1. Strona główna
    2. /
  2. Matematyka
    3. /
  3. Całkowanie funkcji wymiernych

Całkowanie funkcji wymiernych

O całkowaniu funkcji wymiernych mówimy w sytuacji gdy funkcją podcałkową jest funkcja postaci \frac{P(x)}{Q(x)} , gdzie P(x) i Q(x) są pewnymi wielomianami (oczywiście Q(x) \neq 0).

Jeżeli stopień wielomianu P(x) jest większy od stopnia wielomianu Q(x), to dzielimy

 wielomian P(x) przez Q(x), a resztę z dzielenia zapisujemy w postaci ułamka.

 

Przykład

Rozważmy całkę \int_{}^{} \frac{x^4+2x^3+x^2+2x+2}{x^2+1} dx. Funkcją podcałkową jest \frac{x^4+2x^3+x^2+2x+2}{x^2+1}.

Możemy zatem podzielić wielomian P(x) = x^4+2x^3+x^2+2x+2 przez wielomian Q(x) = x^2+1. Otrzymamy wówczas x^2+2 jako wynik dzielenia oraz resztę równą 2.

Możemy więc zapisać funkcję podcałkową w postaci sumy trzech składników:

\frac{x^4+2x^3+x^2+2x+2}{x^2+1} = x^2+2x+ \frac{2}{x^2+1}

A więc początkowa całka rozkłada się na sumę trzech całek (korzystamy z addytywności całki).

\int_{}^{} \frac{x^4+2x^3+x^2+2x+2}{x^2+1}dx = \int_{}^{} x^2dx + \int_{}^{} 2xdx+ \int_{}^{} \frac{2}{x^2+1} dx

Każdą z tych całek policzymy w prosty sposób (korzystając z podstawowych wzorów) otrzymując w wyniku

\frac{x^3}{3} +x^2+2 arctgx+c

 

Uwaga

Jeśli stopień licznika jest mniejszy niż stopień mianownika, powyższa metoda nie zadziała. Wówczas dla funkcji podcałkowej wykonujemy rozkład na ułamki proste.

Polecamy również:

Zobacz również

Losowe zadania

Komentarze (0)
Wynik działania 3 + 1 =
Ostatnio komentowane
Wojna chłopska w Niemczech (1524-1526)
Dodajmy, że było to również ostatnie powstanie wendyjskie (słowiańskie) na terenie N...
• 2024-09-04 21:32:33
Idiota – streszczenie
DZIĘKUJĘ
• 2024-07-31 13:21:34
Najazdy barbarzyńców na Rzym
I cóż miał rację Marek Aureliusz który chciał podbić Germanię uderzeniem przez Mor...
• 2024-07-06 19:45:33
Ampere
O tym, że zmienne w czasie pole elektryczne jest źródłem pola magnetycznego, napisał ...
• 2024-06-27 07:25:33
Legiony Polskie we Włoszech (1797)
ok
• 2024-06-05 13:52:17