Granice funkcji – wzory, przykłady, zadania

Funkcjonują dwie równoważne definicje granicy funkcji.

Def. Cauchy'ego granicy funkcji w punkcie:

Liczba \(g\) jest granicą funkcji \(f\) w punkcie \(x_0\) wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej liczby rzeczywistej \(\varepsilon >0\) istnieje liczba \(\delta>0\) taka, że dla wszystkich \(x \neq x_0\) jeśli  to .

Def. Heinego granicy funkcji w punkcie:

Liczba \(g\) jest granicą funkcji \(f\) w punkcie \(x_0\) jeśli dla każdego ciągu \((x_n)\) zbieżnego do \(x_0\) o wyrazach należących do dziedziny funkcji \(f\) i różnych od \(x_0\) ciąg \((f(x_n))\) jest zbieżny do \(g\).

 

Intuicyjnie granicą funkcji w punkcie \(x_0\) jest liczba, do której wartości tej funkcji zbliżają się gdy jej argumenty zbliżają się do \(x_0\).

Mówienie o granicy funkcji w punkcie \(x_0\) ma snes jedynie gdy funkcja ta jest określona przynajmniej w pewnym sąsiedztwie tego punktu, tzn. na zbiorze \((x_0-r,x_0) \cup (x_0,x_0+r)\) dla pewnego \(r > 0\). W samym punkcie \(x_0\) funkcja określona być może, ale nie musi.

 

Przykład:

Ile wynosi granica \(f(x) = \frac{x^2-9}{x-3}\) w punkcie \(3\)?

Rozpiszmy \(\frac{x^2-9}{x-3} = \frac{(x-3)(x+3)}{x-3} = x+3\) dla \(x \neq 3\).

Gdy \(x\) dąży do \(3\)\(x+3\) dąży do \(6\), zatem mamy, że \( \lim_{x \to 3} \frac{x^2-9}{x-3} = 6\).

 

Przykład:

Pokażemy, że funkcja  nie ma granicy w punkcie \(x_0 = 0\).

Posłużymy się definicją Heinego granicy funkcji w punkcie. Zdefiniujmy dwa ciągi\(a_n = -\frac1n\)\(b_n = \frac1n\). Oba te ciągi zbieżne są do \(x_0 = 0\), a każdy ich wyraz jest niezerowy.

Zauważmy, że \(f(a_n) = 5\)\(f(b_n) = -5\) dla każdego \(n\), zatem \( \lim_{n \to \infty} f(a_n) = 5\) oraz \( \lim_{n \to \infty} f(b_n) = -5\).

\( \lim_{n \to \infty}f(a_n) \neq \lim_{n \to \infty} f(b_n)\) zatem \(f(x)\) nie ma granicy w \(x_0\).

 

Zadanie:

1. Ile wynosi granica funkcji \(f(x) = \frac{x^2-4}{x-2}\) w punkcie \(2\)?

2. Wykazać, że funkcja \(\operator sgn}(x)\) nie ma granicy w punkcie \(x_0 = 0\).

 

Odpowiedzi:

1. \(4\)

Polecamy również:

Komentarze (0)
Wynik działania 4 + 3 =
Ostatnio komentowane
Może być
• 2025-03-27 18:35:05
siema mega fajne
• 2025-03-22 08:47:31
dzięki
• 2025-03-10 15:14:41
bardzo to działanie łatwe
• 2025-03-03 13:00:02
Jest nad czym myśleć. PEŁEN POZYTYW.
• 2025-03-02 12:32:53