Wzór dwumianowy Newtona

Wzór dwumianowy Newtona to formuła pozwalająca wyrazić $n$-tą potęgę sumy dwóch liczb. Może być traktowany jako sposób wyprowadzenia wzorów skróconego mnożenia na sumę i różnicę.

Wzór dwumianowy Newtona

$(a+b) ^{n} = {n \choose 0}a^n + {n \choose 1}a^{n-1}b + {n \choose 2}a^{n-2}b^2 + ...{n \choose n}b^n Wzór dwumianowy Newtona$

We wzorze występują współczynniki ${n \choose k}$, które wylicza się z symbolu Newtona lub odczytuje z trójkąta Pascala.

Wzoru dowodzi się przy wykorzystaniu indukcji matematycznej.

Przykład:

Wyznaczymy postać rozwiniętą wzoru dla $n = 2$ oraz $3$.

1) $n = 2$

Policzymy wartości współczynników.

${2 \choose 0} = \frac{2!}{2!0!} =1$

${2 \choose 1} = \frac{2!}{1!1!} =2$

${2 \choose 2} = {2 \choose 0} =1$ (korzystając z własności symbolu Newtona).

A zatem

$(a+b) ^{2} =a^2+2ab+b^2$.

2) $n = 3$

Wyznaczymy wartości współczynników.

${3 \choose 0} = \frac{3!}{3!0!} =1$

${3 \choose 1} = \frac{3!}{1!2!} =3$

${3 \choose 2} = {3 \choose 1} =3$ (korzystając z własności symbolu Newtona).

${3 \choose 3} = {3 \choose 0} =1$

Stąd

$(a+b) ^{3} =a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$.

 

Jeśli pamiętamy jak narysować trójkąt Pascala nie musimy liczyć współczynników z symbolu Newtona. Zwróćmy uwagę, że w drugim wierszu znajdują się współczynniki wyznaczone w przykładzie 1), natomiast w trzecim wyznaczone w przykładzie 2) (górny wiersz - ten z samą jedynką - to wiersz zerowy). Ogólnie w $n$-tym wierszu znajdują się współczynniki odpowiadające rozwinięciu wzoru Newtona dla $n$-tej potęgi.

Przykład:

Zapiszmy rozwinięcie wzoru Newtona dla $n=4$ odczytując współczynniki z trójkąta Pascala.

$(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$.

Jak przy pomocy wzoru dwumianowego Newtona wyznaczyć wzory skróconego mnożenia na różnicę? Wystarczy do odpowiedniego wzoru na sumę za $b$ podstawić $-b$.

Przykład:

Wyznaczmy wzór na $(a-b)^4$ korzystając ze wzoru na $(a+b)^4$.

$(a-b)^4=(a+(-b))^4=a^4+4a^3(-b)+6a^2(-b)^2+4a(-b)^3+(-b)^4$$=a^4-4a^3b+6a^2b^2-4ab^3+b^4$.