Operacje elementarne

Operacjami elementarnymi nazywamy pewne działania, które możemy wykonywać na wierszach lub kolumnach macierzy.

Zaliczamy do nich:

1) pomnożenie wiersza/kolumny przez skalar  \alpha \in \mathbb{R}  \setminus  \lbrace 0 \rbrace,

2) przestawienie wierszy/kolumn miejscami,

3) dodanie wiersza/kolumny do innego wiersza/kolumny pomnożonego przez skalar.

Operacje elementarne stosujemy na przykład do wyznaczenia macierzy odwrotnej, znalezienia rzędu macierzy lub rozwiązywania układu równań metodami macierzowymi.

Wpływ operacji elementarnych na wyznacznik:

1) macierz \mathbf {B} powstała z macierzy \mathbf {A} przez wymnożenie jednego wiersza/kolumny macierzy \mathbf {A} przez skalar  \alpha \in \mathbb{R}  \setminus  \lbrace 0 \rbrace:

\det \mathbf {B} = \alpha  \cdot \det \mathbf {A}.

2) macierz \mathbf {B} powstała z macierzy \mathbf {A} przez zamianę dwóch wierszy/kolumn miejscami

\det \mathbf {B} =- \det \mathbf {A}.

3) macierz \mathbf {B} powstała z macierzy \mathbf {A} przez dodanie do wiersza macierzy \mathbf {A} innego wiersza macierzy \mathbf {A} (nawet pomnożonego przez stałą)

\det \mathbf {B} = \det \mathbf {A}.

Przykład:

Niech \mathbf{A} =
\left[ \begin{array}{ccc}
1 & 1 \\
2 & 3\\

\end{array} \right], wtedy \det \mathbf{A} =
\left| \begin{array}{ccc}
1 & 1 \\
2 & 3\\

\end{array} \right| = 3-2=1.

Macierze \mathbf{B_1} , \mathbf{B_2} , \mathbf{B_3} otrzymamy przez odpowiednio pomnożenie drugiego wiersza macierzy \mathbf{A} przez 2, zamianę wierszy macierzy \mathbf{A} miejscami oraz dodanie do drugiego wiersza pierwszego wiersza.

\mathbf{B_1} =
\left[ \begin{array}{ccc}
1 & 1 \\
4 & 6\\

\end{array} \right], wówczas \det \mathbf{B_1} =
\left| \begin{array}{ccc}
1 & 1 \\
4 & 6\\

\end{array} \right| = 6-4=2=2 \cdot \det \mathbf{A}.

\mathbf{B_2} =
\left[ \begin{array}{ccc}
2 & 3 \\
1 &1\\

\end{array} \right], wtedy \det \mathbf{B_2} =
\left| \begin{array}{ccc}
2 & 3 \\
1 & 1\\

\end{array} \right| = 2-3=-1=-1 \cdot \det \mathbf{A}.

\mathbf{B_3} =
\left[ \begin{array}{ccc}
1 & 1 \\
3 &4\\

\end{array} \right], a zatem \det \mathbf{B_2} =
\left| \begin{array}{ccc}
1 & 1 \\
3 & 4\\

\end{array} \right| = 4-3=1= \det \mathbf{A}.

Polecamy również:

Komentarze (0)
Wynik działania 2 + 5 =
Ostatnio komentowane
bez marii bylby nikim, bez pozdra
• 2024-04-18 17:47:36
walter white heisenberg?
• 2024-04-18 17:47:07
walter white?
• 2024-04-18 17:46:34
bARDZO FAJY TEKST! POWIEM SZCZERZE, ŻE MIAŁEM WZWÓD W TEMACIE PANIEN pOCKICH, ZWŁasza ...
• 2024-04-18 14:07:19