Na stronie używamy cookies. Korzystanie z witryny oznacza zgodę na ich wykorzystywanie. Szczegóły znajdziesz w Regulaminie.
ZAMKNIJ X
Autor:
Drukuj
Drukuj
Rozmiar
AAA

Postać trygonometryczna liczby zespolonej

Oprócz kanonicznej algebraicznej postaci z= a+bi liczby zespolone mają także przedstawienie trygonometryczne.

Definicja:

Liczba z= a+bi może być przedstawiona w postaci trygonometrycznej jako z = |z|(\cos \alpha +i\sin \alpha ), gdzie |z| oznacza moduł liczby z.

Wówczas \cos \alpha  = \frac{ a}{|z|} oraz \sin \alpha   = \frac{ b}{|z|}.

 

Powyższa definicja wynika z interpretacji geometrycznej liczby zespolonej.

Postać trygonometryczna liczby zespolonej

Liczba z= a+bi na płaszczyźnie zespolonej wyznacza pewien kąt  \alpha . Jej współrzędne x-owa i y-owa to odpowiednio a i b. Funkcje trygonometryczne kąta  \alpha możemy obliczyć jako\cos \alpha  = \frac{ a}{|z|} oraz \sin \alpha   = \frac{ b}{|z|}. Stąd mamy a  ={|z|}  \cos \alpha oraz  b  ={|z|}\sin \alpha , co po podstawieniu do postaci algebraicznej i przekształceniu daje nam postać trygonometryczną liczby zespolonej.

z= a+bi =  |z|\cos \alpha + i|z| \sin \alpha =|z|(\cos \alpha + i \sin \alpha ).

 

Przeanalizujmy to na przykładzie.

Przykład:

Niech dana będzie liczba 2+2i. Wówczas jej interpretacja geometryczna jest następująca:

Postać trygonometryczna liczby zespolonej

Liczba ta znajduje się na płaszczyźnie w punkcie (2,2) oraz wyznacza kąt  \alpha =45 ^{ \circ } . Znajdziemy jej postać trygonometryczną.

Policzmy moduł liczby z=2+2i. Mamy a=2 i b=2, zatem |z|= \sqrt{2^{2}+2^{2}}= \sqrt{4+4} = \sqrt{8} =2 \sqrt{2} .

W takim razie postacią trygonometryczną liczby 2+2i będzie z=2 \sqrt{2} (\cos45 ^{ \circ } +i\sin45 ^{ \circ } ) lub używając miary radianowej z=2 \sqrt{2} (\cos{ \frac{ \pi }{4} } +i\sin{  \frac{ \pi }{4}} ).

 

Przechodzenie z postaci trygonometrycznej na postać algebraiczną odbywa się poprzez wstawienie wartości funkcji trygonometrycznych.

Przykład:

Niech dana będzie liczba z w postaci trygonometrycznej 6(\cos \frac{\pi}{6} +i\sin\frac{\pi}{6}). Znajdziemy jej postać algebraiczną.

|z|=6

\cos \frac{\pi}{6} =  \frac{ \sqrt{3} }{2}

\sin \frac{\pi}{6} =  \frac{ 1 }{2}

Zatem a  ={|z|}  \cos \alpha = 6 \cdot  \frac{ \sqrt{3} }{2} =3 \sqrt{3} oraz b  ={|z|}  \sin \alpha = 6 \cdot  \frac{ 1 }{2} =3 .

Liczba w postaci algebraicznej ma więc postać z=6(\cos \frac{\pi}{6} +i\sin\frac{\pi}{6})=3 \sqrt{3} +3i.

Zobacz również

Losowe zadania

  • Inhibicja kompetycyjna a niekompetycyjna

    Inhibicja enzymów jest bardzo ważnym mechanizmem w wielu procesach metabolicznych. Wyjaśnij różnicę pomiędzy inhibicją kompetycyjną a niekompetycyjną.

    0 Odpowiedz Więcej
  • Oblicz skalę rysunku

    Barania Góra, której wysokość bezwzględna wynosi 1 220 m n.p.m. stanowi obszar źródliskowy rzeki Wisły. Oblicz skalę rysunku przedstawiającego profil wysokościowy góry, na którym jej wysokość wynosi 61 mm.

    0 Odpowiedz Więcej
  • Oblicz stężenie soli w jej nasyconym roztworze

    Wiedząc, że iloczyn rozpuszczalności siarczanu(VI) wapnia wynosi 9,1×10-6, oblicz stężenie soli w jej nasyconym roztworze.

    0 Odpowiedz Więcej
  • Suma początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego

    1. Oblicz sumę trzynastu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, wiedząc, że siódmy wyraz jest równy 8. 2. Oblicz sumę wszystkich liczb dwucyfrowych, które nie są podzielne ani przez 3 ani przez 4. 3. Rozwiąż równanie . 4. Sprawdź, czy ciąg  jest ciągiem arytmetycznym, jeśli .

    0 Odpowiedz Więcej
  • Określ czy dojdzie do wytrącenia osadu

    Przeprowadzono doświadczenie, w którym zmieszano 10 cm3 wodnego roztworu azotanu(V) potasu o stężeniu 0,02 mol/dm3 oraz wodny roztwór chlorku sodu o identycznym stężeniu i objętości. Oblicz iloczyn stężeń jonów srebra i chlorków w roztworze po zmieszaniu obu roztworów i odpowiedz, czy w tych warunkach wy...

    0 Odpowiedz Więcej
Komentarze (0)
Wynik działania 1 + 4 =
Ostatnio komentowane
Istnieje więcej funkcji tkanek stałych? Jeśli tak to prosiłabym o podanie. :D
Naomi • 2020-04-09 08:00:03
Wartościowy i pouczający o fizyce i pokazuje siłe dośrodkową bardzo dobrze i przejrzy...
D.N.A • 2020-04-08 19:39:31
Bardzo mi pomogło,
Elo • 2020-04-08 14:38:50
dobre
tom • 2020-04-08 12:22:18
dobra odpowiedź
kox • 2020-04-08 11:27:19