Granice funkcji – wzory, przykłady, zadania

Funkcjonują dwie równoważne definicje granicy funkcji.

Def. Cauchy'ego granicy funkcji w punkcie:

Liczba g jest granicą funkcji f w punkcie x_0 wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej liczby rzeczywistej \varepsilon >0 istnieje liczba \delta>0 taka, że dla wszystkich x \neq x_0 jeśli |x-x_0|<\delta to |f(x)-g|<\varep.

Def. Heinego granicy funkcji w punkcie:

Liczba g jest granicą funkcji f w punkcie x_0 jeśli dla każdego ciągu (x_n) zbieżnego do x_0 o wyrazach należących do dziedziny funkcji f i różnych od x_0 ciąg (f(x_n)) jest zbieżny do g.

 

Intuicyjnie granicą funkcji w punkcie x_0 jest liczba, do której wartości tej funkcji zbliżają się gdy jej argumenty zbliżają się do x_0.

Mówienie o granicy funkcji w punkcie x_0 ma snes jedynie gdy funkcja ta jest określona przynajmniej w pewnym sąsiedztwie tego punktu, tzn. na zbiorze (x_0-r,x_0)  \cup (x_0,x_0+r) dla pewnego r > 0. W samym punkcie x_0 funkcja określona być może, ale nie musi.

 

Przykład:

Ile wynosi granica f(x) = \frac{x^2-9}{x-3} w punkcie 3?

Rozpiszmy \frac{x^2-9}{x-3} = \frac{(x-3)(x+3)}{x-3} = x+3 dla x \neq 3.

Gdy x dąży do 3x+3 dąży do 6, zatem mamy, że  \lim_{x \to 3} \frac{x^2-9}{x-3} = 6.

 

Przykład:

Pokażemy, że funkcja f(x) =  \begin{cases} 5x  \Leftrightarrow x<0 \\ -5  \Leftrightarrow  x \ge 0 \end{cases} nie ma granicy w punkcie x_0 = 0.

Posłużymy się definicją Heinego granicy funkcji w punkcie. Zdefiniujmy dwa ciągia_n = -\frac1nb_n = \frac1n. Oba te ciągi zbieżne są do x_0 = 0, a każdy ich wyraz jest niezerowy.

Zauważmy, że f(a_n) = 5f(b_n) = -5 dla każdego n, zatem  \lim_{n \to \infty} f(a_n) = 5 oraz  \lim_{n \to \infty} f(b_n) = -5.

 \lim_{n \to \infty}f(a_n) \neq \lim_{n \to \infty} f(b_n) zatem f(x) nie ma granicy w x_0.

 

Zadanie:

1. Ile wynosi granica funkcji f(x) = \frac{x^2-4}{x-2} w punkcie 2?

2. Wykazać, że funkcja \operator sgn}(x) nie ma granicy w punkcie x_0 = 0.

 

Odpowiedzi:

1. 4

Polecamy również:

Komentarze (0)
Wynik działania 2 + 3 =
Ostatnio komentowane
Czyli,powiedzenie Polak Węgier dwa bratanki,nie jak się nie odnoszą względem pochodzen...
• 2022-06-16 19:03:58
ekstra
• 2022-06-18 17:12:40
ok
• 2022-06-08 15:52:28
dzięks
• 2022-06-06 19:26:13
Ale proste
• 2022-06-06 14:23:48