O całkowaniu funkcji wymiernych mówimy w sytuacji gdy funkcją podcałkową jest funkcja postaci \( \frac{P(x)}{Q(x)} \), gdzie \(P(x)\) i \(Q(x)\) są pewnymi wielomianami (oczywiście \(Q(x) \neq 0\)).
Jeżeli stopień wielomianu \(P(x)\) jest większy od stopnia wielomianu \(Q(x)\), to dzielimy
wielomian \(P(x)\) przez \(Q(x)\), a resztę z dzielenia zapisujemy w postaci ułamka.
Przykład
Rozważmy całkę \( \int_{}^{} \frac{x^4+2x^3+x^2+2x+2}{x^2+1} dx\). Funkcją podcałkową jest \(\frac{x^4+2x^3+x^2+2x+2}{x^2+1}\).
Możemy zatem podzielić wielomian \(P(x) = x^4+2x^3+x^2+2x+2\) przez wielomian \(Q(x) = x^2+1\). Otrzymamy wówczas \(x^2+2\) jako wynik dzielenia oraz resztę równą \(2\).
Możemy więc zapisać funkcję podcałkową w postaci sumy trzech składników:
\(\frac{x^4+2x^3+x^2+2x+2}{x^2+1} = x^2+2x+ \frac{2}{x^2+1} \)
A więc początkowa całka rozkłada się na sumę trzech całek (korzystamy z addytywności całki).
\( \int_{}^{} \frac{x^4+2x^3+x^2+2x+2}{x^2+1}dx = \int_{}^{} x^2dx + \int_{}^{} 2xdx+ \int_{}^{} \frac{2}{x^2+1} dx\)
Każdą z tych całek policzymy w prosty sposób (korzystając z podstawowych wzorów) otrzymując w wyniku
\( \frac{x^3}{3} +x^2+2 arctgx+c\)
Uwaga
Jeśli stopień licznika jest mniejszy niż stopień mianownika, powyższa metoda nie zadziała. Wówczas dla funkcji podcałkowej wykonujemy rozkład na ułamki proste.