Całkowanie przez podstawienie

Całkowanie przez podstawienie jest jedną z podstawowych technik całkowania.

Metodą tą posługujemy się wówczas, gdy wyjściowej całki nie potrafimy policzyć korzystając z podstawowych wzorów na całkowanie oraz elementarnych własności całki (np. wyłączenie stałej przed całkę lub rozbicie całki na sumę/różnicę całek). Jej idea sprowadza się do przekształcenia całki, której nie umiemy policzyć, w całkę łatwiejszą do policzenia, wykorzystując odpowiednie podstawienie.

Formalnie możemy tą sytuację przedstawić za pomocą wzoru

 \int_{}^{} f(x)dx= \int_{}^{} f(g(t)) g'(t) dt - w ten sposób całkę z funkcji f(x) po zmiennej x sprowadzamy do całki z funkcji złożonej f(g(t))g'(t) po zmiennej t.

Najwygodniej jest zrozumieć tą metodę analizując przykłady jej wykorzystania.

 

Przykład:

 \int_{}^{} \sin x \cos x dx - całki tej nie potrafimy policzyć korzystając z elementarnych wzorów. Zastosujmy następujące podstawienie:

t = \sin x

Wówczas różniczkując obustronnie dostaniemy:

dt= \cos x dx

A zatem wyjściowa całka mieć będzie postać  \int_{}^{} \sin x \cos x dx= \int_{}^{} t dt i całkę tą potrafimy policzyć.

 \int_{}^{} \sin x \cos x dx= \int_{}^{} t dt =  \frac{t^2}{2}+c= \frac{\sin^2 x}{2} +c.

Zwróćmy uwagę, że na końcu do wyniku podstawiliśmy z powrotem t = \sin x, tak by wynik był funkcją zmiennej x.

Sprawdzenia można dokonać licząc pochodną z tego co otrzymaliśmy:

( \frac{\sin^2 x}{2} +c)'=\sin x \cos x.

 

Uwaga:

Nie istnieją uniwersalne reguły tego jakie podstawienie się w danym przypadku sprawdzi. Wyrobienie w sobie wprawy w tym zakresie wymaga przeliczania pewnej liczby przykładów. Często za t podstawia się występującą w wyrażeniu podcałkowym funkcję trygonometryczną (jak w powyższym przykładzie) lub funkcję zawierającą logarytm.

 

Przykład:

Policzmy całkę  \int_{}^{}  \frac{2 \ln x}{x} dx. W tym celu podstawmy za \ln x zmienną t.

\ln x = t

Zróżniczkujmy obie strony po odpowiednich zmiennych (lewą po x, prawą po t).

 \frac{1}{x} dx=dt

Teraz możemy wykorzystać otrzymane powyżej równości by zapisać początkową całkę w innej postaci:

 \int_{}^{}  \frac{2 \ln x}{x} dx =  \int_{}^{} 2\ln x  \frac{1 }{x}dx= \int_{}^{} 2tdt - tak przekształconą całkę możemy policzyć korzystając z wyłączenia stałej przed nawias oraz podstawowego wzoru całkowego.

 \int_{}^{} 2tdt  =2 \int_{}^{} tdt=2  \cdot  \frac{t^2}{2} +c=t^2+c = (\ln x)^2+c.

 

Przykład:

 \int_{}^{}  \frac{xdx}{ \sqrt{1-x^2} } - tej całki nie potrafimy policzyć korzystając z gotowych wzorów. Zastosujmy podstawienie, które uprości mianownik.

Niech t=1-x^2. Wówczas dt =-2x dx. Jeśli podzielimy obie strony przez -2 otrzymamy  \frac{dt}{-2} =xdx, a zatem do początkowej całki będziemy mogli podstawić w liczniku  \frac{dt}{-2} oraz w mianowniku  \sqrt{t} .

 \int_{}^{}  \frac{xdx}{ \sqrt{1-x^2} } = \int_{}^{}  \frac{ \frac{dt}{-2} }{ \sqrt{t} } =
 - \frac{1}{2}  \int_{}^{}  \frac{dt}{ \sqrt{t} }  =
 - \frac{1}{2}  \int_{}^{}  t^{-\frac{1}{2 } }dt=- \frac{1}{2}  \cdot   \frac{t^{-\frac{1}{2} +1}}{-\frac{1}{2} +1} +c  =
- \frac{1}{2}  \cdot 2t^{\frac{1}{2} }+c=-t^{ \frac{1}{2} }+c=- \sqrt{1+x^2} +c.

Polecamy również:

Komentarze (0)
Wynik działania 4 + 2 =
Ostatnio komentowane
OK
• 2024-02-21 20:23:35
dziękuję bardzo ratujecie mnie
• 2024-02-21 19:08:12
i
• 2024-02-20 09:57:14
Bardzo pomogło mi w zadaniu domowym
• 2024-02-18 10:48:52
skidibi tojlet
• 2024-02-16 17:21:38