Na stronie używamy cookies. Korzystanie z witryny oznacza zgodę na ich wykorzystywanie. Szczegóły znajdziesz w Regulaminie.
ZAMKNIJ X
Autor:
Drukuj
Drukuj
Rozmiar
AAA

Ciąg arytmetyczny – wyrazy sąsiednie

W ciągu arytmetycznym każdy wyraz począwszy od drugiego jest średnią arytmetyczną wyrazów z nim sąsiadujących.

 

a_n = \frac{a_{n+1}+a_{n-1}}{2}

 

Wyprowadzenie:

Wiemy, że różnica kolejnych dwóch wyrazów w ciągu arytmetycznym równa jest r.

a_{n+1} - a_n = r

a_n - a_{n-1} = r

Zatem a_{n+1}-a_n = a_n - a_{n-1}, a stąd po przekształceniu 2a_n = a_{n+1}+a_{n-1}.

Ostatecznie więc mamy, że a_n = \frac{a_{n+1}+a_{n-1}}{2} - co było do pokazania.

 

Znajomość tych faktów bywa przydatna przy rozwiązywaniu różnych zadań, w których mamy do czynienia z ciągiem arytmetycznym.

 

Przykład:

Długości boków trójkąta prostokątnego tworzą ciąg arytmetyczny. Jakie są długości boków tego trójkąta, jeśli wiemy, że dłuższa z przyprostokątnych ma długość 10?

Skorzystamy z dwóch zależności łączących długości trzech boków, będące jednocześnie wyrazami ciągu arytmetycznego - pierwszą z nich jest twierdzenie Pitagorasa (możemy go użyć, bo trójkąt jest prostokątny), a drugą własność ciągu arytmetycznego opisywana powyżej. 

Oznaczmy przyprostokątną, której długości nie znamy jako x, natomiast przeciwprostokątną jako y.

Wówczas

x<10<y, zatem - ponieważ (x,10,y) to ciąg arytmetyczny - mamy 10 = \frac {x+y}{2}, więc y = 20-x.

Jednocześnie (z twierdzenia Pitagorasa) x^2 + 10^2 = y^2. Po podstawieniu y = 20-x otrzymujemy

x^2 + 100 = (20-x)^2

x^2 + 100 = 400- 40x + x^2

40x = 300

Zatem

x = \frac {300}{40} = 7,5

A korzystając z powyższych równań wyliczamy także, że

y = 12,5

Zatem boki trójkąta

Zobacz również

Losowe zadania

  • Oblicz stężenie fruktopiranozy znając ilość cząsteczek w roztworze

    W roztworze wodnym fruktozy, na 1 mol cząsteczek cukru przypada 9,03×1024 cząsteczek wody. Oblicz stężenie procentowe tego roztworu w % wagowo-wagowych podając wynik z dokładnością do liczby całkowitej. Przyjmij w obliczeniach następujące wartości mas atomowych: MO = 16u, MH = 1u, MC = 12u. Poniżej przedstawiono wzór struk...

    0 Odpowiedz Więcej
  • Asymilacja azotu atmosferycznego

    Powietrze jest największym rezerwuarem azotu w przyrodzie. Jednak azot w formie pierwiastka jest niedostępny dla większości organizmów w tym dla roślin. Podaj jaka grupa organizmów ma zdolność asymilacji azotu z atmosfery i dostarcza go roślinom.

    0 Odpowiedz Więcej
  • DNA a RNA

    Uzupełnij tabelką dotyczącą różnic DNA i RNA Cecha różnicująca  DNA     RNA     Kształt cząsteczki     Liczba nici     Cukier     Zasada azotowa     Występowanie w komórce    

    0 Odpowiedz Więcej
  • W oparciu o układ okresowy, oceń prawdziwość stwierdzeń

    Przestudiuj położenie wapnia i strontu w układzie okresowym pierwiastków i zastanów się nad jego wpływem na właściwości pierwiastków, a następnie oceń prawdziwość stwierdzeń: 1. Wapń jest silniejszym reduktorem od strontu 2. Reaktywność wapnia jest mniejsza od reaktywności strontu 3. Atom Ca cechuje się wi...

    0 Odpowiedz Więcej
  • Zapisz równanie reakcji otrzymywania propanianu etylu

    Propanian etylu powstaje w wyniku reakcji kwasu propanowego z odpowiednim alkoholem w obecności kwasu siarkowego(VI) jako katalizatora. Napisz równanie tej reakcji używając wzorów półstrukturalnych uwzględniając warunki reakcji.

    0 Odpowiedz Więcej
Komentarze (0)
Wynik działania 4 + 2 =
Ostatnio komentowane
Synod w Jamni zaczyna być podważany jako niezaistniały.
Marcin • 2020-08-01 22:23:11
Pomylono kąty
dsf • 2020-06-22 16:11:37
wow
Kasia • 2020-06-17 11:55:30
jezu ale trudne
iwo • 2020-06-16 18:19:06
dzieki
halinka • 2020-06-15 11:00:28