Mnożenie macierzy

Oprócz dodawania i odejmowania macierzy macierze możemy także mnożyć.

Macierz można pomnożyć przez liczbę bądź przez drugą macierze.

Mnożenie macierzy przez liczbę (skalar)

Niech dana będzie macierz \mathbf{A}=[a_{ij}], oraz liczba  \alpha \in \mathbb{R}. Wówczas

 \alpha \mathbf{A}=[ \alpha a_{ij}].

A zatem pomnożenie macierzy przez liczbę to pomnożenie wszystkich jej elementów przez tą liczbę.

Przykład:

Pomnożymy macierz \mathbf{A} =
\left[ \begin{array}{ccc}
1 & 2 & 1 \\
2 & 3 & 2 \\
3 & 4 & 3
\end{array} \right] przez 2.

2 \cdot \mathbf{A} =
2 \cdot \left[ \begin{array}{ccc}
1 & 2 & 1 \\
2 & 3 & 2 \\
3 & 4 & 3
\end{array} \right]
=\left[ \begin{array}{ccc}
2 & 4 & 2 \\
4 & 6 & 4 \\
6 & 8 & 6
\end{array} \right].

Mnożenie macierzy przez macierz

Mnożenie macierzy \mathbf{A}=[a_{ij}]_{m \times p przez macierz \mathbf{B}=[b_{ij}]_{p \times n} da w wyniku macierz \mathbf{C}=[c_{ij}]_{m \times n}, której elementy powstają poprzez pomnożenie skalarne i-tego wiersza macierzy \mathbf{A} przez j-tą kolumnę macierzy \mathbf{B}, tj. c_{ij} to odpowiedni iloczyn skalarny wierszy macierzy \mathbf{A} i kolumn macierzy \mathbf{B}. Prześledźmy to na przykładzie.

Przykład:

\left[ \begin{array}
1 & 0 & 3 \\
2 & 1 & 0 \\
\end{array} \right]
 \circ 
\left[ \begin{array}
3 & 5 \\
4 & 0 \\
2 & 9
\end{array} \right]


=\left[ \begin{array}
1 \cdot 3+0 \cdot 4+3 \cdot 2 && 1 \cdot 5+0 \cdot 0+ 3 \cdot 9 \\
2 \cdot 3+1 \cdot 4+0 \cdot 2 && 2 \cdot 5+1 \cdot  0+0 \cdot 0 \\
\end{array} \right]
=\left[ \begin{array}
9 & 32\\
10&10\\
\end{array} \right]

Zwróćmy uwagę, że aby pomnożyć ze sobą dwie macierze nie muszą być one tego samego wymiaru - ale liczba wierszy drugiej macierzy musi być taka sama jak liczba kolumn pierwszej macierzy.

Mnożenie macierzy oznaczamy symbolem  \circ .

Własności mnożenia macierzy:

1) łączność mnożenia

\mathbf{A \circ (B \circ C)}=\mathbf{(A \circ B) \circ C}

2) rozdzielność mnożenia względem dodawania

\mathbf{A \circ (B + C)}=\mathbf{A \circ B +A\circ C}

\mathbf{ (B + C) \circ A}=\mathbf{B \circ A + C \circ A}

3) mnożenie macierzy posiada element neutralny

\mathbf{I \circ A}=\mathbf{A \circ I}=\mathbf{A }, gdzie \mathbf{I} - macierz jednostkowa

4) mnożenie macierzy nie jest przemienne

5) transpozycja iloczynu macierzy jest iloczynem macierzy transponowanych, przy czym zmienia się kolejność mnożenia

\mathbf{(A \circ B)^{T}=\mathbf{B^{T} \circ A^{T}}, gdzie \mathbf{^{T}} - symbol transpozycji macierzy.

Polecamy również:

Komentarze (0)
Wynik działania 2 + 3 =
Ostatnio komentowane
Spoko, jednak że Bibia to sterta kłamstw. Tak na prawdę to Boga nie ma ale katolicy sob...
• 2022-10-04 13:09:03
XDzbshxbz
• 2022-10-04 11:44:06
1Tm 3:15 "Gdybym jednak się opóźniał, będziesz już wiedział, jak należy zachowywa...
• 2022-10-03 20:33:03
Super
• 2022-10-03 17:32:47
Przydały mi się te choroby
• 2022-10-02 10:10:41