Na stronie używamy cookies. Korzystanie z witryny oznacza zgodę na ich wykorzystywanie. Szczegóły znajdziesz w Regulaminie.
ZAMKNIJ X

Całkowanie przez części

Ostatnio komentowane
dzięki
Sasha • 2019-11-12 21:20:42
2+2*2-8+12-195883+20984023495+26x-16x+1902349x=?x
jprdl • 2019-11-12 17:21:46
Dzięki haha
roxiii • 2019-11-12 16:35:43
aha ok nie o to mi chodziło w wyszukiwarce XDDD
kreatywna nazwa • 2019-11-12 14:39:41
ok
m • 2019-11-12 13:59:33
Autor:
Drukuj
Drukuj
Rozmiar
AAA

Całkowanie przez części jest drugą obok całkowania przez podstawianie metodą obliczania całek wykraczającą poza wykorzystanie podstawowych wzorów.

W metodzie tej opieramy się na wzorze na pochodną iloczynu. Przypomnijmy ten wzór:

(f(x)g(x))' = f'(x)g(x)+f(x)g'(x)

Jeśli na obie strony tej równości nałożymy całki i skorzystamy z własności addytywności całki (zamiana całki z sumy na sumę całek) to otrzymamy następującą równość

 \int_{}^{} (f(x)g(x))' dx=  \int_{}^{} f'(x)g(x)dx+ \int_{}^{} f(x)g'(x)dx

Ponieważ po lewej stronie mamy całkę z pochodnej, a całkowanie jest operacją przeciwną do różniczkowania, możemy zapisać po prostu

f(x)g(x)=  \int_{}^{} f'(x)g(x)dx+ \int_{}^{} f(x)g'(x)dx

Co po przeniesieniu odpowiedniego wyrażenia sprowadzamy do

f(x)g(x)-  \int_{}^{} f'(x)g(x)dx= \int_{}^{} f(x)g'(x)dx

A następnie zapisując lewą stronę po prawej a prawą po lewej otrzymujemy

\int_{}^{} f(x)g'(x)dx = f(x)g(x)-  \int_{}^{} f'(x)g(x)dx

Powyższa równość to właśnie wzór na całkowanie przez części.

A zatem w tej metodzie początkową całkę przedstawiamy za pomocą iloczynu pewnych funkcji oraz innej całki - staramy się tak dobrać metodę, żeby ta druga całka była prostsza do wyliczenia niż początkowa całka.

 

Przykład

Rozważmy całkę  \int_{}^{}  \sqrt{x} \ln x dx. W całce tej występują dwie funkcje podcałkowe -  \sqrt{x} oraz \ln x.

Przyjmijmy: f(x)= \ln x oraz g'(x) =  \sqrt{x} . Wówczas f'(x)= \frac{1}{x} . Wyznaczmy funkcję g(x). W tym celu policzymy całkę z  \sqrt{x} .

g(x)= \int_{}^{}  \sqrt{x} dx= \int_{}^{} x^{ \frac{1}{2} }dx= \frac{x^{ \frac{1}{2}+1 }}{ \frac{1}{2} +1} = \frac{2}{3} x^{ \frac{3}{2} }

Mając wyznaczone funkcje f(x), f'(x), g(x) oraz g'(x) możemy skorzystać ze wzoru na całkowanie przez części.

 \int_{}^{}  \sqrt{x} \ln x dx= \int_{}^{} \ln x  \cdot \sqrt{x}  dx=
 \int_{}^{} f(x)g'(x)dx=f(x)g(x) -  \int_{}^{} f'(x)g(x)dx=

\ln x \cdot  \frac{2}{3} x^{ \frac{3}{2} }- \int_{}^{}  \frac{1}{x}  \cdot \frac{2}{3}  x^{ \frac{3}{2} } dx=\frac{2}{3}  x^{ \frac{3}{2} } \ln x - \frac{2}{3}  \int_{}^{}  x^{ \frac{3}{2} }dx =

 \frac{2}{3}   x^{ \frac{3}{2} } \ln x -  \frac{2}{3}  \cdot  \frac{2}{3} x^{ \frac{3}{2} }+c=
 \frac{2}{3} x^{ \frac{3}{2} } \ln x -  \frac{4}{9} x^{ \frac{3}{2} }+c

 

Uwaga

Niekiedy metodę całkowania przez części należy zastosować kilkakrotnie.

 

Przykład

Wyznaczmy całkę  \int_{}^{} x^2 \sin x dx. W tej całce funkcjami podcałkowymi są x^2 oraz \sin x.

Niech f(x) = x^2 oraz g'(x) = \sin x.

Wtedy f'(x) = 2x oraz g(x)=  \int_{}^{} \sin x dx=- \cos x.

A zatem  \int_{}^{} x^2 \sin x dx = -x^2 \cos x -  \int_{}^{} 2x(-\cos x)dx=
-x^2\cos x + 2  \int_{}^{} x \cos x dx

W tym miejscu przerwiemy główne obliczenia w celu wyznaczenia całki  \int_{}^{} x \cos x dx.

Całkę tą również obliczamy całkując przez części.

Przyjmijmy f(x)=x, g'(x)=\cos x.

Wtedy f'(x)=1 oraz g(x) =  \int_{}^{} \cos x dx = \sin x.

Zatem  \int_{}^{} x \cos x dx = x \sin x -  \int_{}^{} \sin x dx = x \sin x + \cos x.

Możemy teraz wrócić do poprzednich obliczeń.

 \int_{}^{} x^2 \sin x dx = 
-x^2\cos x + 2  \int_{}^{} x \cos x dx=
-x^2 \cos x +2(x \sin x + \cos x)

=-x^2 \cos x +2x \sin x + 2\cos x + c

Stałą c pomijaliśmy w trakcie obliczeń w celu uproszczenia zapisu ale konieczne jest zapisanie jej przy wyniku.

Polecamy również:

Komentarze (0)
5 + 3 =