Na stronie używamy cookies. Korzystanie z witryny oznacza zgodę na ich wykorzystywanie. Szczegóły znajdziesz w Regulaminie.
ZAMKNIJ X

Całkowanie przez podstawienie

Ostatnio komentowane
dzięki
Sasha • 2019-11-12 21:20:42
2+2*2-8+12-195883+20984023495+26x-16x+1902349x=?x
jprdl • 2019-11-12 17:21:46
Dzięki haha
roxiii • 2019-11-12 16:35:43
aha ok nie o to mi chodziło w wyszukiwarce XDDD
kreatywna nazwa • 2019-11-12 14:39:41
ok
m • 2019-11-12 13:59:33
Autor:
Drukuj
Drukuj
Rozmiar
AAA

Całkowanie przez podstawienie jest jedną z podstawowych technik całkowania.

Metodą tą posługujemy się wówczas, gdy wyjściowej całki nie potrafimy policzyć korzystając z podstawowych wzorów na całkowanie oraz elementarnych własności całki (np. wyłączenie stałej przed całkę lub rozbicie całki na sumę/różnicę całek). Jej idea sprowadza się do przekształcenia całki, której nie umiemy policzyć, w całkę łatwiejszą do policzenia, wykorzystując odpowiednie podstawienie.

Formalnie możemy tą sytuację przedstawić za pomocą wzoru

 \int_{}^{} f(x)dx= \int_{}^{} f(g(t)) g'(t) dt - w ten sposób całkę z funkcji f(x) po zmiennej x sprowadzamy do całki z funkcji złożonej f(g(t))g'(t) po zmiennej t.

Najwygodniej jest zrozumieć tą metodę analizując przykłady jej wykorzystania.

 

Przykład:

 \int_{}^{} \sin x \cos x dx - całki tej nie potrafimy policzyć korzystając z elementarnych wzorów. Zastosujmy następujące podstawienie:

t = \sin x

Wówczas różniczkując obustronnie dostaniemy:

dt= \cos x dx

A zatem wyjściowa całka mieć będzie postać  \int_{}^{} \sin x \cos x dx= \int_{}^{} t dt i całkę tą potrafimy policzyć.

 \int_{}^{} \sin x \cos x dx= \int_{}^{} t dt =  \frac{t^2}{2}+c= \frac{\sin^2 x}{2} +c.

Zwróćmy uwagę, że na końcu do wyniku podstawiliśmy z powrotem t = \sin x, tak by wynik był funkcją zmiennej x.

Sprawdzenia można dokonać licząc pochodną z tego co otrzymaliśmy:

( \frac{\sin^2 x}{2} +c)'=\sin x \cos x.

 

Uwaga:

Nie istnieją uniwersalne reguły tego jakie podstawienie się

Polecamy również:

Komentarze (0)
5 + 1 =