1. Strona główna
    2. /
  2. Matematyka
    3. /
  3. Całkowanie przez części

Całkowanie przez części

Całkowanie przez części jest drugą obok całkowania przez podstawianie metodą obliczania całek wykraczającą poza wykorzystanie podstawowych wzorów.

W metodzie tej opieramy się na wzorze na pochodną iloczynu. Przypomnijmy ten wzór:

(f(x)g(x))' = f'(x)g(x)+f(x)g'(x)

Jeśli na obie strony tej równości nałożymy całki i skorzystamy z własności addytywności całki (zamiana całki z sumy na sumę całek) to otrzymamy następującą równość

\int_{}^{} (f(x)g(x))' dx= \int_{}^{} f'(x)g(x)dx+ \int_{}^{} f(x)g'(x)dx

Ponieważ po lewej stronie mamy całkę z pochodnej, a całkowanie jest operacją przeciwną do różniczkowania, możemy zapisać po prostu

f(x)g(x)= \int_{}^{} f'(x)g(x)dx+ \int_{}^{} f(x)g'(x)dx

Co po przeniesieniu odpowiedniego wyrażenia sprowadzamy do

f(x)g(x)- \int_{}^{} f'(x)g(x)dx= \int_{}^{} f(x)g'(x)dx

A następnie zapisując lewą stronę po prawej a prawą po lewej otrzymujemy

\int_{}^{} f(x)g'(x)dx = f(x)g(x)- \int_{}^{} f'(x)g(x)dx

Powyższa równość to właśnie wzór na całkowanie przez części.

A zatem w tej metodzie początkową całkę przedstawiamy za pomocą iloczynu pewnych funkcji oraz innej całki - staramy się tak dobrać metodę, żeby ta druga całka była prostsza do wyliczenia niż początkowa całka.

 

Przykład

Rozważmy całkę \int_{}^{} \sqrt{x} \ln x dx. W całce tej występują dwie funkcje podcałkowe - \sqrt{x} oraz \ln x.

Przyjmijmy: f(x)= \ln x oraz g'(x) = \sqrt{x} . Wówczas f'(x)= \frac{1}{x} . Wyznaczmy funkcję g(x). W tym celu policzymy całkę z \sqrt{x} .

g(x)= \int_{}^{} \sqrt{x} dx= \int_{}^{} x^{ \frac{1}{2} }dx= \frac{x^{ \frac{1}{2}+1 }}{ \frac{1}{2} +1} = \frac{2}{3} x^{ \frac{3}{2} }

Mając wyznaczone funkcje f(x), f'(x), g(x) oraz g'(x) możemy skorzystać ze wzoru na całkowanie przez części.

\int_{}^{} \sqrt{x} \ln x dx= \int_{}^{} \ln x \cdot \sqrt{x} dx= \int_{}^{} f(x)g'(x)dx=f(x)g(x) - \int_{}^{} f'(x)g(x)dx=

\ln x \cdot \frac{2}{3} x^{ \frac{3}{2} }- \int_{}^{} \frac{1}{x} \cdot \frac{2}{3} x^{ \frac{3}{2} } dx=\frac{2}{3} x^{ \frac{3}{2} } \ln x - \frac{2}{3} \int_{}^{} x^{ \frac{3}{2} }dx =

\frac{2}{3} x^{ \frac{3}{2} } \ln x - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} x^{ \frac{3}{2} }+c= \frac{2}{3} x^{ \frac{3}{2} } \ln x - \frac{4}{9} x^{ \frac{3}{2} }+c

 

Uwaga

Niekiedy metodę całkowania przez części należy zastosować kilkakrotnie.

 

Przykład

Wyznaczmy całkę \int_{}^{} x^2 \sin x dx. W tej całce funkcjami podcałkowymi są x^2 oraz \sin x.

Niech f(x) = x^2 oraz g'(x) = \sin x.

Wtedy f'(x) = 2x oraz g(x)= \int_{}^{} \sin x dx=- \cos x.

A zatem \int_{}^{} x^2 \sin x dx = -x^2 \cos x - \int_{}^{} 2x(-\cos x)dx= -x^2\cos x + 2 \int_{}^{} x \cos x dx

W tym miejscu przerwiemy główne obliczenia w celu wyznaczenia całki \int_{}^{} x \cos x dx.

Całkę tą również obliczamy całkując przez części.

Przyjmijmy f(x)=x, g'(x)=\cos x.

Wtedy f'(x)=1 oraz g(x) = \int_{}^{} \cos x dx = \sin x.

Zatem \int_{}^{} x \cos x dx = x \sin x - \int_{}^{} \sin x dx = x \sin x + \cos x.

Możemy teraz wrócić do poprzednich obliczeń.

\int_{}^{} x^2 \sin x dx = -x^2\cos x + 2 \int_{}^{} x \cos x dx= -x^2 \cos x +2(x \sin x + \cos x)

=-x^2 \cos x +2x \sin x + 2\cos x + c

Stałą c pomijaliśmy w trakcie obliczeń w celu uproszczenia zapisu ale konieczne jest zapisanie jej przy wyniku.

Polecamy również:

Zobacz również

Losowe zadania

Komentarze (0)
Wynik działania 3 + 5 =
Ostatnio komentowane
Teogonia
.
• 2024-09-05 17:12:32
Wojna chłopska w Niemczech (1524-1526)
Dodajmy, że było to również ostatnie powstanie wendyjskie (słowiańskie) na terenie N...
• 2024-09-04 21:32:33
Idiota – streszczenie
DZIĘKUJĘ
• 2024-07-31 13:21:34
Najazdy barbarzyńców na Rzym
I cóż miał rację Marek Aureliusz który chciał podbić Germanię uderzeniem przez Mor...
• 2024-07-06 19:45:33
Ampere
O tym, że zmienne w czasie pole elektryczne jest źródłem pola magnetycznego, napisał ...
• 2024-06-27 07:25:33