Całkowanie przez podstawienie

Całkowanie przez podstawienie jest jedną z podstawowych technik całkowania.

Metodą tą posługujemy się wówczas, gdy wyjściowej całki nie potrafimy policzyć korzystając z podstawowych wzorów na całkowanie oraz elementarnych własności całki (np. wyłączenie stałej przed całkę lub rozbicie całki na sumę/różnicę całek). Jej idea sprowadza się do przekształcenia całki, której nie umiemy policzyć, w całkę łatwiejszą do policzenia, wykorzystując odpowiednie podstawienie.

Formalnie możemy tą sytuację przedstawić za pomocą wzoru

- w ten sposób całkę z funkcji  po zmiennej sprowadzamy do całki z funkcji złożonej  po zmiennej .

Najwygodniej jest zrozumieć tą metodę analizując przykłady jej wykorzystania.

 

Przykład:

- całki tej nie potrafimy policzyć korzystając z elementarnych wzorów. Zastosujmy następujące podstawienie:

Wówczas różniczkując obustronnie dostaniemy:

A zatem wyjściowa całka mieć będzie postać i całkę tą potrafimy policzyć.

.

Zwróćmy uwagę, że na końcu do wyniku podstawiliśmy z powrotem , tak by wynik był funkcją zmiennej .

Sprawdzenia można dokonać licząc pochodną z tego co otrzymaliśmy:

.

 

Uwaga:

Nie istnieją uniwersalne reguły tego jakie podstawienie się w danym przypadku sprawdzi. Wyrobienie w sobie wprawy w tym zakresie wymaga przeliczania pewnej liczby przykładów. Często za podstawia się występującą w wyrażeniu podcałkowym funkcję trygonometryczną (jak w powyższym przykładzie) lub funkcję zawierającą logarytm.

 

Przykład:

Policzmy całkę . W tym celu podstawmy za zmienną .

Zróżniczkujmy obie strony po odpowiednich zmiennych (lewą po , prawą po ).

Teraz możemy wykorzystać otrzymane powyżej równości by zapisać początkową całkę w innej postaci:

- tak przekształconą całkę możemy policzyć korzystając z wyłączenia stałej przed nawias oraz podstawowego wzoru całkowego.

.

 

Przykład:

- tej całki nie potrafimy policzyć korzystając z gotowych wzorów. Zastosujmy podstawienie, które uprości mianownik.

Niech . Wówczas . Jeśli podzielimy obie strony przez otrzymamy , a zatem do początkowej całki będziemy mogli podstawić w liczniku oraz w mianowniku .

.