Pochodne funkcji to zagadnienie, które może sprawiać trudności. Poniżej dokładnie wyjaśniamy jej definicję i prezentujemy przykład poprawnie rozwiązanego zadania. Ucz się razem z nami!
Jak zmienia się funkcja (tzn. jej wartości) pod wpływem zmian jej argumentu?
Do określenia tego służy tzw. iloraz różnicowy, tj. stosunek zmiany wartości funkcji do zmiany jej argumentu (zmiany te bywają czasem nazywane przyrostami).
Definicja: Jeśli \(f\) jest funkcją w przedziale \((a,b)\), a \(x\) i\(x_0\) należą do \((a,b)\), to ilorazem różnicowym nazywamy wyrażenie \(\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}h\), gdzie \(h = x- x_0\).
Pochodna funkcji w punkcie
Mając tak określony iloraz różnicowy, możemy zdefiniować pochodną funkcji w punkcie.
Definicja: Pochodną funkcji \(f\) w punkcie \(x_0\) nazywamy granicę ilorazu różnicowego przy \(h \to 0\) (o ile ta granica istnieje), tzn.\(f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}h\).
Jeśli funkcja posiada pochodną w każdym punkcie swojej dziedziny, to mówimy, że funkcja ta jest różniczkowalna.
Pochodna funkcji - przykład
Oblicz pochodną funkcji \(f(x) = x^2\) w \(x_0 = 2\).
Należy tutaj skorzystać z definicji pochodnej:
\( \lim_{h \to 0} \frac{(2+h)^2-2^2}h = \lim_{h \to 0} \frac{4+4h+h^2-4}h = \lim_{h \to 0} \frac{h^2+4h}h = \lim_{h \to 0} (h+4) = 4\).
Pochodna funkcji - zadanie
Oblicz pochodną funkcji \(f(x) = x^3\) w \(x_0 = 5\).
[Odpowiedź: \(75\).]