Oprócz dodawania i odejmowania macierzy macierze możemy także mnożyć.
Macierz można pomnożyć przez liczbę bądź przez drugą macierze.
Mnożenie macierzy przez liczbę (skalar)
Niech dana będzie macierz \(\mathbf{A}=[a_{ij}]\), oraz liczba \( \alpha \in \mathbb{R}\). Wówczas
\( \alpha \mathbf{A}=[ \alpha a_{ij}]\).
A zatem pomnożenie macierzy przez liczbę to pomnożenie wszystkich jej elementów przez tą liczbę.
Przykład:
Pomnożymy macierz przez \(2\).
.
Mnożenie macierzy przez macierz
Mnożenie macierzy \(\mathbf{A}=[a_{ij}]_{m \times p\) przez macierz \(\mathbf{B}=[b_{ij}]_{p \times n}\) da w wyniku macierz \(\mathbf{C}=[c_{ij}]_{m \times n}\), której elementy powstają poprzez pomnożenie skalarne \(i\)-tego wiersza macierzy \(\mathbf{A}\) przez \(j\)-tą kolumnę macierzy \(\mathbf{B}\), tj. \(c_{ij}\) to odpowiedni iloczyn skalarny wierszy macierzy \(\mathbf{A}\) i kolumn macierzy \(\mathbf{B}\). Prześledźmy to na przykładzie.
Przykład:
Zwróćmy uwagę, że aby pomnożyć ze sobą dwie macierze nie muszą być one tego samego wymiaru - ale liczba wierszy drugiej macierzy musi być taka sama jak liczba kolumn pierwszej macierzy.
Mnożenie macierzy oznaczamy symbolem \( \circ \).
Własności mnożenia macierzy:
1) łączność mnożenia
\(\mathbf{A \circ (B \circ C)}=\mathbf{(A \circ B) \circ C}\)
2) rozdzielność mnożenia względem dodawania
\(\mathbf{A \circ (B + C)}=\mathbf{A \circ B +A\circ C}\)
\(\mathbf{ (B + C) \circ A}=\mathbf{B \circ A + C \circ A}\)
3) mnożenie macierzy posiada element neutralny
\(\mathbf{I \circ A}=\mathbf{A \circ I}=\mathbf{A }\), gdzie \(\mathbf{I}\) - macierz jednostkowa
4) mnożenie macierzy nie jest przemienne
5) transpozycja iloczynu macierzy jest iloczynem macierzy transponowanych, przy czym zmienia się kolejność mnożenia
\(\mathbf{(A \circ B)^{T}=\mathbf{B^{T} \circ A^{T}}\), gdzie \(\mathbf{^{T}}\) - symbol transpozycji macierzy.