Oprócz kanonicznej algebraicznej postaci liczby zespolone mają także przedstawienie trygonometryczne.
Definicja:
Liczba może być przedstawiona w postaci trygonometrycznej jako
, gdzie
oznacza moduł liczby
.
Wówczas oraz
.
Powyższa definicja wynika z interpretacji geometrycznej liczby zespolonej.
Liczba na płaszczyźnie zespolonej wyznacza pewien kąt
. Jej współrzędne x-owa i y-owa to odpowiednio
i
. Funkcje trygonometryczne kąta
możemy obliczyć jako
oraz
. Stąd mamy
oraz
, co po podstawieniu do postaci algebraicznej i przekształceniu daje nam postać trygonometryczną liczby zespolonej.
.
Przeanalizujmy to na przykładzie.
Przykład:
Niech dana będzie liczba . Wówczas jej interpretacja geometryczna jest następująca:
Liczba ta znajduje się na płaszczyźnie w punkcie (2,2) oraz wyznacza kąt . Znajdziemy jej postać trygonometryczną.
Policzmy moduł liczby . Mamy
i
, zatem
.
W takim razie postacią trygonometryczną liczby będzie
lub używając miary radianowej
.
Przechodzenie z postaci trygonometrycznej na postać algebraiczną odbywa się poprzez wstawienie wartości funkcji trygonometrycznych.
Przykład:
Niech dana będzie liczba w postaci trygonometrycznej
. Znajdziemy jej postać algebraiczną.
Zatem oraz
.
Liczba w postaci algebraicznej ma więc postać .