Postać trygonometryczna liczby zespolonej

Oprócz kanonicznej algebraicznej postaci $z= a+bi$ liczby zespolone mają także przedstawienie trygonometryczne.

Definicja:

Liczba $z= a+bi$ może być przedstawiona w postaci trygonometrycznej jako $z = |z|(\cos \alpha +i\sin \alpha )$, gdzie $|z|$ oznacza moduł liczby $z$.

Wówczas $\cos \alpha = \frac{ a}{|z|}$ oraz $\sin \alpha = \frac{ b}{|z|}$.

 

Powyższa definicja wynika z interpretacji geometrycznej liczby zespolonej.

Liczba $z= a+bi$ na płaszczyźnie zespolonej wyznacza pewien kąt $\alpha$. Jej współrzędne x-owa i y-owa to odpowiednio $a$ i $b$. Funkcje trygonometryczne kąta $\alpha$ możemy obliczyć jako$\cos \alpha = \frac{ a}{|z|}$ oraz $\sin \alpha = \frac{ b}{|z|}$. Stąd mamy $a ={|z|} \cos \alpha$ oraz  $b ={|z|}\sin \alpha$, co po podstawieniu do postaci algebraicznej i przekształceniu daje nam postać trygonometryczną liczby zespolonej.

$z= a+bi = |z|\cos \alpha + i|z| \sin \alpha =|z|(\cos \alpha + i \sin \alpha )$.

 

Przeanalizujmy to na przykładzie.

Przykład:

Niech dana będzie liczba $2+2i$. Wówczas jej interpretacja geometryczna jest następująca:

Liczba ta znajduje się na płaszczyźnie w punkcie (2,2) oraz wyznacza kąt $\alpha =45 ^{ \circ }$. Znajdziemy jej postać trygonometryczną.

Policzmy moduł liczby $z=2+2i$. Mamy $a=2$ i $b=2$, zatem $|z|= \sqrt{2^{2}+2^{2}}= \sqrt{4+4} = \sqrt{8} =2 \sqrt{2}$.

W takim razie postacią trygonometryczną liczby $2+2i$ będzie $z=2 \sqrt{2} (\cos45 ^{ \circ } +i\sin45 ^{ \circ } )$ lub używając miary radianowej $z=2 \sqrt{2} (\cos{ \frac{ \pi }{4} } +i\sin{ \frac{ \pi }{4}} )$.

 

Przechodzenie z postaci trygonometrycznej na postać algebraiczną odbywa się poprzez wstawienie wartości funkcji trygonometrycznych.

Przykład:

Niech dana będzie liczba $z$ w postaci trygonometrycznej $6(\cos \frac{\pi}{6} +i\sin\frac{\pi}{6})$. Znajdziemy jej postać algebraiczną.

$|z|=6$

$\cos \frac{\pi}{6} = \frac{ \sqrt{3} }{2}$

$\sin \frac{\pi}{6} = \frac{ 1 }{2}$

Zatem $a ={|z|} \cos \alpha = 6 \cdot \frac{ \sqrt{3} }{2} =3 \sqrt{3}$ oraz $b ={|z|} \sin \alpha = 6 \cdot \frac{ 1 }{2} =3$.

Liczba w postaci algebraicznej ma więc postać $z=6(\cos \frac{\pi}{6} +i\sin\frac{\pi}{6})=3 \sqrt{3} +3i$.