Kolejny wzór skróconego mnożenia to wzór na różnicę sześcianów.
\(a^{3} - b^{3} = (a-b)(a^{2}+ab+b^{2})\)
Jego zastosowanie umożliwia przekształcanie pewnych wyrażeń do innych postaci, dzieki czemu łatwiej można rozwiązywać pewne równania wielomianowe.
Przykład:
\(x^{3} - 27 = x^{3}- 3^{3} = (x-3)(x^{2}+3x+9)\)
\(x^{3} - 125 = x^{3}- 5^{3} = (x-5)(x^{2}+5x+25)\)
Wyprowadzenie wzoru:
\((a-b)(a^{2}+ab+b^{2}) = a^3 + a^{2}b + ab^{2} - a^{2}b - ab^{2} - b^{3} = a^{3} - b^{3}\)
Zadania:
Korzystając ze wzoru na sumę sześcianów przekształcić:
a) \(x^{3} - 8\),
b) \(x^{3} - 1\),
c) \(x^3 - 64\).
Odpowiedzi:
a) \((x-2)(x^{2}+2x+4)\),
b) \((x-1)(x^{2}+x+1)\),
c) \((x - 4)(x^{2} +4x + 16)\).