1. Strona główna
    2. /
  2. Matematyka
    3. /
  3. Mnożenie macierzy

Mnożenie macierzy

Oprócz dodawania i odejmowania macierzy macierze możemy także mnożyć.

Macierz można pomnożyć przez liczbę bądź przez drugą macierze.

Mnożenie macierzy przez liczbę (skalar)

Niech dana będzie macierz \mathbf{A}=[a_{ij}], oraz liczba \alpha \in \mathbb{R}. Wówczas

\alpha \mathbf{A}=[ \alpha a_{ij}].

A zatem pomnożenie macierzy przez liczbę to pomnożenie wszystkich jej elementów przez tą liczbę.

Przykład:

Pomnożymy macierz \mathbf{A} = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 3 & 4 & 3 \end{array} \right] przez 2.

2 \cdot \mathbf{A} = 2 \cdot \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 3 & 4 & 3 \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{ccc} 2 & 4 & 2 \\ 4 & 6 & 4 \\ 6 & 8 & 6 \end{array} \right].

Mnożenie macierzy przez macierz

Mnożenie macierzy \mathbf{A}=[a_{ij}]_{m \times p przez macierz \mathbf{B}=[b_{ij}]_{p \times n} da w wyniku macierz \mathbf{C}=[c_{ij}]_{m \times n}, której elementy powstają poprzez pomnożenie skalarne i-tego wiersza macierzy \mathbf{A} przez j-tą kolumnę macierzy \mathbf{B}, tj. c_{ij} to odpowiedni iloczyn skalarny wierszy macierzy \mathbf{A} i kolumn macierzy \mathbf{B}. Prześledźmy to na przykładzie.

Przykład:

\left[ \begin{array} 1 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & 0 \\ \end{array} \right] \circ \left[ \begin{array} 3 & 5 \\ 4 & 0 \\ 2 & 9 \end{array} \right] =\left[ \begin{array} 1 \cdot 3+0 \cdot 4+3 \cdot 2 && 1 \cdot 5+0 \cdot 0+ 3 \cdot 9 \\ 2 \cdot 3+1 \cdot 4+0 \cdot 2 && 2 \cdot 5+1 \cdot 0+0 \cdot 0 \\ \end{array} \right] =\left[ \begin{array} 9 & 32\\ 10&10\\ \end{array} \right]

Zwróćmy uwagę, że aby pomnożyć ze sobą dwie macierze nie muszą być one tego samego wymiaru - ale liczba wierszy drugiej macierzy musi być taka sama jak liczba kolumn pierwszej macierzy.

Mnożenie macierzy oznaczamy symbolem \circ .

Własności mnożenia macierzy:

1) łączność mnożenia

\mathbf{A \circ (B \circ C)}=\mathbf{(A \circ B) \circ C}

2) rozdzielność mnożenia względem dodawania

\mathbf{A \circ (B + C)}=\mathbf{A \circ B +A\circ C}

\mathbf{ (B + C) \circ A}=\mathbf{B \circ A + C \circ A}

3) mnożenie macierzy posiada element neutralny

\mathbf{I \circ A}=\mathbf{A \circ I}=\mathbf{A }, gdzie \mathbf{I} - macierz jednostkowa

4) mnożenie macierzy nie jest przemienne

5) transpozycja iloczynu macierzy jest iloczynem macierzy transponowanych, przy czym zmienia się kolejność mnożenia

\mathbf{(A \circ B)^{T}=\mathbf{B^{T} \circ A^{T}}, gdzie \mathbf{^{T}} - symbol transpozycji macierzy.

Polecamy również:

Zobacz również

Losowe zadania

Komentarze (0)
Wynik działania 4 + 5 =
Ostatnio komentowane
Teogonia
.
• 2024-09-05 17:12:32
Wojna chłopska w Niemczech (1524-1526)
Dodajmy, że było to również ostatnie powstanie wendyjskie (słowiańskie) na terenie N...
• 2024-09-04 21:32:33
Idiota – streszczenie
DZIĘKUJĘ
• 2024-07-31 13:21:34
Najazdy barbarzyńców na Rzym
I cóż miał rację Marek Aureliusz który chciał podbić Germanię uderzeniem przez Mor...
• 2024-07-06 19:45:33
Ampere
O tym, że zmienne w czasie pole elektryczne jest źródłem pola magnetycznego, napisał ...
• 2024-06-27 07:25:33