Przybliżając daną liczbę musimy liczyć się z tym, że popełniamy pewien błąd co do określenia jej wartości. Jeśli liczbę \( \pi \) (ciągnącą się po przecinku w nieskończoność) "obetniemy" na którymś miejscu po przecinku - zgodnie z zasadami zaokrąglania liczb - będziemy popełniali błąd przybliżając jej wartość z góry lub z dołu.
Jeśli przybliżamy daną liczbę liczbą większą od niej - mówimy o przybliżeniu z nadmiarem.
Jeśli przybliżamy daną liczbę liczbą mniejszą od niej - mówimy o przybliżeniu z niedomiarem.
Przykład:
2,53 to w przybliżeniu 2,5 - jest to przybliżenie z niedomiarem, ponieważ 2,5 to mniej niż 2,53.
2,53 to w przybliżeniu 3 - jest to przybliżenie z nadmiarem, ponieważ 3 to więcej niż 2,53.
Jak dokładnie wyrazić wartość błędu jaki popełniamy stosując dane przybliżenie?
Pierwszym pomysłem jest zwrócenie uwagi na to, jak daleko od wyjściowej liczby znajduje się nasze przybliżenie. Mówimy wówczas o błędzie bezwzględnym określanym jako
\(|x-p|\), gdzie \(x\) - przybliżana liczba, \(p\) - przybliżenie.
A zatem błąd bezwzględny to wartość bezwzględna różnicy między liczbą a jej przybliżeniem.
Oczywiście im błąd przybliżenia mniejszy, tym dane przybliżenie jest lepsze.
Przykład:
Niech \(x = 2,53\) oraz \(p = 2,5\).
Wtedy \(|x-p| = |2,53-2,5|=|0,03|=0,03\) a zatem mamy do czynienia z błędem bezwzględnym tego przybliżenia o wartości 0,03.
Uwaga:
Błąd bezwzględny bywa mało przydatny w niektórych sytuacjach. Jego wartość może być myląca jeśli nie zwracamy uwagi na rząd wielkości przybliżanej liczby.
Przykład:
Liczbę 12 możemy przybliżyć liczbą 10. Liczbę 100 000 002 możemy przybliżyć liczbą 100 000 000. W obu przypadkach błąd bezwzględny przybliżenia jest taki sam i wynosi 2. Zgodzimy się jednak, że w pierwszym przypadku przybliżenie było "mocniejsze" niż w drugim - owo 2 w odniesieniu do 10-ciu stanowi zdecydowanie więcej niż w odniesieniu do 100 milionów.
W odniesieniu do powyższej uwagi idziemy krok dalej i wprowadzamy błąd względny przybliżenia, rozumiany jako stosunek błędu bezwzględnego do przybliżanej liczby, a zatem:
\( \frac{|x-p|}{x} \), gdzie \(x\) oraz \(p\) jak wyżej. Błąd bezwzględny pozwala uniknąć przejmowania się rzędem wielkości przybliżanej liczby - wyraża nam jak dobre jest przybliżenie, niezależnie od tego czy przybliżana liczba jest duża czy mała.
Przykład:
Określmy jak dobrymi przybliżeniami były podane w przykładzie wyżej przybliżenia.
\(12 \approx 10\) oraz \(100000002 \approx 100000000\).
Jak powiedzieliśmy, w obu przypadkach błąd bezwzględny wynosił 2. A zatem:
\( \frac{|x-p|}{x} = \frac{|12-10|}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6} \) oraz
\( \frac{|x-p|}{x} = \frac{|100000002-100000000|}{100000002} = \frac{2}{100000002} = \frac{1}{50000001} \).
Widzimy, że różnica jest nieporównywalna. Pierwsze przybliżenie jest zdecydowanie większe niż drugie, choć co do wartości błędu bezwzględnego są równe. W drugim przypadku jednak błąd ten ginie w stosunku do przybliżanej liczby.
Często chcemy wyrazić wartość danego przybliżenia w procentach - wówczas mówimy o błędzie procentowym, rozumianym jako błąd względny przybliżenia wyrażony w procentach, a zatem
\( \frac{|x-p|}{x} \cdot 100 \% \). To pozwala nam "ujrzeć" daną liczbę, zobaczyć ją w odniesieniu do tego co przybliżamy.
Przykład:
\( \frac{1}{6} \cdot 100% =16,666...% \approx 16,7%\)
\( \frac{1}{50000001} \cdot 100%=0,000001999...% \approx 0%\)
A zatem błąd procentowy przybliżenia liczby 12 liczbą 10 wynosi około 16,7%, podczas gdy błąd procentowy przybliżenia liczby 100 000 002 przez 100 000 000 to praktycznie 0%.