Operacjami elementarnymi nazywamy pewne działania, które możemy wykonywać na wierszach lub kolumnach macierzy.
Zaliczamy do nich:
1) pomnożenie wiersza/kolumny przez skalar \( \alpha \in \mathbb{R} \setminus \lbrace 0 \rbrace\),
2) przestawienie wierszy/kolumn miejscami,
3) dodanie wiersza/kolumny do innego wiersza/kolumny pomnożonego przez skalar.
Operacje elementarne stosujemy na przykład do wyznaczenia macierzy odwrotnej, znalezienia rzędu macierzy lub rozwiązywania układu równań metodami macierzowymi.
Wpływ operacji elementarnych na wyznacznik:
1) macierz \(\mathbf {B}\) powstała z macierzy \(\mathbf {A}\) przez wymnożenie jednego wiersza/kolumny macierzy \(\mathbf {A}\) przez skalar \( \alpha \in \mathbb{R} \setminus \lbrace 0 \rbrace\):
\(\det \mathbf {B} = \alpha \cdot \det \mathbf {A}\).
2) macierz \(\mathbf {B}\) powstała z macierzy \(\mathbf {A}\) przez zamianę dwóch wierszy/kolumn miejscami
\(\det \mathbf {B} =- \det \mathbf {A}\).
3) macierz \(\mathbf {B}\) powstała z macierzy \(\mathbf {A}\) przez dodanie do wiersza macierzy \(\mathbf {A}\) innego wiersza macierzy \(\mathbf {A}\) (nawet pomnożonego przez stałą)
\(\det \mathbf {B} = \det \mathbf {A}\).
Przykład:
Niech \(\mathbf{A} = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 1 \\ 2 & 3\\ \end{array} \right]\), wtedy \(\det \mathbf{A} = \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 \\ 2 & 3\\ \end{array} \right| = 3-2=1\).
Macierze \(\mathbf{B_1} \), \(\mathbf{B_2} \), \(\mathbf{B_3} \) otrzymamy przez odpowiednio pomnożenie drugiego wiersza macierzy \(\mathbf{A} \) przez \(2\), zamianę wierszy macierzy \(\mathbf{A} \) miejscami oraz dodanie do drugiego wiersza pierwszego wiersza.
\(\mathbf{B_1} = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 1 \\ 4 & 6\\ \end{array} \right]\), wówczas \(\det \mathbf{B_1} = \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 \\ 4 & 6\\ \end{array} \right| = 6-4=2=2 \cdot \det \mathbf{A}\).
\(\mathbf{B_2} = \left[ \begin{array}{ccc} 2 & 3 \\ 1 &1\\ \end{array} \right]\), wtedy \(\det \mathbf{B_2} = \left| \begin{array}{ccc} 2 & 3 \\ 1 & 1\\ \end{array} \right| = 2-3=-1=-1 \cdot \det \mathbf{A}\).
\(\mathbf{B_3} = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 1 \\ 3 &4\\ \end{array} \right]\), a zatem \(\det \mathbf{B_2} = \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 \\ 3 & 4\\ \end{array} \right| = 4-3=1= \det \mathbf{A}\).