Na stronie używamy cookies. Korzystanie z witryny oznacza zgodę na ich wykorzystywanie. Szczegóły znajdziesz w Regulaminie.
ZAMKNIJ X

Postać trygonometryczna liczby zespolonej

Ostatnio komentowane
Tekst zapewne zredagowany przez historyka. Tak naprawdę nic na temat rewolucyjnych osiąg...
furiat • 2019-08-15 11:10:28
Szkoda że nie ma zdań a tak poza tym to fajna strona
Nie kumata862 • 2019-08-06 19:59:23
Sorry, ale to nie jest o tańcu śmierci, tylko o "Rozmowie..." w ogóle.
Andr • 2019-07-30 10:51:02
Mądre to
Zbyszek • 2019-07-27 08:44:21
Sekta według przeciwników stosowania tego terminu jest elementem pseudonauki, nie uznawa...
uczen Jezusa • 2019-07-30 10:16:33
Autor:
Drukuj
Drukuj
Rozmiar
AAA

Oprócz kanonicznej algebraicznej postaci z= a+bi liczby zespolone mają także przedstawienie trygonometryczne.

Definicja:

Liczba z= a+bi może być przedstawiona w postaci trygonometrycznej jako z = |z|(\cos \alpha +i\sin \alpha ), gdzie |z| oznacza moduł liczby z.

Wówczas \cos \alpha  = \frac{ a}{|z|} oraz \sin \alpha   = \frac{ b}{|z|}.

 

Powyższa definicja wynika z interpretacji geometrycznej liczby zespolonej.

Postać trygonometryczna liczby zespolonej

Liczba z= a+bi na płaszczyźnie zespolonej wyznacza pewien kąt  \alpha . Jej współrzędne x-owa i y-owa to odpowiednio a i b. Funkcje trygonometryczne kąta  \alpha możemy obliczyć jako\cos \alpha  = \frac{ a}{|z|} oraz \sin \alpha   = \frac{ b}{|z|}. Stąd mamy a  ={|z|}  \cos \alpha oraz  b  ={|z|}\sin \alpha , co po podstawieniu do postaci algebraicznej i przekształceniu daje nam postać trygonometryczną liczby zespolonej.

z= a+bi =  |z|\cos \alpha + i|z| \sin \alpha =|z|(\cos \alpha + i \sin \alpha ).

 

Przeanalizujmy to na przykładzie.

Przykład:

Niech dana będzie liczba 2+2i. Wówczas jej interpretacja geometryczna jest następująca:

Postać trygonometryczna liczby zespolonej

Liczba ta znajduje się na płaszczyźnie w punkcie (2,2) oraz wyznacza kąt  \alpha =45 ^{ \circ } . Znajdziemy jej postać trygonometryczną.

Policzmy moduł liczby z=2+2i. Mamy a=2 i b=2, zatem |z|= \sqrt{2^{2}+2^{2}}= \sqrt{4+4} = \sqrt{8} =2 \sqrt{2} .

W takim razie postacią trygonometryczną liczby 2+2i będzie z=2 \sqrt{2} (\cos45 ^{ \circ } +i\sin45 ^{ \circ } ) lub używając miary radianowej z=2 \sqrt{2} (\cos{ \frac{ \pi }{4} } +i\sin{  \frac{ \pi }{4}} ).

 

Przechodzenie z postaci trygonometrycznej na postać algebraiczną odbywa się poprzez wstawienie wartości funkcji trygonometrycznych.

Przykład:

Niech dana będzie liczba z w postaci trygonometrycznej 6(\cos \frac{\pi}{6} +i\sin\frac{\pi}{6}). Znajdziemy jej postać algebraiczną.

|z|=6

\cos \frac{\pi}{6} =  \frac{ \sqrt{3} }{2}

\sin \frac{\pi}{6} =  \frac{ 1 }{2}

Zatem a  ={|z|}  \cos \alpha = 6 \cdot  \frac{ \sqrt{3} }{2} =3 \sqrt{3} oraz b  ={|z|}  \sin \alpha = 6 \cdot  \frac{ 1 }{2} =3 .

Liczba w postaci algebraicznej ma więc postać z=6(\cos \frac{\pi}{6} +i\sin\frac{\pi}{6})=3 \sqrt{3} +3i.

Polecamy również:

Komentarze (0)
2 + 2 =
echo $this->Html->script('core.min'); echo $this->Html->script('blockadblock.js'); echo $this->Html->script('fancybox/jquery.fancybox-1.3.4.min'); echo $this->Html->css('/js/fancybox/jquery.fancybox-1.3.4.min'); echo $this->Html->script('jnice/jquery.jNice', array('async' => 'async')); echo $this->Html->css('/js/jnice/jNice.min');