Wyznacznik macierzy

Wyznacznik macierzy to pewna liczba przyporządkowana tej macierzy (pod warunkiem, że jest to macierz kwadratowa).

Istnieje kilka równoważnych sposobów definiowania wyznaczników, jednak wszystkie te definicje mają to do siebie, że są bardzo techniczne.

Wyznacznik macierzy \mathbf{A} oznaczamy pionowymi kreskami lub pisząc \det\mathbf{A}.

Wyznacznik macierzy 1 \times 1

Wyznacznik macierzy \mathbf{A}  =[a] wymiaru 1 \times 1 to po prostu element tej macierzy.

|a|=a (równoważny zapis: \det\mathbf{A}=a).

Przy czym - mimo, że używamy zapisu podobnego do wartości bezwzględnej - wyznacznik nie jest wartością bezwzględną! Jeśli w macierzy znajduje się element ujemny, wyznacznik również będzie liczbą ujemną.

Przykład:

\mathbf{A}  =[5], \det\mathbf{A}=5

\mathbf{A}  =[-5]\det\mathbf{A}=-5 (lub w równoważnym zapisie |-5|=-5 - wyznacznik nie działa tak jak wartość bezwzględna!).

Wyznacznik macierzy 2 \times 2

Wyznacznik macierzy \mathbf{A} =
\left[ \begin{array}{ccc}
a & b  \\
c & d \\

\end{array} \right] wymiaru 2 \times 2 liczymy następująco:

\det\mathbf{A} =
\left| \begin{array}{ccc}
a & b  \\
c & d \\

\end{array} \right| =ab-cd.

Można o tym myśleć tak, jakbyśmy mnożyli elementy leżące na głównej przekątnej oraz odejmowali od nich iloczyn elementów leżących na drugiej przekątnej:

Przykład:


\left| \begin{array}{ccc}
1 & -2  \\
-4 & 3 \\

\end{array} \right| =1 \cdot 3-(-2) \cdot (-4)=3-6=-6

Wyznacznik macierzy 3 \times 3

Wyznacznik macierzy \mathbf{A} =
\left[ \begin{array}{ccc}
a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & i \\

\end{array} \right] wymiaru 3 \times 3 liczymy następująco:

\det\mathbf{A} =

\left| \begin{array}{ccc}
a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & i \\
\end{array} \right|

=aei+dhc+gbf-ceg-fha-ibd.

Tutaj również, tak jak w przypadku macierzy wymiaru 2 \times 2, odejmujemy od iloczynów liczonych po przekątnych idących z lewej do prawej - iloczyny liczone po przekątnych z prawej do lewej - przy czym aby te iloczyny znaleźć, musimy dopisać pod wyznacznikiem dwa pierwsze wiersze macierzy. Metoda ta nazywna jest metodą Sarrussa.

Można o tym myśleć tak, jakbyśmy mnożyli elementy leżące na głównej przekątnej oraz odejmowali od nich iloczyn elementów leżących na drugiej przekątnej:

Przykład:

\left| \begin{array}{ccc}
1 & 0 & 2 \\
-3 & -5 & 0 \\
1 & 0 & 4 \\
\end{array} \right|


=\left| \begin{array}{ccc}
1 & 0 & 2 \\
-3 & -5 & 0 \\
1 & 0 & 4 \\
1 & 0 & 2 \\
-3 & -5 & 0 \\
\end{array} \right|

=1 \cdot (-5) \cdot 4+(-3) \cdot 0 \cdot 2+1 \cdot 0 \cdot 0-2 \cdot (-5) \cdot 1
-0 \cdot 0 \cdot 1-4 \cdot 0 \cdot (-3)

=-20+0+0+10-0+0=-10

Wyznaczniki wyższych stopni

Wyznaczniki wyższych stopni liczymy korzystając z tak zwanego rozwinięcia Laplace'a.

Własności wyznaczników:

1) Wyznacznik macierzy transponowanej równy jest wyznacznikowi danej macierzy

\det \mathbf{A^T}=\det\mathbf{A}.

2) Wyznacznik macierzy jednostkowej wynosi 1.

\det \mathbf{I}=1.

3) Wyznacznik macierzy pomnożonej przez skalar równy jest wyznacznikowi tej macierzy pomnożonemu przez skalar podniesiony do potęgi będącej stopniem macierzy

\det  (\alpha \mathbf{A})= \alpha ^n \cdot \det\mathbf{A}, gdzie n - stopień macierzy \mathbf{A}.

4) Wyznacznik iloczynu macierzy równy jest iloczynowi wyznaczników macierzy

 \det \mathbf{(A \circ B)}=\det\mathbf{A}  \cdot   \det  \mathbf{B} .

5) Wyznacznik macierzy odwrotnej do danej jest odwrotnością wyznacznika danej macierzy

\det  (\mathbf{A^{-1}})=  \frac{1}{ \det\mathbf{A}}.

Polecamy również:

  • Rozwinięcie Laplace'a

    Rozwinięcie Laplace'a jest metodą pozwalającą liczyć wyznaczniki. Możemy dzięki niemu obliczać wyznaczniki dowolnego stopnia - w szczególności umożliwia ono liczenie wyznaczników stopnia wyższego niż trzy oraz zdarza się, że upraszcza liczenie wyznaczników stopnia trzeciego. W tej metodzie... Więcej »

Komentarze (0)
Wynik działania 2 + 5 =
Ostatnio komentowane
git
• 2023-02-08 21:11:48
latwe
• 2023-02-08 17:29:35
Dzk
• 2023-02-08 14:34:22
Ok
• 2023-02-05 19:16:03
Dziękuje
• 2023-02-05 10:06:49