Macierze są jednym z podstawowych obiektów algebry wyższej.
Definicja
Macierzą prostokątną o wymiarze \(m \times n\) (\(m,n\in \mathbb{N}\)) nazywamy tablicę, w której znajduje się \(m \cdot n\) elementów ustawionych w \(m\) wierszach i \(n\) kolumnach.
\(\mathbf{A}=\left[ \begin{array} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots& a_{mn} \end{array} \right]\).
Elementy macierzy oznaczamy przez \(a _{ij} \), gdzie \(i\) oznacza numer wiersza, w którym znajduje się element, zaś \(j\) - numer kolumny.
Macierze oznaczamy wielkimi literami. Niekiedy w dolnym indeksie zapisujemy także liczbę wierszy i kolumn. Wówczas zamiast pisać \(\mathbf{A}\) piszemy \(\mathbf{A_{m \times n}}\), by podkreślić wymiar macierzy.
Elementami macierzy mogą być liczby, ale nie jest to wymogiem - mogą być nimi także inne obiekty matematyczne, np. funkcje, wyrażenia algebraiczne, itd.
Jeśli \(m=n\) (macierz ma taką samą liczbę wierszy i kolumn) to macierz nazywamy macierzą kwadratową.
Przykład:
\(\mathbf{A}=\left[ \begin{array} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{array} \right]\) - macierz kwadratowa wymiaru \(3 \times 3\),
\(\mathbf{B}=\left[ \begin{array} 1 & 10 & 100\\ 2 & 20 & 200\\ \end{array} \right]\) - macierz wymiaru \(2 \times 3\),
\(\mathbf{C}=\left[ \begin{array} 2 & 4 \\ 8 & 16\\ 32 & 64 \end{array} \right]\) - macierz wymiaru \(3 \times 2\),
\(\mathbf{D}=\left[ \begin{array} \sin x & \cos x\\ \cos x & \sin x\\ \end{array} \right]\) - macierz kwadratowa \(2 \times 2\), której elementami są funkcje trygonometryczne.