Całkowanie przez podstawienie jest jedną z podstawowych technik całkowania.
Metodą tą posługujemy się wówczas, gdy wyjściowej całki nie potrafimy policzyć korzystając z podstawowych wzorów na całkowanie oraz elementarnych własności całki (np. wyłączenie stałej przed całkę lub rozbicie całki na sumę/różnicę całek). Jej idea sprowadza się do przekształcenia całki, której nie umiemy policzyć, w całkę łatwiejszą do policzenia, wykorzystując odpowiednie podstawienie.
Formalnie możemy tą sytuację przedstawić za pomocą wzoru
\( \int_{}^{} f(x)dx= \int_{}^{} f(g(t)) g'(t) dt\) - w ten sposób całkę z funkcji \(f(x)\) po zmiennej \(x\) sprowadzamy do całki z funkcji złożonej \(f(g(t))g'(t)\) po zmiennej \(t\).
Najwygodniej jest zrozumieć tą metodę analizując przykłady jej wykorzystania.
Przykład:
\( \int_{}^{} \sin x \cos x dx\) - całki tej nie potrafimy policzyć korzystając z elementarnych wzorów. Zastosujmy następujące podstawienie:
\(t = \sin x\)
Wówczas różniczkując obustronnie dostaniemy:
\(dt= \cos x dx\)
A zatem wyjściowa całka mieć będzie postać \( \int_{}^{} \sin x \cos x dx= \int_{}^{} t dt\) i całkę tą potrafimy policzyć.
\( \int_{}^{} \sin x \cos x dx= \int_{}^{} t dt = \frac{t^2}{2}+c= \frac{\sin^2 x}{2} +c\).
Zwróćmy uwagę, że na końcu do wyniku podstawiliśmy z powrotem \(t = \sin x\), tak by wynik był funkcją zmiennej \(x\).
Sprawdzenia można dokonać licząc pochodną z tego co otrzymaliśmy:
\(( \frac{\sin^2 x}{2} +c)'=\sin x \cos x\).
Uwaga:
Nie istnieją uniwersalne reguły tego jakie podstawienie się w danym przypadku sprawdzi. Wyrobienie w sobie wprawy w tym zakresie wymaga przeliczania pewnej liczby przykładów. Często za \(t\) podstawia się występującą w wyrażeniu podcałkowym funkcję trygonometryczną (jak w powyższym przykładzie) lub funkcję zawierającą logarytm.
Przykład:
Policzmy całkę \( \int_{}^{} \frac{2 \ln x}{x} dx\). W tym celu podstawmy za \(\ln x\) zmienną \(t\).
\(\ln x = t\)
Zróżniczkujmy obie strony po odpowiednich zmiennych (lewą po \(x\), prawą po \(t\)).
\( \frac{1}{x} dx=dt\)
Teraz możemy wykorzystać otrzymane powyżej równości by zapisać początkową całkę w innej postaci:
\( \int_{}^{} \frac{2 \ln x}{x} dx = \int_{}^{} 2\ln x \frac{1 }{x}dx= \int_{}^{} 2tdt\) - tak przekształconą całkę możemy policzyć korzystając z wyłączenia stałej przed nawias oraz podstawowego wzoru całkowego.
\( \int_{}^{} 2tdt =2 \int_{}^{} tdt=2 \cdot \frac{t^2}{2} +c=t^2+c = (\ln x)^2+c\).
Przykład:
\( \int_{}^{} \frac{xdx}{ \sqrt{1-x^2} } \) - tej całki nie potrafimy policzyć korzystając z gotowych wzorów. Zastosujmy podstawienie, które uprości mianownik.
Niech \(t=1-x^2\). Wówczas \(dt =-2x dx\). Jeśli podzielimy obie strony przez \(-2\) otrzymamy \( \frac{dt}{-2} =xdx\), a zatem do początkowej całki będziemy mogli podstawić w liczniku \( \frac{dt}{-2} \) oraz w mianowniku \( \sqrt{t} \).
\( \int_{}^{} \frac{xdx}{ \sqrt{1-x^2} } = \int_{}^{} \frac{ \frac{dt}{-2} }{ \sqrt{t} } = - \frac{1}{2} \int_{}^{} \frac{dt}{ \sqrt{t} } = - \frac{1}{2} \int_{}^{} t^{-\frac{1}{2 } }dt\)\(=- \frac{1}{2} \cdot \frac{t^{-\frac{1}{2} +1}}{-\frac{1}{2} +1} +c = - \frac{1}{2} \cdot 2t^{\frac{1}{2} }+c=-t^{ \frac{1}{2} }+c=- \sqrt{1+x^2} +c\).