Twierdzenie: Jeśli dane są trzy ciągi ,
i
takie, że
dla każdego
oraz wiadomo, że
to
.
Idea tego twierdzenia jest następująca - jeśli potrafimy wskazać dla danego ciągu dwa inne ciągi, które go ograniczają (z góry i z dołu), a których granice są nam znane i sobie równe, to wówczas także ten ciąg ma taką samą granicę. Twierdzenie to bywa także nazywane twierdzeniem o dwóch policjantach i złodzieju (kiedy dwóch policjantów prowadzących złodzieja wchodzi do celi, wówczas i złodziej znajduje się w celi), twierdzeniem o kanapce, itd.
Przykład:
Obliczyć granicę ciągu .
Zauważmy, że oraz
, przy czym granice
i
obie są równe
.
Zatem i ciąg ma ganicę właściwą równą
.
Zadanie:
Obliczyć następujące granice:
a) ,
b) .
Odpowiedzi:
a) ,
b) .