Wzór dwumianowy Newtona to formuła pozwalająca wyrazić -tą potęgę sumy dwóch liczb. Może być traktowany jako sposób wyprowadzenia wzorów skróconego mnożenia na sumę i różnicę.
Wzór dwumianowy Newtona
We wzorze występują współczynniki , które wylicza się z symbolu Newtona lub odczytuje z trójkąta Pascala.
Wzoru dowodzi się przy wykorzystaniu indukcji matematycznej.
Przykład:
Wyznaczymy postać rozwiniętą wzoru dla oraz
.
1)
Policzymy wartości współczynników.
(korzystając z własności symbolu Newtona).
A zatem
.
2)
Wyznaczymy wartości współczynników.
(korzystając z własności symbolu Newtona).
Stąd
.
Jeśli pamiętamy jak narysować trójkąt Pascala nie musimy liczyć współczynników z symbolu Newtona. Zwróćmy uwagę, że w drugim wierszu znajdują się współczynniki wyznaczone w przykładzie 1), natomiast w trzecim wyznaczone w przykładzie 2) (górny wiersz - ten z samą jedynką - to wiersz zerowy). Ogólnie w -tym wierszu znajdują się współczynniki odpowiadające rozwinięciu wzoru Newtona dla
-tej potęgi.
Przykład:
Zapiszmy rozwinięcie wzoru Newtona dla odczytując współczynniki z trójkąta Pascala.
.
Jak przy pomocy wzoru dwumianowego Newtona wyznaczyć wzory skróconego mnożenia na różnicę? Wystarczy do odpowiedniego wzoru na sumę za podstawić
.
Przykład:
Wyznaczmy wzór na korzystając ze wzoru na
.
.