Całkowanie przez części jest drugą obok całkowania przez podstawianie metodą obliczania całek wykraczającą poza wykorzystanie podstawowych wzorów.
W metodzie tej opieramy się na wzorze na pochodną iloczynu. Przypomnijmy ten wzór:
Jeśli na obie strony tej równości nałożymy całki i skorzystamy z własności addytywności całki (zamiana całki z sumy na sumę całek) to otrzymamy następującą równość
Ponieważ po lewej stronie mamy całkę z pochodnej, a całkowanie jest operacją przeciwną do różniczkowania, możemy zapisać po prostu
Co po przeniesieniu odpowiedniego wyrażenia sprowadzamy do
A następnie zapisując lewą stronę po prawej a prawą po lewej otrzymujemy
Powyższa równość to właśnie wzór na całkowanie przez części.
A zatem w tej metodzie początkową całkę przedstawiamy za pomocą iloczynu pewnych funkcji oraz innej całki - staramy się tak dobrać metodę, żeby ta druga całka była prostsza do wyliczenia niż początkowa całka.
Przykład
Rozważmy całkę . W całce tej występują dwie funkcje podcałkowe -
oraz
.
Przyjmijmy: oraz
. Wówczas
. Wyznaczmy funkcję
. W tym celu policzymy całkę z
.
Mając wyznaczone funkcje ,
,
oraz
możemy skorzystać ze wzoru na całkowanie przez części.
Uwaga
Niekiedy metodę całkowania przez części należy zastosować kilkakrotnie.
Przykład
Wyznaczmy całkę . W tej całce funkcjami podcałkowymi są
oraz
.
Niech oraz
.
Wtedy oraz
.
A zatem
W tym miejscu przerwiemy główne obliczenia w celu wyznaczenia całki .
Całkę tą również obliczamy całkując przez części.
Przyjmijmy ,
.
Wtedy oraz
.
Zatem .
Możemy teraz wrócić do poprzednich obliczeń.
Stałą pomijaliśmy w trakcie obliczeń w celu uproszczenia zapisu ale konieczne jest zapisanie jej przy wyniku.