W odniesieniu do ciągów istotnym zadaniem jest sumowanie ich wyrazów.
Z wzorem na sumę ciągu arytmetycznego powiązana jest pewna anegdota związana z Gaussem (najprawdopodobniej nie jest ona autentycznym wydarzeniem z życia C. F. Gaussa). Otóż, gdy młody Gauss nudził się na lekcji, nauczyciel kazał mu policzyć sumę wszystkich liczb od \(1\) do \(100\), w nadziei, że zajmie mu tym czas pozostały do końca zajęć i nie będzie musiał go ponownie upominać - niestety, chwilę potem odpowiedź była zapisana w zeszycie młodego matematyka, nauczyciel zaś znów nie mógł spokojnie pracować. Jaki był sposób Gaussa na to zadanie?
Bardzo prosty - wystarczyło wypisać wszystkie liczby dwukrotnie, najpierw w porządku rosnącym, później malejącym:
\(1\), \(2\), \(3\), ..., \(98\), \(99\), \(100\)
\(100\), \(99\), \(98\), ..., \(3\), \(2\), \(1\)
Następnie dodać każdą z dwóch cyrf, zauważając, że wszystkie sumy wynoszą \(101\):
\(1+100 = 101\)
\(2+99 =101\)
...
\(99+2 =101\)
\(100+1=101\)
A na końcu policzyć wszystkie te sumy tyle razy, ile wystąpiły (a zatem sto razy, bo tyle było sumowanych liczb w każdym z ciągów) oraz podzielić wynik przez \(2\) - bo przecież drugi ciąg został dodany, a zadaniem było policzyć jedynie sumę liczb od \(1\) do \(100\). Ostatecznie zatem wynik wynosił:
\(\frac{1+100}{2}\cdot100 = \frac{101}{2}\cdot100 = \frac{101}{1}\cdot50 = 5050\).
W ten sposób Gauss znalazł sumę ciągu arytmetycznego o pierwszym wyrazie równym \(1\) i różnicy \(1\).
Ogólna formuła jest następująca:
\(S_n = \frac {a_1 + a_n}{2} \cdot n\), gdzie \(S_n\) - suma \(n\) pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego, \(a_1\) - pierwszy wyraz ciągu, \(a_n\) - ostatni wyraz sumowanego ciągu, \(n\) - ilość wyrazów.
Przykład:
\(6+9+12+...+36=?\)
Do policzenia powyższej sumy wykorzystamy wzór na sumę ciągu arytmetycznego. Zauważmy najpierw, że sumujemy liczby od \(6\) do \(36\) różniące się między sobą o \(6\). Ile jest tych liczb?
\(36 - 6 =30\)
\(30/3 = 10\)
Zatem dodajemy do \(6\) dziesięć wyrazów ciągu arytmetycznego o różnicy \(r = 3\).
\(a_1 = 6\), \(a_{11} = 36\).
\(S_n = \frac {6+36}2 \cdot11 \ = \frac {42}2 \cdot 11 = \ 21 \cdot 11 = 231\).
Przykład:
Znaleźć sumę wyrazów od \(10\)-tego do \(20\)-tego dla ciągu arytmetycznego o wyrazie ogólnym \(a_n = 3 + 2n\).
Policzmy najpierw, że \(a_1 = 3+2 = 5\).
Zauważmy także, że \(a_{10} = 3+20 = 32\) oraz \(a_{20} = 43\).
Teraz możemy znaleźć sumy pierwszych \(10\)-ciu oraz pierwszych \(20\)-tu wyrazów tego ciągu.
\(s_{10} = \frac {5+23}2 \cdot 10 = \frac {28}2 \cdot 10 =140\)
\(s_{20} = \frac {5+43}2 \cdot 20 = \frac {48}2 \cdot 20 =480\)
Stąd zaś wynika, że suma wyrazów od \(10\)-tego do \(20\)-tego w tym ciągu równa jest \(S_{20}-S_{10} = 480-140=340\).
Zadanie:
Policzyć: \(5+10+15+...+75\).
Odpowiedzi:
\(600\).