Postać trygonometryczna liczby zespolonej

Oprócz kanonicznej algebraicznej postaci $z= a+bi$ liczby zespolone mają także przedstawienie trygonometryczne.

Definicja:

Liczba $z= a+bi$ może być przedstawiona w postaci trygonometrycznej jako $z = |z|(\cos \alpha +i\sin \alpha )$ , gdzie $|z|$ oznacza moduł liczby $z$ .

Wówczas $\cos \alpha = \frac{ a}{|z|}$ oraz $\sin \alpha = \frac{ b}{|z|}$ .

Powyższa definicja wynika z interpretacji geometrycznej liczby zespolonej.

Postać trygonometryczna liczby zespolonej

Liczba $z= a+bi$ na płaszczyźnie zespolonej wyznacza pewien kąt $\alpha$ . Jej współrzędne x-owa i y-owa to odpowiednio $a$ i $b$ . Funkcje trygonometryczne kąta $\alpha$ możemy obliczyć jako $\cos \alpha = \frac{ a}{|z|}$ oraz $\sin \alpha = \frac{ b}{|z|}$ . Stąd mamy $a ={|z|} \cos \alpha$ oraz $b ={|z|}\sin \alpha$ , co po podstawieniu do postaci algebraicznej i przekształceniu daje nam postać trygonometryczną liczby zespolonej.

$z= a+bi = |z|\cos \alpha + i|z| \sin \alpha =|z|(\cos \alpha + i \sin \alpha )$ .

Przeanalizujmy to na przykładzie.

Przykład:

Niech dana będzie liczba $2+2i$ . Wówczas jej interpretacja geometryczna jest następująca:

Postać trygonometryczna liczby zespolonej

Liczba ta znajduje się na płaszczyźnie w punkcie (2,2) oraz wyznacza kąt $\alpha =45 ^{ \circ }$ . Znajdziemy jej postać trygonometryczną.

Policzmy moduł liczby $z=2+2i$ . Mamy $a=2$ i $b=2$ , zatem $|z|= \sqrt{2^{2}+2^{2}}= \sqrt{4+4} = \sqrt{8} =2 \sqrt{2}$ .

W takim razie postacią trygonometryczną liczby $2+2i$ będzie $z=2 \sqrt{2} (\cos45 ^{ \circ } +i\sin45 ^{ \circ } )$ lub używając miary radianowej $z=2 \sqrt{2} (\cos{ \frac{ \pi }{4} } +i\sin{ \frac{ \pi }{4}} )$ .

Przechodzenie z postaci trygonometrycznej na postać algebraiczną odbywa się poprzez wstawienie wartości funkcji trygonometrycznych.

Przykład:

Niech dana będzie liczba $z$ w postaci trygonometrycznej $6(\cos \frac{\pi}{6} +i\sin\frac{\pi}{6})$ . Znajdziemy jej postać algebraiczną.

$|z|=6$

$\cos \frac{\pi}{6} = \frac{ \sqrt{3} }{2}$

$\sin \frac{\pi}{6} = \frac{ 1 }{2}$

Zatem $a ={|z|} \cos \alpha = 6 \cdot \frac{ \sqrt{3} }{2} =3 \sqrt{3}$ oraz $b ={|z|} \sin \alpha = 6 \cdot \frac{ 1 }{2} =3$ .

Liczba w postaci algebraicznej ma więc postać $z=6(\cos \frac{\pi}{6} +i\sin\frac{\pi}{6})=3 \sqrt{3} +3i$ .

Polecamy również:

Działania na liczbach zespolonych

Na liczbach zespolonych podobnie jak na pozostałych zbiorach liczbowych można wykonywać działania takie jak dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie... Więcej »
Moduł liczby zespolonej

W przypadku liczb rzeczywistych mówimy o wartości bezwzględnej liczby i wyobrażamy ją sobie jako odległość danej liczby od zera na osi liczbowej. W przypadku liczb zespolonych mówimy o... Więcej »
Działania na liczbach zespolonych w postaci trygonometrycznej

Postać trygonometryczna liczby zespolonej umożliwia bardzo łatwe wykonywanie mnożenia i dzielenia liczb zespolonych... Więcej »
Potęgowanie liczb zespolonych i wzór de Moivre'a

Potęgowanie liczb zespolonych wykonujemy posługując się wzorem de Moivre'a. Wzór ten mówi nam... Więcej »
Postać wykładnicza liczby zespolonej

Oprócz postaci algebraicznej oraz trygonometrycznej liczby zespolone posiadają także postać wykładniczą... Więcej »

Komentarze (0)

Resublimacja

lol

• 2023-09-24 15:47:42

Stanisław Wyspiański

Muszę na poniedziałek napisać coś o "portret z pelargoniami" ale niestety tu nie znala...

• 2023-09-24 10:07:26

Środek ciężkości bryły sztywnej

chyba ta

• 2023-09-21 19:21:13

Wojna trzynastoletnia (1454-1466)

dsasdsadasssssssss

• 2023-09-21 18:28:08

Zmierzch

????

• 2023-09-20 13:10:13

Postać trygonometryczna liczby zespolonej

Definicja:

Przykład:

Przykład:

Polecamy również:

Zobacz również

Działania na liczbach zespolonych

Moduł liczby zespolonej

Działania na liczbach zespolonych w postaci trygonometrycznej

Potęgowanie liczb zespolonych i wzór de Moivre'a

Postać wykładnicza liczby zespolonej

Losowe zadania

Natężenie prądu

Zasolenie Morza

O Kronice Galla Anonima

Życzenia

Formy rozwojowe pierwotniaków