Granice funkcji – wzory, przykłady, zadania

Funkcjonują dwie równoważne definicje granicy funkcji.

Def. Cauchy'ego granicy funkcji w punkcie:

Liczba $g$ jest granicą funkcji $f$ w punkcie $x_0$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej liczby rzeczywistej $\varepsilon >0$ istnieje liczba $\delta>0$ taka, że dla wszystkich $x \neq x_0$ jeśli  to .

Def. Heinego granicy funkcji w punkcie:

Liczba $g$ jest granicą funkcji $f$ w punkcie $x_0$ jeśli dla każdego ciągu $(x_n)$ zbieżnego do $x_0$ o wyrazach należących do dziedziny funkcji $f$ i różnych od $x_0$ ciąg $(f(x_n))$ jest zbieżny do $g$.

 

Intuicyjnie granicą funkcji w punkcie $x_0$ jest liczba, do której wartości tej funkcji zbliżają się gdy jej argumenty zbliżają się do $x_0$.

Mówienie o granicy funkcji w punkcie $x_0$ ma snes jedynie gdy funkcja ta jest określona przynajmniej w pewnym sąsiedztwie tego punktu, tzn. na zbiorze $(x_0-r,x_0) \cup (x_0,x_0+r)$ dla pewnego $r > 0$. W samym punkcie $x_0$ funkcja określona być może, ale nie musi.

 

Przykład:

Ile wynosi granica $f(x) = \frac{x^2-9}{x-3}$ w punkcie $3$?

Rozpiszmy $\frac{x^2-9}{x-3} = \frac{(x-3)(x+3)}{x-3} = x+3$ dla $x \neq 3$.

Gdy $x$ dąży do $3$, $x+3$ dąży do $6$, zatem mamy, że $\lim_{x \to 3} \frac{x^2-9}{x-3} = 6$.

 

Przykład:

Pokażemy, że funkcja  nie ma granicy w punkcie $x_0 = 0$.

Posłużymy się definicją Heinego granicy funkcji w punkcie. Zdefiniujmy dwa ciągi: $a_n = -\frac1n$ i $b_n = \frac1n$. Oba te ciągi zbieżne są do $x_0 = 0$, a każdy ich wyraz jest niezerowy.

Zauważmy, że $f(a_n) = 5$ i $f(b_n) = -5$ dla każdego $n$, zatem $\lim_{n \to \infty} f(a_n) = 5$ oraz $\lim_{n \to \infty} f(b_n) = -5$.

$\lim_{n \to \infty}f(a_n) \neq \lim_{n \to \infty} f(b_n)$ zatem $f(x)$ nie ma granicy w $x_0$.

 

Zadanie:

1. Ile wynosi granica funkcji $f(x) = \frac{x^2-4}{x-2}$ w punkcie $2$?

2. Wykazać, że funkcja $\operator sgn}(x)$ nie ma granicy w punkcie $x_0 = 0$.

 

Odpowiedzi:

1. $4$