W odniesieniu do ciągów istotnym zadaniem jest sumowanie ich wyrazów.
Z wzorem na sumę ciągu arytmetycznego powiązana jest pewna anegdota związana z Gaussem (najprawdopodobniej nie jest ona autentycznym wydarzeniem z życia C. F. Gaussa). Otóż, gdy młody Gauss nudził się na lekcji, nauczyciel kazał mu policzyć sumę wszystkich liczb od do
, w nadziei, że zajmie mu tym czas pozostały do końca zajęć i nie będzie musiał go ponownie upominać - niestety, chwilę potem odpowiedź była zapisana w zeszycie młodego matematyka, nauczyciel zaś znów nie mógł spokojnie pracować. Jaki był sposób Gaussa na to zadanie?
Bardzo prosty - wystarczyło wypisać wszystkie liczby dwukrotnie, najpierw w porządku rosnącym, później malejącym:
,
,
, ...,
,
,
,
,
, ...,
,
,
Następnie dodać każdą z dwóch cyrf, zauważając, że wszystkie sumy wynoszą :
...
A na końcu policzyć wszystkie te sumy tyle razy, ile wystąpiły (a zatem sto razy, bo tyle było sumowanych liczb w każdym z ciągów) oraz podzielić wynik przez - bo przecież drugi ciąg został dodany, a zadaniem było policzyć jedynie sumę liczb od
do
. Ostatecznie zatem wynik wynosił:
.
W ten sposób Gauss znalazł sumę ciągu arytmetycznego o pierwszym wyrazie równym i różnicy
.
Ogólna formuła jest następująca:
, gdzie
- suma
pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego,
- pierwszy wyraz ciągu,
- ostatni wyraz sumowanego ciągu,
- ilość wyrazów.
Przykład:
Do policzenia powyższej sumy wykorzystamy wzór na sumę ciągu arytmetycznego. Zauważmy najpierw, że sumujemy liczby od do
różniące się między sobą o
. Ile jest tych liczb?
Zatem dodajemy do dziesięć wyrazów ciągu arytmetycznego o różnicy
.
,
.
.
Przykład:
Znaleźć sumę wyrazów od -tego do
-tego dla ciągu arytmetycznego o wyrazie ogólnym
.
Policzmy najpierw, że .
Zauważmy także, że oraz
.
Teraz możemy znaleźć sumy pierwszych -ciu oraz pierwszych
-tu wyrazów tego ciągu.
Stąd zaś wynika, że suma wyrazów od -tego do
-tego w tym ciągu równa jest
.
Zadanie:
Policzyć: .
Odpowiedzi:
.