Liczba Pi - historia, definicja, przybliżenia, wzory

Jedną z najważniejszych stałych matematycznych jest liczba .

Definicja

Definiujemy ją jako stosunek obwodu okręgu do jego średnicy, stąd słynny wzór na obwód koła: .

Co takiego specjalnego jest w liczbie ? Jest ona liczbą niewymierną (tj. nie może być przedstawiona za pomocą ułamka zwykłego o liczniku i mianowniku wyrażającymi się liczbami całkowitymi) o nieskończonym i nieokresowym rozwinięciu dzisiętnym. Jej przybliżona wartość (do 20-tu miejsc po przecinku) to 3,141 592 653 589 793 238 46 - choć w większości zastosowań wystarczy tylko kilka pierwszych miejsc po przecinku - w szkole najczęściej używa się przybliżenia 3,14. A jednak fakt nieskończonego nieokresowego rozwinięcia dzisiętnego zachwyca - wśród cyfr występujących po przecinku można znaleźć dowolną sekwencję, na przykład swój numer telefonu, liczbę możliwości skreślenia 6-tki w totolotku (13 983 816), swoją datę urodzenia zapisaną bez kropek, swój pesel, itd.

Przybliżenia

Dokładnej wartości liczby  nie poznamy nigdy - jej rozwinięcie dzisiętne jest nieskończone. Możemy się jednak próbować do niej zbliżyć - matematycy robią to od stuleci. Wśród różnych przybliżeń liczby warto wspomnieć o następujących:

- 3 - takiego przybliżenia używali Babilończycy 2 tys. lat przed naszą erą, informację o nim znajdziemy również w Starym Testamencie (V-IV w. p. n. e.). Jest to pierwsze przybliżenie, które przychodzi do głowy, gdy się spróbuje pomierzyć okrąg (tj. jego średnicę i obwód), i do wielu prostych zastosowań tak naprawdę wystarczy. Nie jest to jednak przybliżenie zbyt dokładne.

- 3,125 - przybliżenie używane przez Babilończyków datowane na około 1900-1680 rok przed naszą erą.

-  - przybliżenie stosowane przez Egipcjan, o którym wiemy z tzw. papirusu Rhinda pochodzącego z około 1650 roku przed naszą erą.

- - takie oszacowanie podał Archimedes w okolicach 250 roku przed naszą erą. W myśl tego przybliżenia dokładna wartość liczby  zawiera się w przedziale pomiędzy  a  - jest to dość dobre przybliżenie jak na czasy, w których zostało sformułowane i dostępne ówcześnie żyjącym techniki matematyczne. Podanie tego przybliżenia jest tylko potwierdzeniem tego jakiej klasy uczonym był Archimedes. Do wyliczenia tego przybliżenia Archimedes użył metody polegającej na wyliczaniu obwodu wielokątów foremnych wpisanych w okrąg i opisanych na okręgu. Archimedesowi udało się dokonać obliczeń dla 96-cio kąta foremnego.

- 3,1415 - przybliżenie podane przez chińskiego matematyka Liu Hui w III wieku naszej ery. Lui Hui posłużył się metodą Archimedesa dla wielokąta o 3072 bokach.

-   - takiego przybliżenia używał hinduski matematyk Brahmagupta około 600 roku naszej ery. Jest to przybliżenie z nadmiarem (tj. jego wartość jest większa niż prawdziwa wartość przybliżanej liczby).

- - to przybliżenie jest o tyle ciekawe, że używa dwóch innych liczb niewymiernych.

- 3,14159265358979323846264338327950288... - przybliżenie podane przez holenderskiego matematyka Ludolpha von Ceulena w XVI-tym wieku (zgodne z faktyczną wartością  do 35-tego miejsca po przecinku). Ten matematyk na tyle upodobał sobie liczbę  , że bywa ona nieraz nazywana ludolfiną - na jego cześć.

-  - przybliżenie podane w XX wieku przez hinduskiego samouka Ramanujana, któremu zawdzięczamy wiele podobnych wzorów - jak twierdził jego bogini zsyłała mu rozwiązania matematycznych problemów w czasie snu. Podane tutaj przybliżenie liczby jest poprawne aż do 6-tego miejsca po przecinku i bazuje jedynie na pierwiastku z dwóch.

Wzory z liczbą

Liczba  jako podstawowa stała matematyczna pojawia się w wielu wzorach. Poniżej podajemy cztery najczęściej stosowane w szkole.

- obwód koła (długość okręgu): ,

- pole koła: ,

- powierzchnia kuli: ,

- objętość kuli: .

Szeregi zbieżne do

Kolejnym zadziwiającym faktem jest to, że liczbę bądź jakieś wyrażenie ją zawierające daje się opisać wieloma ciekawymi szeregami zbiegającymi do jej wartości (tj. w miarę dodawania do sumy kolejnych składników przybliżamy się do wartości  bądź wyrażenia ją zawierającego). Poniżej podajemy dwa takie szeregi.

-  - prosty szereg podany przez Leibniza, złożony z odwrotności kolejnych liczb nieparzystych przeplatanych znakami plus i minus. Niestety zbiega do  dość wolno.

- - szereg podany przez Eulera.

Własności liczby

- jest liczbą niewymierną (dowód podał w 1761 roku Lambert) - tak podejrzewali matematycy od lat ale dopiero Lambert podał pierwszy ścisły dowód tego faktu. Obecnie istnieje wiele dowodów niewymierności liczby  stosujących różne techniki (np. pewne całki). Lambert w swoim dowodzie używał tzw. ułamków łańcuchowych.

- jest liczbą przestępną (dowiódł tego w 1882 roku Lindemann rozstrzygając tym samym problem kwadratury koła), tzn. nie jest rozwiązaniem żadnego równania algebraicznego a zatem takiego, w którym występują tylko potęgi zmiennej x i wszystkie współczynniki są wymierne.

Kultura liczby

Liczba jako istotny obiekt matematyczny stała się w środowisku matematycznym swego rodzaju obiektem kultu. Ma swoje święta, na jej cześć pisane są piosenki i wiersze, nakręcono nawet film o tym tytule.

W dniu 13-tym marca obchodzony jest Dzień Liczby  (amerykański zapis tej daty: 3/14), natomiast 22-go lipca obchodzony jest Dzień Aproksymacji  (aproksymacja to inaczej przybliżenie) na cześć przybliżenia podanego przez Archimedesa (przybliżenie 22/7, data 22.7). W czasie tych świąt zdaniem matematyków dobrze jest zjeść pizzę lub ciastko (ang. pie - fonetycznie brzmi dokładnie tak samo jak liczba ) lub wypić piwo.

Zasady pisania wierszy pochwalnych na cześć liczby  są proste: każdy kolejny wyraz wiersza powinien mieć tyle liter ile kolejna cyfra liczby . Przykładowy wiersz:

    Kto w mózg i głowę natłoczyć by chciał cyfer moc,
    Ażeby liczenie ludolfiny trudnej spamiętać móc,
    To nam zastąpić musi słówka te litery suma,
    Tak one trwalej się do pamięci wszystkie wsuną.

Znane są także eksperymenty z układaniem utworów muzycznych, w których odległości między kolejnymi dźwiękami odpowiadają kolejnym cyfrom rozwinięcia dziesiętnego  - niektóre brzmią całkiem przyjemnie.

W 1998 roku powstał film o tytule Pi w reżyserii Darrena Aronofsky'ego opowiadający o genialnym matematyku, który potrafi dostrzec rzeczy pozostające poza zasięgiem innych ludzi, w związku z czym staje się obiektem zainteresowania rozmaitych grup wpływu.

Liczba  i komputery

Obecnie podstawowe znaczenie liczby  związane jest z rozwijaniem i testowaniem mocy obliczeniowej komputerów. Czasy wyznaczania kolejnych cyfr w rozwinięciu dziesiętnym przybliżając wielokątami minęły - obecnie robotę za nas robią komputery. W tym miejscu warto wspomnieć o tzw. metodach Monte Carlo - symulacjach numerycznych wykorzystujących losowość do szukania pewnych wartości, na przykład właśnie rozwinięcia dziesiętnego liczby . Jedną z takich metod jest tzw. metoda igły Buffona.