Na stronie używamy cookies. Korzystanie z witryny oznacza zgodę na ich wykorzystywanie. Szczegóły znajdziesz w Regulaminie.
ZAMKNIJ X

Ciąg arytmetyczny – wyrazy sąsiednie

Ostatnio komentowane
Tak
Mariusz • 2019-09-16 16:55:31
przydate
kmil • 2019-09-16 16:34:16
Mamy jedną, czy wiele pór roku? Zdanie "wylewy, siewy oraz zbiory odpowiadały współcz...
Gość • 2019-09-15 16:17:10
spoczko bardzo
Marco Polo • 2019-09-15 16:04:28
super
ilka • 2019-09-14 18:20:40
Autor:
Drukuj
Drukuj
Rozmiar
AAA

W ciągu arytmetycznym każdy wyraz począwszy od drugiego jest średnią arytmetyczną wyrazów z nim sąsiadujących.

 

a_n = \frac{a_{n+1}+a_{n-1}}{2}

 

Wyprowadzenie:

Wiemy, że różnica kolejnych dwóch wyrazów w ciągu arytmetycznym równa jest r.

a_{n+1} - a_n = r

a_n - a_{n-1} = r

Zatem a_{n+1}-a_n = a_n - a_{n-1}, a stąd po przekształceniu 2a_n = a_{n+1}+a_{n-1}.

Ostatecznie więc mamy, że a_n = \frac{a_{n+1}+a_{n-1}}{2} - co było do pokazania.

 

Znajomość tych faktów bywa przydatna przy rozwiązywaniu różnych zadań, w których mamy do czynienia z ciągiem arytmetycznym.

 

Przykład:

Długości boków trójkąta prostokątnego tworzą ciąg arytmetyczny. Jakie są długości boków tego trójkąta, jeśli wiemy, że dłuższa z przyprostokątnych ma długość 10?

Skorzystamy z dwóch zależności łączących długości trzech boków, będące jednocześnie wyrazami ciągu arytmetycznego - pierwszą z nich jest twierdzenie Pitagorasa (możemy go użyć, bo trójkąt jest prostokątny), a drugą własność ciągu arytmetycznego opisywana powyżej. 

Oznaczmy przyprostokątną, której długości nie znamy jako x, natomiast przeciwprostokątną jako y.

Wówczas

x<10<y, zatem - ponieważ (x,10,y) to ciąg arytmetyczny - mamy 10 = \frac {x+y}{2}, więc y = 20-x.

Jednocześnie (z twierdzenia Pitagorasa) x^2 + 10^2 = y^2. Po podstawieniu y = 20-x otrzymujemy

x^2 + 100 = (20-x)^2

x^2 + 100 = 400- 40x + x^2

40x = 300

Zatem

x = \frac {300}{40} = 7,5

A korzystając z powyższych równań wyliczamy także, że

y = 12,5

Zatem boki trójkąta

Polecamy również:

Komentarze (0)
3 + 3 =