Ciąg arytmetyczny – wyrazy sąsiednie

W ciągu arytmetycznym każdy wyraz począwszy od drugiego jest średnią arytmetyczną wyrazów z nim sąsiadujących.

 

a_n = \frac{a_{n+1}+a_{n-1}}{2}

 

Wyprowadzenie:

Wiemy, że różnica kolejnych dwóch wyrazów w ciągu arytmetycznym równa jest r.

a_{n+1} - a_n = r

a_n - a_{n-1} = r

Zatem a_{n+1}-a_n = a_n - a_{n-1}, a stąd po przekształceniu 2a_n = a_{n+1}+a_{n-1}.

Ostatecznie więc mamy, że a_n = \frac{a_{n+1}+a_{n-1}}{2} - co było do pokazania.

 

Znajomość tych faktów bywa przydatna przy rozwiązywaniu różnych zadań, w których mamy do czynienia z ciągiem arytmetycznym.

 

Przykład:

Długości boków trójkąta prostokątnego tworzą ciąg arytmetyczny. Jakie są długości boków tego trójkąta, jeśli wiemy, że dłuższa z przyprostokątnych ma długość 10?

Skorzystamy z dwóch zależności łączących długości trzech boków, będące jednocześnie wyrazami ciągu arytmetycznego - pierwszą z nich jest twierdzenie Pitagorasa (możemy go użyć, bo trójkąt jest prostokątny), a drugą własność ciągu arytmetycznego opisywana powyżej. 

Oznaczmy przyprostokątną, której długości nie znamy jako x, natomiast przeciwprostokątną jako y.

Wówczas

x<10<y, zatem - ponieważ (x,10,y) to ciąg arytmetyczny - mamy 10 = \frac {x+y}{2}, więc y = 20-x.

Jednocześnie (z twierdzenia Pitagorasa) x^2 + 10^2 = y^2. Po podstawieniu y = 20-x otrzymujemy

x^2 + 100 = (20-x)^2

x^2 + 100 = 400- 40x + x^2

40x = 300

Zatem

x = \frac {300}{40} = 7,5

A korzystając z powyższych równań wyliczamy także, że

y = 12,5

Zatem boki trójkąta mają długość 7,5, 1012,5

 

Przykład:

O liczbach a4bc10 wiadomo, że tworzą ciąg arytmetyczny. Znajdź te liczby i podaj wzór ogólny ciągu.

Zauważmy najpierw, że

b = \frac{4 +c}2 oraz c = \frac{b +10}2. Po przekształceniu pierwszej równości otrzymujemy, że 2b = 4 + c, stąd zaś c = 2b -4. W połączeniu z pierwszą równością otrzymujemy tożsamość

2b - 4 = \frac{b+10}2 

4b - 8 = b + 10

3b = 18

b = 6.

Mając tą informację korzystając z powyższych równości możemy policzyć, że c = 2\cdot 6 - 4 = 8.

Wyznaczmy teraz różnicę tego ciągu, odejmując dwa kolejne wyrazy:

r = c - b = 8 - 6 = 2.

Znając różnicę ciągu, możemy policzyć jego pierwszy wyraz:

a = b - r = 4 - 2 = 2.

I na końcu wyznaczyć wzór ogólny ciągu:

a_n = a_1 + (n-1)r = 2 + (n-1)\cdot2 = 2 + 2n - 2 = 2n.

 

Zadania:

1. W trójkącie prostokątnym długości boków tworzą ciąg arytmetyczny. Jakie są długości dwóch pozostałych boków tego trójkąta, jeśli krótsza z przyprostokątnych ma długość 10?

 

2. O liczbach -7, xyz13 wiadomo, że tworzą ciąg arytmetyczny. Znaleźć te liczby i napisać wzór ogólny ciągu. 

 

Odpowiedzi:

1. 13 \frac 1 316 \frac 2 3.

2. -258a_n = -12 + 5n.

Polecamy również:

Komentarze (0)
Wynik działania 3 + 5 =
Ostatnio komentowane
to przetlumacz te zdania na polski a nie takie pisanie bez sensu by cos dalej wytlumaczyc
• 2023-03-26 12:31:24
Ok
• 2023-03-25 17:47:03
Git
• 2023-03-23 20:24:42
dzięki
• 2023-03-23 16:42:19
Pomocne w prezentacji.
• 2023-03-23 14:33:46