W ciągu arytmetycznym każdy wyraz począwszy od drugiego jest średnią arytmetyczną wyrazów z nim sąsiadujących.
\(a_n = \frac{a_{n+1}+a_{n-1}}{2}\)
Wyprowadzenie:
Wiemy, że różnica kolejnych dwóch wyrazów w ciągu arytmetycznym równa jest \(r\).
\(a_{n+1} - a_n = r\)
\(a_n - a_{n-1} = r\)
Zatem \(a_{n+1}-a_n = a_n - a_{n-1}\), a stąd po przekształceniu \(2a_n = a_{n+1}+a_{n-1}\).
Ostatecznie więc mamy, że \(a_n = \frac{a_{n+1}+a_{n-1}}{2}\) - co było do pokazania.
Znajomość tych faktów bywa przydatna przy rozwiązywaniu różnych zadań, w których mamy do czynienia z ciągiem arytmetycznym.
Przykład:
Długości boków trójkąta prostokątnego tworzą ciąg arytmetyczny. Jakie są długości boków tego trójkąta, jeśli wiemy, że dłuższa z przyprostokątnych ma długość \(10\)?
Skorzystamy z dwóch zależności łączących długości trzech boków, będące jednocześnie wyrazami ciągu arytmetycznego - pierwszą z nich jest twierdzenie Pitagorasa (możemy go użyć, bo trójkąt jest prostokątny), a drugą własność ciągu arytmetycznego opisywana powyżej.
Oznaczmy przyprostokątną, której długości nie znamy jako \(x\), natomiast przeciwprostokątną jako \(y\).
Wówczas
\(x<10<y\), zatem - ponieważ \((x,10,y)\) to ciąg arytmetyczny - mamy \(10 = \frac {x+y}{2}\), więc \(y = 20-x\).
Jednocześnie (z twierdzenia Pitagorasa) \(x^2 + 10^2 = y^2\). Po podstawieniu \(y = 20-x\) otrzymujemy
\(x^2 + 100 = (20-x)^2\)
\(x^2 + 100 = 400- 40x + x^2\)
\(40x = 300\)
Zatem
\(x = \frac {300}{40} = 7,5\)
A korzystając z powyższych równań wyliczamy także, że
\(y = 12,5\)
Zatem boki trójkąta mają długość \(7,5\), \(10\), \(12,5\).
Przykład:
O liczbach \(a\), \(4\), \(b\), \(c\), \(10\) wiadomo, że tworzą ciąg arytmetyczny. Znajdź te liczby i podaj wzór ogólny ciągu.
Zauważmy najpierw, że
\(b = \frac{4 +c}2\) oraz \(c = \frac{b +10}2\). Po przekształceniu pierwszej równości otrzymujemy, że \(2b = 4 + c\), stąd zaś \(c = 2b -4\). W połączeniu z pierwszą równością otrzymujemy tożsamość
\(2b - 4 = \frac{b+10}2\)
\(4b - 8 = b + 10\)
\(3b = 18\)
\(b = 6\).
Mając tą informację korzystając z powyższych równości możemy policzyć, że \(c = 2\cdot 6 - 4 = 8\).
Wyznaczmy teraz różnicę tego ciągu, odejmując dwa kolejne wyrazy:
\(r = c - b = 8 - 6 = 2\).
Znając różnicę ciągu, możemy policzyć jego pierwszy wyraz:
\(a = b - r = 4 - 2 = 2\).
I na końcu wyznaczyć wzór ogólny ciągu:
\(a_n = a_1 + (n-1)r = 2 + (n-1)\cdot2 = 2 + 2n - 2 = 2n\).
Zadania:
1. W trójkącie prostokątnym długości boków tworzą ciąg arytmetyczny. Jakie są długości dwóch pozostałych boków tego trójkąta, jeśli krótsza z przyprostokątnych ma długość \(10\)?
2. O liczbach \(-7\), \(x\), \(y\), \(z\), \(13\) wiadomo, że tworzą ciąg arytmetyczny. Znaleźć te liczby i napisać wzór ogólny ciągu.
Odpowiedzi:
1. \(13 \frac 1 3\), \(16 \frac 2 3\).
2. \(-2\), \(5\), \(8\), \(a_n = -12 + 5n\).