Suma ciągu arytmetycznego – wzór, przykłady, zadania

W odniesieniu do ciągów istotnym zadaniem jest sumowanie ich wyrazów.

 

Z wzorem na sumę ciągu arytmetycznego powiązana jest pewna anegdota związana z Gaussem (najprawdopodobniej nie jest ona autentycznym wydarzeniem z życia C. F. Gaussa). Otóż, gdy młody Gauss nudził się na lekcji, nauczyciel kazał mu policzyć sumę wszystkich liczb od 1 do 100, w nadziei, że zajmie mu tym czas pozostały do końca zajęć i nie będzie musiał go ponownie upominać - niestety, chwilę potem odpowiedź była zapisana w zeszycie młodego matematyka, nauczyciel zaś znów nie mógł spokojnie pracować. Jaki był sposób Gaussa na to zadanie?

Bardzo prosty - wystarczyło wypisać wszystkie liczby dwukrotnie, najpierw w porządku rosnącym, później malejącym:

1,  2,  3,  ...,  98,  99,  100

100,  99,  98,  ...,  3,  2,  1

Następnie dodać każdą z dwóch cyrf, zauważając, że wszystkie sumy wynoszą 101:

1+100 = 101

2+99 =101

...

99+2 =101

100+1=101 

A na końcu policzyć wszystkie te sumy tyle razy, ile wystąpiły (a zatem sto razy, bo tyle było sumowanych liczb w każdym z ciągów) oraz podzielić wynik przez 2 - bo przecież drugi ciąg został dodany, a zadaniem było policzyć jedynie sumę liczb od 1 do 100. Ostatecznie zatem wynik wynosił:

\frac{1+100}{2}\cdot100 = \frac{101}{2}\cdot100 = 
\frac{101}{1}\cdot50 = 5050.

W ten sposób Gauss znalazł sumę ciągu arytmetycznego o  pierwszym wyrazie równym 1 i różnicy 1.

 

Ogólna formuła jest następująca:

S_n = \frac {a_1 + a_n}{2} \cdot n, gdzie S_n - suma n pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego, a_1 - pierwszy wyraz ciągu, a_n - ostatni wyraz sumowanego ciągu, n - ilość wyrazów.

 

Przykład:

6+9+12+...+36=?

Do policzenia powyższej sumy wykorzystamy wzór na sumę ciągu arytmetycznego. Zauważmy najpierw, że sumujemy liczby od 6 do 36 różniące się między sobą o 6. Ile jest tych liczb?

36 - 6 =30

30/3 = 10

Zatem dodajemy do 6 dziesięć wyrazów ciągu arytmetycznego o różnicy r = 3.

a_1 = 6, a_{11} = 36.

S_n = \frac {6+36}2 \cdot11 \ = \frac {42}2 \cdot 11 = \ 21 \cdot 11 = 231.

  

Przykład:

Znaleźć sumę wyrazów od 10-tego do 20-tego dla ciągu arytmetycznego o wyrazie ogólnym a_n = 3 + 2n.

 

Policzmy najpierw, że a_1 = 3+2 = 5.

Zauważmy także, że a_{10} = 3+20 = 32 oraz a_{20} = 43.

Teraz możemy znaleźć sumy pierwszych 10-ciu oraz pierwszych 20-tu wyrazów tego ciągu.

s_{10} = \frac {5+23}2 \cdot 10 = \frac {28}2 \cdot 10 =140

s_{20} = \frac {5+43}2 \cdot 20 = \frac {48}2 \cdot 20 =480

Stąd zaś wynika, że suma  wyrazów od 10-tego do 20-tego w tym ciągu równa jest S_{20}-S_{10} = 480-140=340.

 

Zadanie:

Policzyć: 5+10+15+...+75.

  

Odpowiedzi:

600.

Polecamy również:

Komentarze (2)
Wynik działania 1 + 2 =
Nauczyciel
2020-09-18 05:08:34
Dodawałliczby a nie cyfry
Aniela
2015-11-24 18:30:40
dalej nie rozumiem tych ciąg
Ostatnio komentowane
zajefajne
• 2024-06-12 14:00:02
q
• 2024-06-10 20:15:55
ok
• 2024-06-05 13:52:17
nadal nie umiem tego napisać
• 2024-06-04 10:48:42
Mógłby być jeszcze do tego cały utwór napisany.
• 2024-06-03 19:41:43