Postać trygonometryczna liczby zespolonej

Oprócz kanonicznej algebraicznej postaci z= a+bi liczby zespolone mają także przedstawienie trygonometryczne.

Definicja:

Liczba z= a+bi może być przedstawiona w postaci trygonometrycznej jako z = |z|(\cos \alpha +i\sin \alpha ), gdzie |z| oznacza moduł liczby z.

Wówczas \cos \alpha  = \frac{ a}{|z|} oraz \sin \alpha   = \frac{ b}{|z|}.

 

Powyższa definicja wynika z interpretacji geometrycznej liczby zespolonej.

Postać trygonometryczna liczby zespolonej

Liczba z= a+bi na płaszczyźnie zespolonej wyznacza pewien kąt  \alpha . Jej współrzędne x-owa i y-owa to odpowiednio a i b. Funkcje trygonometryczne kąta  \alpha możemy obliczyć jako\cos \alpha  = \frac{ a}{|z|} oraz \sin \alpha   = \frac{ b}{|z|}. Stąd mamy a  ={|z|}  \cos \alpha oraz  b  ={|z|}\sin \alpha , co po podstawieniu do postaci algebraicznej i przekształceniu daje nam postać trygonometryczną liczby zespolonej.

z= a+bi =  |z|\cos \alpha + i|z| \sin \alpha =|z|(\cos \alpha + i \sin \alpha ).

 

Przeanalizujmy to na przykładzie.

Przykład:

Niech dana będzie liczba 2+2i. Wówczas jej interpretacja geometryczna jest następująca:

Postać trygonometryczna liczby zespolonej

Liczba ta znajduje się na płaszczyźnie w punkcie (2,2) oraz wyznacza kąt  \alpha =45 ^{ \circ } . Znajdziemy jej postać trygonometryczną.

Policzmy moduł liczby z=2+2i. Mamy a=2 i b=2, zatem |z|= \sqrt{2^{2}+2^{2}}= \sqrt{4+4} = \sqrt{8} =2 \sqrt{2} .

W takim razie postacią trygonometryczną liczby 2+2i będzie z=2 \sqrt{2} (\cos45 ^{ \circ } +i\sin45 ^{ \circ } ) lub używając miary radianowej z=2 \sqrt{2} (\cos{ \frac{ \pi }{4} } +i\sin{  \frac{ \pi }{4}} ).

 

Przechodzenie z postaci trygonometrycznej na postać algebraiczną odbywa się poprzez wstawienie wartości funkcji trygonometrycznych.

Przykład:

Niech dana będzie liczba z w postaci trygonometrycznej 6(\cos \frac{\pi}{6} +i\sin\frac{\pi}{6}). Znajdziemy jej postać algebraiczną.

|z|=6

\cos \frac{\pi}{6} =  \frac{ \sqrt{3} }{2}

\sin \frac{\pi}{6} =  \frac{ 1 }{2}

Zatem a  ={|z|}  \cos \alpha = 6 \cdot  \frac{ \sqrt{3} }{2} =3 \sqrt{3} oraz b  ={|z|}  \sin \alpha = 6 \cdot  \frac{ 1 }{2} =3 .

Liczba w postaci algebraicznej ma więc postać z=6(\cos \frac{\pi}{6} +i\sin\frac{\pi}{6})=3 \sqrt{3} +3i.

Polecamy również:

Komentarze (0)
Wynik działania 1 + 5 =
Ostatnio komentowane
I cóż miał rację Marek Aureliusz który chciał podbić Germanię uderzeniem przez Mor...
• 2024-07-06 19:45:33
"Treść wiersza bezpośrednio nawiązuje też do istniejących wówczas, tajnych układó...
• 2024-07-02 05:43:44
O tym, że zmienne w czasie pole elektryczne jest źródłem pola magnetycznego, napisał ...
• 2024-06-27 07:25:33
ok
• 2024-06-05 13:52:17
nadal nie umiem tego napisać
• 2024-06-04 10:48:42