Całkowanie przez części

W tym dziale

Drukuj: Drukuj
Rozmiar: AAA

Całkowanie przez części jest drugą obok całkowania przez podstawianie metodą obliczania całek wykraczającą poza wykorzystanie podstawowych wzorów.

W metodzie tej opieramy się na wzorze na pochodną iloczynu. Przypomnijmy ten wzór:

$(f(x)g(x))' = f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$

Jeśli na obie strony tej równości nałożymy całki i skorzystamy z własności addytywności całki (zamiana całki z sumy na sumę całek) to otrzymamy następującą równość

$\int_{}^{} (f(x)g(x))' dx= \int_{}^{} f'(x)g(x)dx+ \int_{}^{} f(x)g'(x)dx$

Ponieważ po lewej stronie mamy całkę z pochodnej, a całkowanie jest operacją przeciwną do różniczkowania, możemy zapisać po prostu

$f(x)g(x)= \int_{}^{} f'(x)g(x)dx+ \int_{}^{} f(x)g'(x)dx$

Co po przeniesieniu odpowiedniego wyrażenia sprowadzamy do

$f(x)g(x)- \int_{}^{} f'(x)g(x)dx= \int_{}^{} f(x)g'(x)dx$

A następnie zapisując lewą stronę po prawej a prawą po lewej otrzymujemy

$\int_{}^{} f(x)g'(x)dx = f(x)g(x)- \int_{}^{} f'(x)g(x)dx$

Powyższa równość to właśnie wzór na całkowanie przez części.

A zatem w tej metodzie początkową całkę przedstawiamy za pomocą iloczynu pewnych funkcji oraz innej całki - staramy się tak dobrać metodę, żeby ta druga całka była prostsza do wyliczenia niż początkowa całka.

Przykład

Rozważmy całkę $\int_{}^{} \sqrt{x} \ln x dx$ . W całce tej występują dwie funkcje podcałkowe - $\sqrt{x}$ oraz $\ln x$ .

Przyjmijmy: $f(x)= \ln x$ oraz $g'(x) = \sqrt{x}$ . Wówczas $f'(x)= \frac{1}{x}$ . Wyznaczmy funkcję $g(x)$ . W tym celu policzymy całkę z $\sqrt{x}$ .

$g(x)= \int_{}^{} \sqrt{x} dx= \int_{}^{} x^{ \frac{1}{2} }dx= \frac{x^{ \frac{1}{2}+1 }}{ \frac{1}{2} +1} = \frac{2}{3} x^{ \frac{3}{2} }$

Mając wyznaczone funkcje $f(x)$ , $f'(x)$ , $g(x)$ oraz $g'(x)$ możemy skorzystać ze wzoru na całkowanie przez części.

$\int_{}^{} \sqrt{x} \ln x dx= \int_{}^{} \ln x \cdot \sqrt{x} dx= \int_{}^{} f(x)g'(x)dx=f(x)g(x) - \int_{}^{} f'(x)g(x)dx=$

$\ln x \cdot \frac{2}{3} x^{ \frac{3}{2} }- \int_{}^{} \frac{1}{x} \cdot \frac{2}{3} x^{ \frac{3}{2} } dx=\frac{2}{3} x^{ \frac{3}{2} } \ln x - \frac{2}{3} \int_{}^{} x^{ \frac{3}{2} }dx =$

$\frac{2}{3} x^{ \frac{3}{2} } \ln x - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} x^{ \frac{3}{2} }+c= \frac{2}{3} x^{ \frac{3}{2} } \ln x - \frac{4}{9} x^{ \frac{3}{2} }+c$

Uwaga

Niekiedy metodę całkowania przez części należy zastosować kilkakrotnie.

Przykład

Wyznaczmy całkę $\int_{}^{} x^2 \sin x dx$ . W tej całce funkcjami podcałkowymi są $x^2$ oraz $\sin x$ .

Niech $f(x) = x^2$ oraz $g'(x) = \sin x$ .

Wtedy $f'(x) = 2x$ oraz $g(x)= \int_{}^{} \sin x dx=- \cos x$ .

A zatem $\int_{}^{} x^2 \sin x dx = -x^2 \cos x - \int_{}^{} 2x(-\cos x)dx= -x^2\cos x + 2 \int_{}^{} x \cos x dx$

W tym miejscu przerwiemy główne obliczenia w celu wyznaczenia całki $\int_{}^{} x \cos x dx$ .

Całkę tą również obliczamy całkując przez części.

Przyjmijmy $f(x)=x$ , $g'(x)=\cos x$ .

Wtedy $f'(x)=1$ oraz $g(x) = \int_{}^{} \cos x dx = \sin x$ .

Zatem $\int_{}^{} x \cos x dx = x \sin x - \int_{}^{} \sin x dx = x \sin x + \cos x$ .

Możemy teraz wrócić do poprzednich obliczeń.

$\int_{}^{} x^2 \sin x dx = -x^2\cos x + 2 \int_{}^{} x \cos x dx= -x^2 \cos x +2(x \sin x + \cos x)$

$=-x^2 \cos x +2x \sin x + 2\cos x + c$

Stałą $c$ pomijaliśmy w trakcie obliczeń w celu uproszczenia zapisu ale konieczne jest zapisanie jej przy wyniku.

Polecamy również:

Całka nieoznaczona

Całkę nieoznaczoną definiujemy w oparciu o... Więcej »
Całki - podstawowe wzory

Podstawowe wzory rachunku całkowego Więcej »
Całkowanie przez podstawienie

Całkowanie przez podstawienie jest jedną z podstawowych technik całkowania... Więcej »
Całkowanie funkcji wymiernych

O całkowaniu funkcji wymiernych mówimy w sytuacji gdy funkcją podcałkową jest funkcja postaci... Więcej »
Całka oznaczona

Całka oznaczona jest jednym z podstawowych pojęć w rachunku różniczkowym... Więcej »

Ostatnio dodane
Losowe

Komentarze (0)

Położenie geograficzne Afryki

Całkiem przydatne! ...

Anna Maria-Wesołowska • 2020-01-25 16:25:01

Rodzina rozszerzona i egalitarna

Rodzina (na szczęście) nie jest przystankiem lecz pierwszą naturalną grupą społeczn�...

Władysław • 2020-01-25 07:50:20

Rodzina tradycyjna

W ostatnich latach na naszym rynku prasowym pojawiło się wiele kolorowych, pięknie wyda...

Władysław • 2020-01-25 07:46:55

Rodzaje i typy rodzin

Zhańbiony Mężczyzna Autor: Władysław Pitak Młodzi mężczyźni nie spieszą się d...

Władysław • 2020-01-25 07:42:34

Św. Kinga

Jak mnie znajdą to mnie zabijom przyjadom na swoich rowerkach kradzionych ze złomu i aut...

Janusz korwin darwin • 2020-01-24 12:36:12