Całkowanie funkcji wymiernych

O całkowaniu funkcji wymiernych mówimy w sytuacji gdy funkcją podcałkową jest funkcja postaci  \frac{P(x)}{Q(x)} , gdzie P(x) i Q(x) są pewnymi wielomianami (oczywiście Q(x)  \neq 0).

Jeżeli stopień wielomianu P(x) jest większy od stopnia wielomianu Q(x), to dzielimy

 wielomian P(x) przez Q(x), a resztę z dzielenia zapisujemy w postaci ułamka.

 

Przykład

Rozważmy całkę  \int_{}^{}  \frac{x^4+2x^3+x^2+2x+2}{x^2+1} dx. Funkcją podcałkową jest \frac{x^4+2x^3+x^2+2x+2}{x^2+1}.

Możemy zatem podzielić wielomian P(x) = x^4+2x^3+x^2+2x+2 przez wielomian Q(x) = x^2+1. Otrzymamy wówczas x^2+2 jako wynik dzielenia oraz resztę równą 2.

Możemy więc zapisać funkcję podcałkową w postaci sumy trzech składników:

\frac{x^4+2x^3+x^2+2x+2}{x^2+1} = x^2+2x+ \frac{2}{x^2+1}

A więc początkowa całka rozkłada się na sumę trzech całek (korzystamy z addytywności całki).

 \int_{}^{} \frac{x^4+2x^3+x^2+2x+2}{x^2+1}dx =  \int_{}^{} x^2dx
+ \int_{}^{} 2xdx+  \int_{}^{} \frac{2}{x^2+1} dx

Każdą z tych całek policzymy w prosty sposób (korzystając z podstawowych wzorów) otrzymując w wyniku

 \frac{x^3}{3} +x^2+2 arctgx+c

 

Uwaga

Jeśli stopień licznika jest mniejszy niż stopień mianownika, powyższa metoda nie zadziała. Wówczas dla funkcji podcałkowej wykonujemy rozkład na ułamki proste.

Polecamy również:

Komentarze (0)
Wynik działania 4 + 1 =
Ostatnio komentowane
OK
• 2024-02-21 20:23:35
dziękuję bardzo ratujecie mnie
• 2024-02-21 19:08:12
i
• 2024-02-20 09:57:14
Bardzo pomogło mi w zadaniu domowym
• 2024-02-18 10:48:52
skidibi tojlet
• 2024-02-16 17:21:38