Działania na macierzach

Do działań, które możemy wykonywać na macierzach zaliczamy między innymi dodawanie i odejmowanie.

Dodać/odjąć można tylko macierze tego samego wymiaru - nie jest wykonalne dodawanie/odejmowanie macierzy o różnych wymiarach.

Dodawanie macierzy

Sumą macierzy \(\mathbf{A_{m \times n}}\) i \(\mathbf{B_{m \times n}}\) jest macierz \(\mathbf{C_{m \times n}}\), taka, że

\(\mathbf{A+B=C}\),

\(\mathbf{A}=[a_{ij}]\), \(\mathbf{B}=[b_{ij}]\), \(\mathbf{C}=[a_{ij}+b_{ij}]\).

A zatem sumą dwóch macierzy jest macierz, której elementami są sumy odpowiednich elementów macierzy początkowych.

Odejmowanie macierzy

Różnicą macierzy \(\mathbf{A_{m \times n}}\) i \(\mathbf{B_{m \times n}}\) jest macierz \(\mathbf{C_{m \times n}}\), taka, że

\(\mathbf{A-B=C}\),

\(\mathbf{A}=[a_{ij}]\), \(\mathbf{B}=[b_{ij}]\), \(\mathbf{C}=[a_{ij}-b_{ij}]\).

A zatem różnicą dwóch macierzy jest macierz, której elementami są różnice odpowiednich elementów macierzy początkowych.

Prześledźmy to na przykładach.

Przykład:

Niech dane będą macierze

\(\mathbf{A}=\left[ \begin{array} 1 & 2 & 1\\ -4 & 3 & 2\\ 5 & 2 & -2 \end{array} \right]\) i \(\mathbf{B}=\left[ \begin{array} -10 & 0 & 2\\ -2 & 1 & 2\\ 1 & -1 & 1 \end{array} \right]\).

Wówczas \(\mathbf{A+B}=\left[ \begin{array} 1 & 2 & 1\\ -4 & 3 & 2\\ 5 & 2 & -2 \end{array} \right] +\left[ \begin{array} -10 & 0 & 2\\ -2 & 1 & 2\\ 1 & -1 & 1 \end{array} \right] \)\(=\left[ \begin{array} 1-10 & 2+0 & 1+2\\ -4-2 & 3+1 & 2+2\\ 5+1 & 2-1 & -2+1 \end{array} \right] =\left[ \begin{array} -9 & 2 & 3\\ -6 & 4 & 4\\ 6 & 1 & -1 \end{array} \right]\)

oraz \(\mathbf{A-B}=\left[ \begin{array} 1 & 2 & 1\\ -4 & 3 & 2\\ 5 & 2 & -2 \end{array} \right] -\left[ \begin{array} -10 & 0 & 2\\ -2 & 1 & 2\\ 1 & -1 & 1 \end{array} \right] \)\(=\left[ \begin{array} 1+10 & 2-0 & 1-2\\ -4+2 & 3-1 & 2-2\\ 5-1 & 2+1 & -2-1 \end{array} \right] =\left[ \begin{array} 11 & 2 & -1\\ -2 & 2 & 0\\ 4 & 3 & -3 \end{array} \right]\).

 

Własności dodawania macierzy:

1) przemienność dodawania, tj.

\(\mathbf{A+B=B+A}\)

2) łączność dodawania, tj.

\(\mathbf{(A+B)+C=A+(B+C)}\)

3) istnieje element neutralny dodawania (macierz zerowa),

\(\mathbf{A+0=0+A}\)

Polecamy również:

Komentarze (0)
Wynik działania 1 + 5 =
Ostatnio komentowane
Może być
• 2025-03-27 18:35:05
siema mega fajne
• 2025-03-22 08:47:31
dzięki
• 2025-03-10 15:14:41
bardzo to działanie łatwe
• 2025-03-03 13:00:02
Jest nad czym myśleć. PEŁEN POZYTYW.
• 2025-03-02 12:32:53