Wzór dwumianowy Newtona to formuła pozwalająca wyrazić \(n\)-tą potęgę sumy dwóch liczb. Może być traktowany jako sposób wyprowadzenia wzorów skróconego mnożenia na sumę i różnicę.
Wzór dwumianowy Newtona
\((a+b) ^{n} = {n \choose 0}a^n + {n \choose 1}a^{n-1}b + {n \choose 2}a^{n-2}b^2 + ...{n \choose n}b^n Wzór dwumianowy Newtona\)
We wzorze występują współczynniki \( {n \choose k} \), które wylicza się z symbolu Newtona lub odczytuje z trójkąta Pascala.
Wzoru dowodzi się przy wykorzystaniu indukcji matematycznej.
Przykład:
Wyznaczymy postać rozwiniętą wzoru dla \(n = 2\) oraz \(3\).
1) \(n = 2\)
Policzymy wartości współczynników.
\( {2 \choose 0} = \frac{2!}{2!0!} =1\)
\( {2 \choose 1} = \frac{2!}{1!1!} =2\)
\( {2 \choose 2} = {2 \choose 0} =1\) (korzystając z własności symbolu Newtona).
A zatem
\((a+b) ^{2} =a^2+2ab+b^2\).
2) \(n = 3\)
Wyznaczymy wartości współczynników.
\( {3 \choose 0} = \frac{3!}{3!0!} =1\)
\( {3 \choose 1} = \frac{3!}{1!2!} =3\)
\( {3 \choose 2} = {3 \choose 1} =3\) (korzystając z własności symbolu Newtona).
\( {3 \choose 3} = {3 \choose 0} =1\)
Stąd
\((a+b) ^{3} =a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\).
Jeśli pamiętamy jak narysować trójkąt Pascala nie musimy liczyć współczynników z symbolu Newtona. Zwróćmy uwagę, że w drugim wierszu znajdują się współczynniki wyznaczone w przykładzie 1), natomiast w trzecim wyznaczone w przykładzie 2) (górny wiersz - ten z samą jedynką - to wiersz zerowy). Ogólnie w \(n\)-tym wierszu znajdują się współczynniki odpowiadające rozwinięciu wzoru Newtona dla \(n\)-tej potęgi.
Przykład:
Zapiszmy rozwinięcie wzoru Newtona dla \(n=4\) odczytując współczynniki z trójkąta Pascala.
\((a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4\).
Jak przy pomocy wzoru dwumianowego Newtona wyznaczyć wzory skróconego mnożenia na różnicę? Wystarczy do odpowiedniego wzoru na sumę za \(b\) podstawić \(-b\).
Przykład:
Wyznaczmy wzór na \((a-b)^4\) korzystając ze wzoru na \((a+b)^4\).
\((a-b)^4=(a+(-b))^4=a^4+4a^3(-b)+6a^2(-b)^2+4a(-b)^3+(-b)^4 \)\(=a^4-4a^3b+6a^2b^2-4ab^3+b^4\).