Całkowanie przez części jest drugą obok całkowania przez podstawianie metodą obliczania całek wykraczającą poza wykorzystanie podstawowych wzorów.
W metodzie tej opieramy się na wzorze na pochodną iloczynu. Przypomnijmy ten wzór:
\((f(x)g(x))' = f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\)
Jeśli na obie strony tej równości nałożymy całki i skorzystamy z własności addytywności całki (zamiana całki z sumy na sumę całek) to otrzymamy następującą równość
\( \int_{}^{} (f(x)g(x))' dx= \int_{}^{} f'(x)g(x)dx+ \int_{}^{} f(x)g'(x)dx\)
Ponieważ po lewej stronie mamy całkę z pochodnej, a całkowanie jest operacją przeciwną do różniczkowania, możemy zapisać po prostu
\(f(x)g(x)= \int_{}^{} f'(x)g(x)dx+ \int_{}^{} f(x)g'(x)dx\)
Co po przeniesieniu odpowiedniego wyrażenia sprowadzamy do
\(f(x)g(x)- \int_{}^{} f'(x)g(x)dx= \int_{}^{} f(x)g'(x)dx\)
A następnie zapisując lewą stronę po prawej a prawą po lewej otrzymujemy
\(\int_{}^{} f(x)g'(x)dx = f(x)g(x)- \int_{}^{} f'(x)g(x)dx\)
Powyższa równość to właśnie wzór na całkowanie przez części.
A zatem w tej metodzie początkową całkę przedstawiamy za pomocą iloczynu pewnych funkcji oraz innej całki - staramy się tak dobrać metodę, żeby ta druga całka była prostsza do wyliczenia niż początkowa całka.
Przykład
Rozważmy całkę \( \int_{}^{} \sqrt{x} \ln x dx\). W całce tej występują dwie funkcje podcałkowe - \( \sqrt{x} \) oraz \(\ln x\).
Przyjmijmy: \(f(x)= \ln x\) oraz \(g'(x) = \sqrt{x} \). Wówczas \(f'(x)= \frac{1}{x} \). Wyznaczmy funkcję \(g(x)\). W tym celu policzymy całkę z \( \sqrt{x} \).
\(g(x)= \int_{}^{} \sqrt{x} dx= \int_{}^{} x^{ \frac{1}{2} }dx= \frac{x^{ \frac{1}{2}+1 }}{ \frac{1}{2} +1} = \frac{2}{3} x^{ \frac{3}{2} }\)
Mając wyznaczone funkcje \(f(x)\), \(f'(x)\), \(g(x)\) oraz \(g'(x)\) możemy skorzystać ze wzoru na całkowanie przez części.
\( \int_{}^{} \sqrt{x} \ln x dx= \int_{}^{} \ln x \cdot \sqrt{x} dx= \int_{}^{} f(x)g'(x)dx=f(x)g(x) - \int_{}^{} f'(x)g(x)dx=\)
\(\ln x \cdot \frac{2}{3} x^{ \frac{3}{2} }- \int_{}^{} \frac{1}{x} \cdot \frac{2}{3} x^{ \frac{3}{2} } dx=\frac{2}{3} x^{ \frac{3}{2} } \ln x - \frac{2}{3} \int_{}^{} x^{ \frac{3}{2} }dx =\)
\( \frac{2}{3} x^{ \frac{3}{2} } \ln x - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} x^{ \frac{3}{2} }+c= \frac{2}{3} x^{ \frac{3}{2} } \ln x - \frac{4}{9} x^{ \frac{3}{2} }+c\)
Uwaga
Niekiedy metodę całkowania przez części należy zastosować kilkakrotnie.
Przykład
Wyznaczmy całkę \( \int_{}^{} x^2 \sin x dx\). W tej całce funkcjami podcałkowymi są \(x^2\) oraz \(\sin x\).
Niech \(f(x) = x^2\) oraz \(g'(x) = \sin x\).
Wtedy \(f'(x) = 2x\) oraz \(g(x)= \int_{}^{} \sin x dx=- \cos x\).
A zatem \( \int_{}^{} x^2 \sin x dx = -x^2 \cos x - \int_{}^{} 2x(-\cos x)dx= -x^2\cos x + 2 \int_{}^{} x \cos x dx\)
W tym miejscu przerwiemy główne obliczenia w celu wyznaczenia całki \( \int_{}^{} x \cos x dx\).
Całkę tą również obliczamy całkując przez części.
Przyjmijmy \(f(x)=x\), \(g'(x)=\cos x\).
Wtedy \(f'(x)=1\) oraz \(g(x) = \int_{}^{} \cos x dx = \sin x\).
Zatem \( \int_{}^{} x \cos x dx = x \sin x - \int_{}^{} \sin x dx = x \sin x + \cos x\).
Możemy teraz wrócić do poprzednich obliczeń.
\( \int_{}^{} x^2 \sin x dx = -x^2\cos x + 2 \int_{}^{} x \cos x dx= -x^2 \cos x +2(x \sin x + \cos x)\)
\(=-x^2 \cos x +2x \sin x + 2\cos x + c\)
Stałą \(c\) pomijaliśmy w trakcie obliczeń w celu uproszczenia zapisu ale konieczne jest zapisanie jej przy wyniku.