Funkcjonują dwie równoważne definicje granicy funkcji.
Def. Cauchy'ego granicy funkcji w punkcie:
Liczba jest granicą funkcji
w punkcie
wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej liczby rzeczywistej
istnieje liczba
taka, że dla wszystkich
jeśli
to
.
Def. Heinego granicy funkcji w punkcie:
Liczba jest granicą funkcji
w punkcie
jeśli dla każdego ciągu
zbieżnego do
o wyrazach należących do dziedziny funkcji
i różnych od
ciąg
jest zbieżny do
.
Intuicyjnie granicą funkcji w punkcie jest liczba, do której wartości tej funkcji zbliżają się gdy jej argumenty zbliżają się do
.
Mówienie o granicy funkcji w punkcie ma snes jedynie gdy funkcja ta jest określona przynajmniej w pewnym sąsiedztwie tego punktu, tzn. na zbiorze
dla pewnego
. W samym punkcie
funkcja określona być może, ale nie musi.
Przykład:
Ile wynosi granica w punkcie
?
Rozpiszmy dla
.
Gdy dąży do
,
dąży do
, zatem mamy, że
.
Przykład:
Pokażemy, że funkcja nie ma granicy w punkcie
.
Posłużymy się definicją Heinego granicy funkcji w punkcie. Zdefiniujmy dwa ciągi: i
. Oba te ciągi zbieżne są do
, a każdy ich wyraz jest niezerowy.
Zauważmy, że i
dla każdego
, zatem
oraz
.
zatem
nie ma granicy w
.
Zadanie:
1. Ile wynosi granica funkcji w punkcie
?
2. Wykazać, że funkcja nie ma granicy w punkcie
.
Odpowiedzi:
1.