Wyznacznik macierzy

Wyznacznik macierzy to pewna liczba przyporządkowana tej macierzy (pod warunkiem, że jest to macierz kwadratowa).

Istnieje kilka równoważnych sposobów definiowania wyznaczników, jednak wszystkie te definicje mają to do siebie, że są bardzo techniczne.

Wyznacznik macierzy \mathbf{A} oznaczamy pionowymi kreskami lub pisząc \det\mathbf{A}.

Wyznacznik macierzy 1 \times 1

Wyznacznik macierzy \mathbf{A}  =[a] wymiaru 1 \times 1 to po prostu element tej macierzy.

|a|=a (równoważny zapis: \det\mathbf{A}=a).

Przy czym - mimo, że używamy zapisu podobnego do wartości bezwzględnej - wyznacznik nie jest wartością bezwzględną! Jeśli w macierzy znajduje się element ujemny, wyznacznik również będzie liczbą ujemną.

Przykład:

\mathbf{A}  =[5], \det\mathbf{A}=5

\mathbf{A}  =[-5]\det\mathbf{A}=-5 (lub w równoważnym zapisie |-5|=-5 - wyznacznik nie działa tak jak wartość bezwzględna!).

Wyznacznik macierzy 2 \times 2

Wyznacznik macierzy \mathbf{A} =
\left[ \begin{array}{ccc}
a & b  \\
c & d \\

\end{array} \right] wymiaru 2 \times 2 liczymy następująco:

\det\mathbf{A} =
\left| \begin{array}{ccc}
a & b  \\
c & d \\

\end{array} \right| =ab-cd.

Można o tym myśleć tak, jakbyśmy mnożyli elementy leżące na głównej przekątnej oraz odejmowali od nich iloczyn elementów leżących na drugiej przekątnej:

Przykład:


\left| \begin{array}{ccc}
1 & -2  \\
-4 & 3 \\

\end{array} \right| =1 \cdot 3-(-2) \cdot (-4)=3-6=-6

Wyznacznik macierzy 3 \times 3

Wyznacznik macierzy \mathbf{A} =
\left[ \begin{array}{ccc}
a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & i \\

\end{array} \right] wymiaru 3 \times 3 liczymy następująco:

\det\mathbf{A} =

\left| \begin{array}{ccc}
a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & i \\
\end{array} \right|

=aei+dhc+gbf-ceg-fha-ibd.

Tutaj również, tak jak w przypadku macierzy wymiaru 2 \times 2, odejmujemy od iloczynów liczonych po przekątnych idących z lewej do prawej - iloczyny liczone

Komentarze (0)
Wynik działania 4 + 2 =
Ostatnio komentowane
Stanisław Łokietek???
MariaŻ • 2020-10-31 14:11:41
co
xd • 2020-10-30 09:40:54
Dobrze opisane jednak brakuje w środkach stylistycznych epitetu
User532750214 • 2020-10-30 09:18:09
gupi
lolxd • 2020-10-30 09:11:44
Stary siedzi na wersalce i...
Stary • 2020-10-29 19:18:40