Funkcjonują dwie równoważne definicje granicy funkcji.
Def. Cauchy'ego granicy funkcji w punkcie:
Liczba \(g\) jest granicą funkcji \(f\) w punkcie \(x_0\) wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej liczby rzeczywistej \(\varepsilon >0\) istnieje liczba \(\delta>0\) taka, że dla wszystkich \(x \neq x_0\) jeśli to .
Def. Heinego granicy funkcji w punkcie:
Liczba \(g\) jest granicą funkcji \(f\) w punkcie \(x_0\) jeśli dla każdego ciągu \((x_n)\) zbieżnego do \(x_0\) o wyrazach należących do dziedziny funkcji \(f\) i różnych od \(x_0\) ciąg \((f(x_n))\) jest zbieżny do \(g\).
Intuicyjnie granicą funkcji w punkcie \(x_0\) jest liczba, do której wartości tej funkcji zbliżają się gdy jej argumenty zbliżają się do \(x_0\).
Mówienie o granicy funkcji w punkcie \(x_0\) ma snes jedynie gdy funkcja ta jest określona przynajmniej w pewnym sąsiedztwie tego punktu, tzn. na zbiorze \((x_0-r,x_0) \cup (x_0,x_0+r)\) dla pewnego \(r > 0\). W samym punkcie \(x_0\) funkcja określona być może, ale nie musi.
Przykład:
Ile wynosi granica \(f(x) = \frac{x^2-9}{x-3}\) w punkcie \(3\)?
Rozpiszmy \(\frac{x^2-9}{x-3} = \frac{(x-3)(x+3)}{x-3} = x+3\) dla \(x \neq 3\).
Gdy \(x\) dąży do \(3\), \(x+3\) dąży do \(6\), zatem mamy, że \( \lim_{x \to 3} \frac{x^2-9}{x-3} = 6\).
Przykład:
Pokażemy, że funkcja nie ma granicy w punkcie \(x_0 = 0\).
Posłużymy się definicją Heinego granicy funkcji w punkcie. Zdefiniujmy dwa ciągi: \(a_n = -\frac1n\) i \(b_n = \frac1n\). Oba te ciągi zbieżne są do \(x_0 = 0\), a każdy ich wyraz jest niezerowy.
Zauważmy, że \(f(a_n) = 5\) i \(f(b_n) = -5\) dla każdego \(n\), zatem \( \lim_{n \to \infty} f(a_n) = 5\) oraz \( \lim_{n \to \infty} f(b_n) = -5\).
\( \lim_{n \to \infty}f(a_n) \neq \lim_{n \to \infty} f(b_n)\) zatem \(f(x)\) nie ma granicy w \(x_0\).
Zadanie:
1. Ile wynosi granica funkcji \(f(x) = \frac{x^2-4}{x-2}\) w punkcie \(2\)?
2. Wykazać, że funkcja \(\operator sgn}(x)\) nie ma granicy w punkcie \(x_0 = 0\).
Odpowiedzi:
1. \(4\)