej wykres.

 

  

Zadanie:

Narysować wykres funkcji f(x) = 2x^2 -3x +1. Zapisać funkcję w postaci kanonicznej.

 

Odpowiedzi:

f(x) = 2(x-\frac34)^2-\frac18

Polecamy również:

  • Wzory Viete'a

    Wzory Viete'a umożliwiają znalezienie sumy oraz iloczynu miejsc zerowych funkcji kwadratowej... Więcej »

Komentarze (1)
Wynik działania 4 + 3 =
tomasz samuel
2023-01-26 06:23:39
dzieki
Ostatnio komentowane
Dziękuję za szczegółowy wykaz wraz z opisem.
• 2024-02-23 13:00:06
okokok
• 2024-02-22 15:33:45
OK
• 2024-02-21 20:23:35
dziękuję bardzo ratujecie mnie
• 2024-02-21 19:08:12
i
• 2024-02-20 09:57:14