Twierdzenie: Jeśli dane są trzy ciągi \(a_n\), \(b_n\) i \(c_n\) takie, że \(a_n \le c_n \le b_n\) dla każdego \(n\) oraz wiadomo, że \( \lim_{n \to \infty} a_n= \lim_{n \to \infty} b_n = g\) to \( \lim_{n \to \infty} c_n=g\).
Idea tego twierdzenia jest następująca - jeśli potrafimy wskazać dla danego ciągu dwa inne ciągi, które go ograniczają (z góry i z dołu), a których granice są nam znane i sobie równe, to wówczas także ten ciąg ma taką samą granicę. Twierdzenie to bywa także nazywane twierdzeniem o dwóch policjantach i złodzieju (kiedy dwóch policjantów prowadzących złodzieja wchodzi do celi, wówczas i złodziej znajduje się w celi), twierdzeniem o kanapce, itd.
Przykład:
Obliczyć granicę ciągu \(a_n = \sqrt[n]{5^n + 7^n} \).
Zauważmy, że \( \sqrt[n]{7^n} \le \sqrt[n]{5^n + 7^n} \) oraz \( \sqrt[n]{5^n+7^n} \le \sqrt[n]{7^n + 7^n} =\sqrt[n]{2}\cdot\sqrt[n]{7^n} \), przy czym granice \(\sqrt[n]{7^n}\) i \(\sqrt[n]{2}\cdot\sqrt[n]{7^n}\)obie są równe \(7\).
Zatem i ciąg \(a_n\) ma ganicę właściwą równą \(7\).
Zadanie:
Obliczyć następujące granice:
a) \( \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{2^n+3^n+4^n}\),
b) \( \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{5+\sin n}\).
Odpowiedzi:
a) \(4\),
b) \(1\).