Twierdzenie o trzech ciągach – przykłady, zadania

Twierdzenie: Jeśli dane są trzy ciągi a_nb_nc_n takie, że a_n \le c_n \le b_n dla każdego n oraz wiadomo, że  \lim_{n \to \infty} a_n= \lim_{n \to \infty} b_n = g to  \lim_{n \to \infty} c_n=g.

 

Idea tego twierdzenia jest następująca - jeśli potrafimy wskazać dla danego ciągu dwa inne ciągi, które go ograniczają (z góry i z dołu), a których granice są nam znane i sobie równe, to wówczas także ten ciąg ma taką samą granicę. Twierdzenie to bywa także nazywane twierdzeniem o dwóch policjantach i złodzieju (kiedy dwóch policjantów prowadzących złodzieja wchodzi do celi, wówczas i złodziej znajduje się w celi), twierdzeniem o kanapce, itd.

 

Przykład:

Obliczyć granicę ciągu a_n =  \sqrt[n]{5^n + 7^n} .

Zauważmy, że  \sqrt[n]{7^n}  \le \sqrt[n]{5^n + 7^n} oraz  \sqrt[n]{5^n+7^n}  \le \sqrt[n]{7^n + 7^n} =\sqrt[n]{2}\cdot\sqrt[n]{7^n} , przy czym granice \sqrt[n]{7^n}\sqrt[n]{2}\cdot\sqrt[n]{7^n}obie są równe 7.

Zatem i ciąg a_n ma ganicę właściwą równą 7.

 

Zadanie:

Obliczyć następujące granice:

a)  \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{2^n+3^n+4^n},

b)  \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{5+\sin n}.

 

Odpowiedzi:

a) 4,

b) 1.

Polecamy również:

Komentarze (0)
Wynik działania 5 + 1 =
Ostatnio komentowane
"Mianem libertarianizmu zwykło się nazywać najbardziej radykalny nurt liberalizmu." No...
• 2024-03-01 10:11:23
kys(keepurselfsafe)
• 2024-02-28 14:36:21
Super i MEGA pomocne!
• 2024-02-28 10:18:34
joł joł jowisz najwiekszy olbrzym gazowy 5 od słonca na pewno nie przeoczysz choć mooj...
• 2024-02-27 14:59:44
Ok
• 2024-02-27 09:29:45