Rozkład na ułamki proste

Z rozkładem na ułamki proste spotykamy się w przypadku całkowania funkcji wymiernych.

Przypomnijmy: funkcją wymierną nazywamy funkcję postaci  \frac{P(x)}{Q(x)} , gdzie występujące w liczniku i mianowniku P(x) oraz Q(x) są pewnymi wielomianami (przy czym Q(x) jest wielomianem niezerowym).

 

Definicja

Ułamkami prostymi nazywamy wszystkie funkcje postaci

 \frac{A}{(x-a)^k} , gdzie k=1,2,3,...

oraz

 \frac{Mx+N}{(x^2+px+q)^k} , gdzie k=1,2,3,... i  \Delta =p^2-4q<0.

 

Twierdzenie

Każda funkcja wymierna, dla której stopień licznika jest mniejszy od stopnia mianownika jest sumą ułamków prostych.

 

Przykład

Funkcji  \frac{x^3+5x-7}{x^2-5} nie rozłożymy na ułamki proste - stopień licznika (3) jest większy od stopnia mianownika (2).

 

Przykład

Funkcję  \frac{4x^2+7x-3}{x^3-3x-2} możemy rozłożyć na ułamki proste ponieważ stopień licznika jest mniejszy od stopnia mianownika.

Przygotowanie do rozkładu na ułamki proste

Na początek rozłóżmy mianownik na czynniki.

Q(x)=x^3-3x-2

Wielomian ten zeruje się dla x=-1:

Q(-1)=(-1)^3-3 \cdot (-1)-2=-1+3-2=0, w związku z tym podzielimy go przez dwumian (x+1) (korzystając z dzielenia wielomianów).

W wyniku dzielenia otrzymujemy x^2-x-2. Możemy więc przedstawić Q(x) w postaci iloczynu dwóch czynników:

Q(x)=x^3-3x-2 = (x+1)(x^2-x-2)

Ponieważ wyrażenie x^2-x-2 również możemy rozłożyć na czynniki (licząc  \Delta oraz pierwiastki trójmianu kwadratowego) ostatecznie mianownik rozważanej funkcji ma przedstawienie jak poniżej:

Q(x)=(x+1)(x+1)(x-2)=(x+1)^2(x-2)

Rozkład na ułamki proste

Funkcję  \frac{4x^2+7x-3}{x^3-3x-2} przedstawmy jako sumę trzech ułamków prostych, o mianownikach odpowiednio x-2, x+1, (x+1)^2 (z takich czynników składa się mianownik wyjściowej funkcji). Nie znamy liczników, toteż wstawimy w ich miejsce niewiadome A, B i C.

 \frac{4x^2+7x-3}{x^3-3x-2} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x+1} + \frac{C}{(x+1)^2}

 \frac{4x^2+7x-3}{(x+1)^2(x-2)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x+1} + \frac{C}{(x+1)^2}

Przemnóżmy teraz obie strony równania przez (x+1)^2(x-2). Otrzymujemy

4x^2+7x-3 = A(x+1)^2 + B(x+1)(x-2) + C(x-2)

4x^2+7x-3 = Ax^2 +2Ax +A +Bx^2-Bx-2B+Cx-2C

4x^2+7x-3 = x^2(A+B) +x(2A-B+C)+A-2B-2C

 \begin{cases} 4=A+B \\ 7=2A-B+C \\ -3=A-2B-2C \end{cases}

 \begin{cases} A=3 \\ B=1 \\ C=2 \end{cases}

 \frac{4x^2+7x-3}{x^3-3x-2} = \frac{3}{x-2} + \frac{1}{x+1} + \frac{2}{(x+1)^2}

 

Przykład

Rozważmy całkę  \int_{}^{}  \frac{4x^2+7x-3}{x^3-3x-2} dx. Funkcję podcałkową możemy rozłożyć na sumę ułamków prostych \frac{3}{x-2} + \frac{1}{x+1} + \frac{2}{(x+1)^2} , a zatem całkę rozpiszemy następująco:

 \int_{}^{}  \frac{4x^2+7x-3}{x^3-3x-2} dx
= \int_{}^{}  \frac{3}{x-2} + \frac{1}{x+1} + \frac{2}{(x+1)^2} dx

Korzystając z addytywności całki rozbijemy ją teraz na trzy całki:

 \int_{}^{}  \frac{3}{x-2} dx +  \int_{}^{} \frac{1}{x+1}dx +  \int_{}^{} \frac{2}{(x+1)^2} dx

Każdą z tych całek liczymy z osobna (korzystając odpowiednio z podstawowych wzorów w przypadku dwóch pierwszych całek oraz podstawienia w przypadku trzeciej całki).

 \int_{}^{}  \frac{3}{x-2} dx= 3 \int_{}^{}  \frac{dx}{x-2} =3 \ln |x-2|+c

 \int_{}^{}  \frac{dx}{x+1} dx= \ln |x+1| +c

 \int_{}^{}  \frac{2}{(x+1)^2} dx=
2 \int_{}^{}   \frac{dx}{(x+1)^2}

W tym miejscu podstawimy x+1=t oraz dx=dt otrzymując

2 \int_{}^{} \frac{dt}{t^2} =2 \frac{t^{-1}}{-1} +c=- \frac{2}{x+1} +c

A zatem powracając do początkowej całki otrzymujemy

 \int_{}^{}  \frac{4x^2+7x-3}{x^3-3x-2} dx
= \int_{}^{}  \frac{3}{x-2} + \frac{1}{x+1} + \frac{2}{(x+1)^2} dx

=3 \ln |x-2| + \ln|x+1| -  \frac{2}{x+1} +c

Polecamy również:

Komentarze (0)
Wynik działania 5 + 5 =
Ostatnio komentowane
Czyli,powiedzenie Polak Węgier dwa bratanki,nie jak się nie odnoszą względem pochodzen...
• 2022-06-16 19:03:58
ekstra
• 2022-06-18 17:12:40
ok
• 2022-06-08 15:52:28
dzięks
• 2022-06-06 19:26:13
Ale proste
• 2022-06-06 14:23:48