Całkowanie funkcji wymiernych

O całkowaniu funkcji wymiernych mówimy w sytuacji gdy funkcją podcałkową jest funkcja postaci \( \frac{P(x)}{Q(x)} \), gdzie \(P(x)\) i \(Q(x)\) są pewnymi wielomianami (oczywiście \(Q(x) \neq 0\)).

Jeżeli stopień wielomianu \(P(x)\) jest większy od stopnia wielomianu \(Q(x)\), to dzielimy

 wielomian \(P(x)\) przez \(Q(x)\), a resztę z dzielenia zapisujemy w postaci ułamka.

 

Przykład

Rozważmy całkę \( \int_{}^{} \frac{x^4+2x^3+x^2+2x+2}{x^2+1} dx\). Funkcją podcałkową jest \(\frac{x^4+2x^3+x^2+2x+2}{x^2+1}\).

Możemy zatem podzielić wielomian \(P(x) = x^4+2x^3+x^2+2x+2\) przez wielomian \(Q(x) = x^2+1\). Otrzymamy wówczas \(x^2+2\) jako wynik dzielenia oraz resztę równą \(2\).

Możemy więc zapisać funkcję podcałkową w postaci sumy trzech składników:

\(\frac{x^4+2x^3+x^2+2x+2}{x^2+1} = x^2+2x+ \frac{2}{x^2+1} \)

A więc początkowa całka rozkłada się na sumę trzech całek (korzystamy z addytywności całki).

\( \int_{}^{} \frac{x^4+2x^3+x^2+2x+2}{x^2+1}dx = \int_{}^{} x^2dx + \int_{}^{} 2xdx+ \int_{}^{} \frac{2}{x^2+1} dx\)

Każdą z tych całek policzymy w prosty sposób (korzystając z podstawowych wzorów) otrzymując w wyniku

\( \frac{x^3}{3} +x^2+2 arctgx+c\)

 

Uwaga

Jeśli stopień licznika jest mniejszy niż stopień mianownika, powyższa metoda nie zadziała. Wówczas dla funkcji podcałkowej wykonujemy rozkład na ułamki proste.

Polecamy również:

Komentarze (0)
Wynik działania 4 + 4 =
Ostatnio komentowane
Iiriruufu
• 2025-02-12 20:43:57
nie wiem po co takie łatwe działanie
• 2025-02-04 15:03:23
W planie wydarzeń punkt 1 i 2 powinny być zamienione miejscami.
• 2025-01-29 19:30:27
Jest tu zawarte wiele niezbędnych oraz interesujących informacji o twórcy i artyście jakim...
• 2025-01-26 10:13:01
To ja ola
• 2025-01-20 14:10:30