Kolejną operacją jaką można wykonywać na zbiorach jest różnica zbiorów.
Def.: Różnicą zbiorów \(A\) i \(B\) nazywamy zbiór \(A \setminus B\) zawierający wszystkie te elementy zbioru \(A\), które nie należą jednocześnie do zbioru \(B\).
Formalnie: \(x \in A \setminus B \Leftrightarrow \forall_{x \in A} \neg x \in B\).
Przykład:
Jeśli \(A\) jest zbiorem wszystkich liczb nieparzystych, a \(B\) zbiorem wszystkich liczb pierwszych to zbiór \(A\setminus B\) jest zbiorem tych liczb nieparzystych, które nie są jednocześnie pierwsze - a zatem jest to zbiór wszystkich nieparzystych liczb złożonych.
Mówiąc obrazowo, różnica dwóch zbiorów to pierwszy z tych zbiorów po wyrzuceniu wszystkich elementów drugiego.
Zadanie:
Dane są następujące zbiory: \(A = \left \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 \right \}\), \(B = \left \{1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, ... \right \}\) oraz \(C = \left \{1, 2, 3, ... \right \}\). Znaleźć:
a) \(A \setminus B\),
b) \(B \setminus C\),
c) \(A \setminus C\),
d) \(C \setminus A\).
Odpowiedzi:
a) \(A\setminus B = \left \{1, 3, 5, 6, 7, 9, 10 \right \}\),
b) \(B\setminus C = \emptyset\),
c) \(A\setminus C = \emptyset\),
d) \(C\setminus A = \left \{11, 12, 13, 14, 15,... \right \}\).