Funkcjonują dwie równoważne definicje granicy funkcji.
Def. Cauchy'ego granicy funkcji w punkcie:
Liczba 
jest granicą funkcji 
w punkcie 
wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej liczby rzeczywistej 
istnieje liczba 
taka, że dla wszystkich 
jeśli 
to -g%7C%3C%5Cvarep)
.
Def. Heinego granicy funkcji w punkcie:
Liczba jest granicą funkcji w punkcie jeśli dla każdego ciągu )
zbieżnego do o wyrazach należących do dziedziny funkcji i różnych od ciąg ))
jest zbieżny do .
Intuicyjnie granicą funkcji w punkcie jest liczba, do której wartości tej funkcji zbliżają się gdy jej argumenty zbliżają się do .
Mówienie o granicy funkcji w punkcie ma snes jedynie gdy funkcja ta jest określona przynajmniej w pewnym sąsiedztwie tego punktu, tzn. na zbiorze %20%20%5Ccup%20(x_0%2Cx_0%2Br))
dla pewnego 
. W samym punkcie funkcja określona być może, ale nie musi.
Przykład:
Ile wynosi granica %20%3D%20%5Cfrac%7Bx%5E2-9%7D%7Bx-3%7D)
w punkcie 
?
Rozpiszmy (x%2B3)%7D%7Bx-3%7D%20%3D%20x%2B3)
dla 
.
Gdy 
dąży do , 
dąży do 
, zatem mamy, że 
.
Przykład:
Pokażemy, że funkcja %20%3D%20%20%5Cbegin%7Bcases%7D%205x%20%20%5CLeftrightarrow%20x%3C0%20%5C%5C%20-5%20%20%5CLeftrightarrow%20%20x%20%5Cge%200%20%5Cend%7Bcases%7D%20)
nie ma granicy w punkcie 
.
Posłużymy się definicją Heinego granicy funkcji w punkcie. Zdefiniujmy dwa ciągi: 
i 
. Oba te ciągi zbieżne są do , a każdy ich wyraz jest niezerowy.
Zauważmy, że %20%3D%205)
i %20%3D%20-5)
dla każdego 
, zatem %20%3D%205)
oraz %20%3D%20-5)
.
%20%5Cneq%20%5Clim_%7Bn%20%5Cto%20%5Cinfty%7D%20f(b_n))
zatem )
nie ma granicy w .
Zadanie:
1. Ile wynosi granica funkcji %20%3D%20%5Cfrac%7Bx%5E2-4%7D%7Bx-2%7D)
w punkcie 
?
2. Wykazać, że funkcja )
nie ma granicy w punkcie .
Odpowiedzi:
1. 