Na stronie używamy cookies. Korzystanie z witryny oznacza zgodę na ich wykorzystywanie. Szczegóły znajdziesz w Regulaminie.
ZAMKNIJ X
Autor:
Drukuj
Drukuj
Rozmiar
AAA

Wzór dwumianowy Newtona

Wzór dwumianowy Newtona to formuła pozwalająca wyrazić n-tą potęgę sumy dwóch liczb. Może być traktowany jako sposób wyprowadzenia wzorów skróconego mnożenia na sumę i różnicę.

Wzór dwumianowy Newtona

(a+b) ^{n}  = {n \choose 0}a^n + {n \choose 1}a^{n-1}b + {n \choose 2}a^{n-2}b^2 + ...{n \choose n}b^n Wzór dwumianowy Newtona

We wzorze występują współczynniki  {n \choose k} , które wylicza się z symbolu Newtona lub odczytuje z trójkąta Pascala.

Wzoru dowodzi się przy wykorzystaniu indukcji matematycznej.

Przykład:

Wyznaczymy postać rozwiniętą wzoru dla n = 2 oraz 3.

1) n = 2

Policzymy wartości współczynników.

 {2 \choose 0} = \frac{2!}{2!0!} =1

 {2 \choose 1} = \frac{2!}{1!1!} =2

 {2 \choose 2} =  {2 \choose 0} =1 (korzystając z własności symbolu Newtona).

A zatem

(a+b) ^{2} =a^2+2ab+b^2.

2) n = 3

Wyznaczymy wartości współczynników.

 {3 \choose 0} = \frac{3!}{3!0!} =1

 {3 \choose 1} = \frac{3!}{1!2!} =3

 {3 \choose 2} =  {3 \choose 1} =3 (korzystając z własności symbolu Newtona).

 {3 \choose 3} =  {3 \choose 0} =1

Stąd

(a+b) ^{3} =a^3+3a^2b+3ab^2+b^3.

 

Jeśli pamiętamy jak narysować trójkąt Pascala nie musimy liczyć współczynników z symbolu Newtona. Zwróćmy uwagę, że w drugim wierszu znajdują się współczynniki wyznaczone w przykładzie 1), natomiast w trzecim wyznaczone w przykładzie 2) (górny wiersz - ten z samą jedynką - to wiersz zerowy). Ogólnie w n-tym wierszu znajdują się współczynniki odpowiadające rozwinięciu wzoru Newtona dla n-tej potęgi.

Wzór dwumianowy Newtona

Przykład:

Zapiszmy rozwinięcie wzoru Newtona dla n=4 odczytując współczynniki z trójkąta Pascala.

(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4.

Jak przy pomocy wzoru dwumianowego Newtona wyznaczyć wzory skróconego mnożenia na różnicę? Wystarczy do odpowiedniego wzoru na sumę za b podstawić -b.

Przykład:

Wyznaczmy wzór na (a-b)^4 korzystając ze wzoru na (a+b)^4.

(a-b)^4=(a+(-b))^4=a^4+4a^3(-b)+6a^2(-b)^2+4a(-b)^3+(-b)^4
=a^4-4a^3b+6a^2b^2-4ab^3+b^4.

Zobacz również

Losowe zadania

Komentarze (0)
Wynik działania 2 + 1 =
Ostatnio komentowane
Pomylono kąty
dsf • 2020-06-22 16:11:37
wow
Kasia • 2020-06-17 11:55:30
jezu ale trudne
iwo • 2020-06-16 18:19:06
dzieki
halinka • 2020-06-15 11:00:28
Rzym podbity przez barbarzyńców powoli całkowicie zamierał. Styl romański jest uprosz...
Badacz wlotów i upadków cywilizacji • 2020-06-11 21:16:11