Z rozkładem na ułamki proste spotykamy się w przypadku całkowania funkcji wymiernych.
Przypomnijmy: funkcją wymierną nazywamy funkcję postaci \( \frac{P(x)}{Q(x)} \), gdzie występujące w liczniku i mianowniku \(P(x)\) oraz \(Q(x)\) są pewnymi wielomianami (przy czym \(Q(x)\) jest wielomianem niezerowym).
Definicja
Ułamkami prostymi nazywamy wszystkie funkcje postaci
\( \frac{A}{(x-a)^k} \), gdzie \(k=1,2,3,...\)
oraz
\( \frac{Mx+N}{(x^2+px+q)^k} \), gdzie \(k=1,2,3,...\) i .
Twierdzenie
Każda funkcja wymierna, dla której stopień licznika jest mniejszy od stopnia mianownika jest sumą ułamków prostych.
Przykład
Funkcji \( \frac{x^3+5x-7}{x^2-5} \) nie rozłożymy na ułamki proste - stopień licznika (\(3\)) jest większy od stopnia mianownika (\(2\)).
Przykład
Funkcję \( \frac{4x^2+7x-3}{x^3-3x-2} \) możemy rozłożyć na ułamki proste ponieważ stopień licznika jest mniejszy od stopnia mianownika.
Przygotowanie do rozkładu na ułamki proste
Na początek rozłóżmy mianownik na czynniki.
\(Q(x)=x^3-3x-2\)
Wielomian ten zeruje się dla \(x=-1\):
\(Q(-1)=(-1)^3-3 \cdot (-1)-2=-1+3-2=0\), w związku z tym podzielimy go przez dwumian \((x+1)\) (korzystając z dzielenia wielomianów).
W wyniku dzielenia otrzymujemy \(x^2-x-2\). Możemy więc przedstawić \(Q(x)\) w postaci iloczynu dwóch czynników:
\(Q(x)=x^3-3x-2 = (x+1)(x^2-x-2)\)
Ponieważ wyrażenie \(x^2-x-2\) również możemy rozłożyć na czynniki (licząc \( \Delta \) oraz pierwiastki trójmianu kwadratowego) ostatecznie mianownik rozważanej funkcji ma przedstawienie jak poniżej:
\(Q(x)=(x+1)(x+1)(x-2)=(x+1)^2(x-2)\)
Rozkład na ułamki proste
Funkcję \( \frac{4x^2+7x-3}{x^3-3x-2} \) przedstawmy jako sumę trzech ułamków prostych, o mianownikach odpowiednio \(x-2\), \(x+1\), \((x+1)^2\) (z takich czynników składa się mianownik wyjściowej funkcji). Nie znamy liczników, toteż wstawimy w ich miejsce niewiadome \(A\), \(B\) i \(C\).
\( \frac{4x^2+7x-3}{x^3-3x-2} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x+1} + \frac{C}{(x+1)^2} \)
\( \frac{4x^2+7x-3}{(x+1)^2(x-2)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x+1} + \frac{C}{(x+1)^2} \)
Przemnóżmy teraz obie strony równania przez \((x+1)^2(x-2)\). Otrzymujemy
\(4x^2+7x-3 = A(x+1)^2 + B(x+1)(x-2) + C(x-2)\)
\(4x^2+7x-3 = Ax^2 +2Ax +A +Bx^2-Bx-2B+Cx-2C\)
\(4x^2+7x-3 = x^2(A+B) +x(2A-B+C)+A-2B-2C\)
\( \begin{cases} 4=A+B \\ 7=2A-B+C \\ -3=A-2B-2C \end{cases} \)
\( \begin{cases} A=3 \\ B=1 \\ C=2 \end{cases} \)
\( \frac{4x^2+7x-3}{x^3-3x-2} = \frac{3}{x-2} + \frac{1}{x+1} + \frac{2}{(x+1)^2} \)
Przykład
Rozważmy całkę \( \int_{}^{} \frac{4x^2+7x-3}{x^3-3x-2} dx\). Funkcję podcałkową możemy rozłożyć na sumę ułamków prostych \(\frac{3}{x-2} + \frac{1}{x+1} + \frac{2}{(x+1)^2} \), a zatem całkę rozpiszemy następująco:
\( \int_{}^{} \frac{4x^2+7x-3}{x^3-3x-2} dx = \int_{}^{} \frac{3}{x-2} + \frac{1}{x+1} + \frac{2}{(x+1)^2} dx\)
Korzystając z addytywności całki rozbijemy ją teraz na trzy całki:
\( \int_{}^{} \frac{3}{x-2} dx + \int_{}^{} \frac{1}{x+1}dx + \int_{}^{} \frac{2}{(x+1)^2} dx\)
Każdą z tych całek liczymy z osobna (korzystając odpowiednio z podstawowych wzorów w przypadku dwóch pierwszych całek oraz podstawienia w przypadku trzeciej całki).
\( \int_{}^{} \frac{3}{x-2} dx= 3 \int_{}^{} \frac{dx}{x-2} =3 \ln |x-2|+c\)
\( \int_{}^{} \frac{dx}{x+1} dx= \ln |x+1| +c\)
\( \int_{}^{} \frac{2}{(x+1)^2} dx= 2 \int_{}^{} \frac{dx}{(x+1)^2}\)
W tym miejscu podstawimy \(x+1=t\) oraz \(dx=dt\) otrzymując
\(2 \int_{}^{} \frac{dt}{t^2} =2 \frac{t^{-1}}{-1} +c=- \frac{2}{x+1} +c\)
A zatem powracając do początkowej całki otrzymujemy
\( \int_{}^{} \frac{4x^2+7x-3}{x^3-3x-2} dx = \int_{}^{} \frac{3}{x-2} + \frac{1}{x+1} + \frac{2}{(x+1)^2} dx \)
\(=3 \ln |x-2| + \ln|x+1| - \frac{2}{x+1} +c\)