Oprócz poznanych już wcześniej zbiorów liczbowych (liczby naturalne, całkowite, wymierne, niewymierne, rzeczywiste) mamy w matematyce także do czynienia z liczbami zespolonymi. Liczby te poznają studenci matematyki i kierunków ścisłych, a także zdolniejsi licealiści w ramach zajęć kółek matematycznych i na zajęciach dodatkowych.
Liczby te to tak naprawdę obiekty będące parą liczb rzeczywistych - pierwszą z tych liczb nazywamy częścią rzeczywistą liczby zespolonej, drugą zaś - częścią urojoną (liczbą urojoną). Możemy myśleć o tym tak, jakby liczby zespolone były punktami przestrzeni dwuwymiarowej takiej jak płaszczyzna kartezjańska. Wówczas części rzeczywistej danej liczby będzie odpowiadała współrzędna x-owa a części urojonej współrzędna y-owa. Oś x nazywamy wówczas osią rzeczywistą i oznaczamy Re (od Real), zaś oś y - osią urojoną i oznaczamy Im (od Imaginary).
Do zapisu liczb urojonych używamy tzw. jednostki urojonej oznaczanej i. Zwyczajowo liczby zespolone oznaczamy literą z.
Przykład:
Zaznaczona liczba zespolona to 2 + 1i, albo prościej 2 + i. Część rzeczywista tej liczby to 2, część urojona: i.
Uwaga:
\(i ^{2} =-1\), w związku z czym \(i= \sqrt{-1} \).
Liczby zespolone możemy zatem traktować jako takie poszerzenie zbioru liczb rzeczywistych, w którym dozwolone jest pierwiastkowanie liczb ujemnych.
Przykład:
\( \sqrt{-25} = \sqrt{-1} \cdot \sqrt{25} =i \cdot 25=25i\).
Liczbą sprzężoną do danej liczby zespolonej (sprzężeniem zespolonym) nazywamy liczbę zespoloną o takiej samej jak liczba wyjściowa części rzeczywistej oraz przeciwnej części urojonej.
Przykład:
Sprzężeniem liczby \(2+2i\) będzie liczba \(2-2i\).