Oprócz kanonicznej algebraicznej postaci \(z= a+bi\) liczby zespolone mają także przedstawienie trygonometryczne.
Definicja:
Liczba \(z= a+bi\) może być przedstawiona w postaci trygonometrycznej jako \(z = |z|(\cos \alpha +i\sin \alpha )\), gdzie \(|z|\) oznacza moduł liczby \(z\).
Wówczas \(\cos \alpha = \frac{ a}{|z|} \) oraz \(\sin \alpha = \frac{ b}{|z|}\).
Powyższa definicja wynika z interpretacji geometrycznej liczby zespolonej.
Liczba \(z= a+bi\) na płaszczyźnie zespolonej wyznacza pewien kąt \( \alpha \). Jej współrzędne x-owa i y-owa to odpowiednio \(a\) i \(b\). Funkcje trygonometryczne kąta \( \alpha \) możemy obliczyć jako\(\cos \alpha = \frac{ a}{|z|} \) oraz \(\sin \alpha = \frac{ b}{|z|}\). Stąd mamy \(a ={|z|} \cos \alpha\) oraz \(b ={|z|}\sin \alpha \), co po podstawieniu do postaci algebraicznej i przekształceniu daje nam postać trygonometryczną liczby zespolonej.
\(z= a+bi = |z|\cos \alpha + i|z| \sin \alpha =|z|(\cos \alpha + i \sin \alpha )\).
Przeanalizujmy to na przykładzie.
Przykład:
Niech dana będzie liczba \(2+2i\). Wówczas jej interpretacja geometryczna jest następująca:
Liczba ta znajduje się na płaszczyźnie w punkcie (2,2) oraz wyznacza kąt \( \alpha =45 ^{ \circ } \). Znajdziemy jej postać trygonometryczną.
Policzmy moduł liczby \(z=2+2i\). Mamy \(a=2\) i \(b=2\), zatem \(|z|= \sqrt{2^{2}+2^{2}}= \sqrt{4+4} = \sqrt{8} =2 \sqrt{2} \).
W takim razie postacią trygonometryczną liczby \(2+2i\) będzie \(z=2 \sqrt{2} (\cos45 ^{ \circ } +i\sin45 ^{ \circ } )\) lub używając miary radianowej \(z=2 \sqrt{2} (\cos{ \frac{ \pi }{4} } +i\sin{ \frac{ \pi }{4}} )\).
Przechodzenie z postaci trygonometrycznej na postać algebraiczną odbywa się poprzez wstawienie wartości funkcji trygonometrycznych.
Przykład:
Niech dana będzie liczba \(z\) w postaci trygonometrycznej \(6(\cos \frac{\pi}{6} +i\sin\frac{\pi}{6})\). Znajdziemy jej postać algebraiczną.
\(|z|=6\)
\(\cos \frac{\pi}{6} = \frac{ \sqrt{3} }{2} \)
\(\sin \frac{\pi}{6} = \frac{ 1 }{2} \)
Zatem \(a ={|z|} \cos \alpha = 6 \cdot \frac{ \sqrt{3} }{2} =3 \sqrt{3} \) oraz \(b ={|z|} \sin \alpha = 6 \cdot \frac{ 1 }{2} =3 \).
Liczba w postaci algebraicznej ma więc postać \(z=6(\cos \frac{\pi}{6} +i\sin\frac{\pi}{6})=3 \sqrt{3} +3i\).