Do działań, które możemy wykonywać na macierzach zaliczamy między innymi dodawanie i odejmowanie.
Dodać/odjąć można tylko macierze tego samego wymiaru - nie jest wykonalne dodawanie/odejmowanie macierzy o różnych wymiarach.
Dodawanie macierzy
Sumą macierzy \(\mathbf{A_{m \times n}}\) i \(\mathbf{B_{m \times n}}\) jest macierz \(\mathbf{C_{m \times n}}\), taka, że
\(\mathbf{A+B=C}\),
\(\mathbf{A}=[a_{ij}]\), \(\mathbf{B}=[b_{ij}]\), \(\mathbf{C}=[a_{ij}+b_{ij}]\).
A zatem sumą dwóch macierzy jest macierz, której elementami są sumy odpowiednich elementów macierzy początkowych.
Odejmowanie macierzy
Różnicą macierzy \(\mathbf{A_{m \times n}}\) i \(\mathbf{B_{m \times n}}\) jest macierz \(\mathbf{C_{m \times n}}\), taka, że
\(\mathbf{A-B=C}\),
\(\mathbf{A}=[a_{ij}]\), \(\mathbf{B}=[b_{ij}]\), \(\mathbf{C}=[a_{ij}-b_{ij}]\).
A zatem różnicą dwóch macierzy jest macierz, której elementami są różnice odpowiednich elementów macierzy początkowych.
Prześledźmy to na przykładach.
Przykład:
Niech dane będą macierze
\(\mathbf{A}=\left[ \begin{array} 1 & 2 & 1\\ -4 & 3 & 2\\ 5 & 2 & -2 \end{array} \right]\) i \(\mathbf{B}=\left[ \begin{array} -10 & 0 & 2\\ -2 & 1 & 2\\ 1 & -1 & 1 \end{array} \right]\).
Wówczas \(\mathbf{A+B}=\left[ \begin{array} 1 & 2 & 1\\ -4 & 3 & 2\\ 5 & 2 & -2 \end{array} \right] +\left[ \begin{array} -10 & 0 & 2\\ -2 & 1 & 2\\ 1 & -1 & 1 \end{array} \right] \)\(=\left[ \begin{array} 1-10 & 2+0 & 1+2\\ -4-2 & 3+1 & 2+2\\ 5+1 & 2-1 & -2+1 \end{array} \right] =\left[ \begin{array} -9 & 2 & 3\\ -6 & 4 & 4\\ 6 & 1 & -1 \end{array} \right]\)
oraz \(\mathbf{A-B}=\left[ \begin{array} 1 & 2 & 1\\ -4 & 3 & 2\\ 5 & 2 & -2 \end{array} \right] -\left[ \begin{array} -10 & 0 & 2\\ -2 & 1 & 2\\ 1 & -1 & 1 \end{array} \right] \)\(=\left[ \begin{array} 1+10 & 2-0 & 1-2\\ -4+2 & 3-1 & 2-2\\ 5-1 & 2+1 & -2-1 \end{array} \right] =\left[ \begin{array} 11 & 2 & -1\\ -2 & 2 & 0\\ 4 & 3 & -3 \end{array} \right]\).
Własności dodawania macierzy:
1) przemienność dodawania, tj.
\(\mathbf{A+B=B+A}\)
2) łączność dodawania, tj.
\(\mathbf{(A+B)+C=A+(B+C)}\)
3) istnieje element neutralny dodawania (macierz zerowa),
\(\mathbf{A+0=0+A}\)