Macierz transponowana to taka, w której kolumny zamieniono z wierszami a wiersze z kolumnami.
Jeśli więc elementami macierzy \(\mathbf{A}\) były elementy \(a_{ij}\) to elementami macierzy transponowanej (oznaczanej \(\mathbf{A^T}\)) będą elementy \(a_{ji}\) (nastąpiła zamiana indeksów wierszy z indeksami kolumn).
Przykład:
Niech dana będzie macierz \(\mathbf{A} = \left[ \begin{array}{ccc} 3 & 2 \\ 0 & 1 \\ -1 & -2 \end{array} \right]\). Macierzą transponowaną będzie w tym wypadku macierz \(\mathbf{A^T} = \left[ \begin{array}{ccc} 3 & 0&-1 \\ 2 & 1&-2 \end{array} \right]\).
Zachodzi następująca własność:
\(\mathbf{(A^T)^T=A}\)
A zatem dwukrotna transpozycja przywraca macierz początkową.
Ponadto:
1) Transpozycji sumy macierzy jest równa sumie macierzy transponowanych, tj.
\(\mathbf{(A+B)^T=A^T+B^T}\).
2) Tranapozycja iloczynu macierzy jest równa iloczynowi macierzy transponowanych ale zmienie ulega kolejność mnożenia, tj.
\(\mathbf{(A \circ B)^T=B^T \circ A^T}\).
3) Macierz odwrotna do macierzy transponowanej jest macierzą transponowaną macierzy odwrotnej, tj.
\(\mathbf{(A^T)^{-1}=(A^{-1})^{T}}\).
4) Wyznacznik macierzy transponowanej jest równy wyznacznikowi danej macierzy, tj.
\(\det \mathbf{A^T}=\det \mathbf{A}\).