Jednym z ważniejszych wzorów skróconego mnożenia jest wzór na różnicę kwadratów.
\(a^{2} - b^{2} = (a-b)(a+b)\)
Ułatwia on wykonywanie pewnych obliczeń i przekształcanie wyrażeń.
Przykład:
\(9^{2}-7^{2} = (9-7)(9+7)=2\cdot16=32\) - wynik został otrzymany bez podnoszenia liczb do kwadratu.
\((x+5)(x-5) = x^{2}-25\) - wyrażenie zostało doprowadzone do ostatecznej postaci bez wykonywania operacji na poszczególnych etapach mnożenia dwóch nawiasów.
Wyprowadzenie wzoru (poprzez wymnożenie nawiasów i redukcję wyrazów podobnych):
\((a-b)(a+b) = a^{2} - ab + ab - b^{2} = a^{2} - b^{2}\)
Zadania:
1. Obliczyć, korzystając z wzoru na różnicę kwadratów:
a) \(8^{2}-7^{2}\),
b) \(6^{2}-5^{2}\),
c) \(28^{2}-27^{2}\),
d) \(15^{2}-13^{2}\).
2. Przekształcić, korzystając z wzoru:
a) \((x-3)(x+3)\),
b) \((x-12)(x+12)\),
c) \((7+y)(7-y)\).
Odpowiedzi:
1.
a) 15,
b) 11,
c) 55,
d) 56.
2.
a) \(x^{2}-9\),
b) \(x^{2}-144\),
c) \(49 - y^{2}\).