Wyznaczanie punktów wspólnych okręgów

Odległość między środkami dwóch okręgów wynosi 5. Promień jednego okręgu jest równy 2\sqrt[]{3}. Wyznacz liczbę punktów wspólnych tych okręgów w zależności od promienia drugiego okręgu r.

Liceum Matematyka

Odpowiedź eSzkola.pl

Aleksandra Ekspert eSzkola.pl
07.05.2020 09:20

Rozpatrujemy pięć przypadków wzajmnego położenia okręgów.

1o Okręgi są styczne zewnętrznie - mają wtedy dokładnie jeden punkt wspólny. Rysunek poniżej obrazuje tę sytuację.


Okręgi styczne zewnętrznie

Jak widzimy, suma promieni jednego i drugiego okręgu w tym przypadku musi być równa 5. Promień okręu o środku S jest równy 2\sqrt[]{3} . Stąd

r\ =\ 5-2\sqrt[]{3}

2o Okręgi są styczne wewnętrznie - mają dokładnie jeden punkt wspólny.

Okręgi styczne wewnętrznie

W tym przypadku promień okręgu o środku w punkcie O jest równy sumie odległości |SO| oraz długości promienia okręgu o środku w punkcie S. Zatem

r\ =\ 5+2\sqrt[]{3}

3o Okręgi przecinają się - mają dokładnie dwa punkty wspólne.

Okręgi przecinające się

W tym przypadku promień okręgu musi być większy niż w przypadku 1o i jednocześnie musi być mniejszy niż w przypadku 2o. Czyli

r \in \left( 5-2\sqrt[]{3}\ ,\ 5+2\sqrt[]{3} \right)

4o Okręgi rozłączne zewnętrznie - nie mają punktów wspólnych.

Okręgi rozłączne zewnętrznie

Tym razem, długość promienia r nie może przekroczyć długości promienia z pierwszego przypadku. Suma długości promieni dwóch okręgów musi być mniejsza niż 5.

2\sqrt[]{3}+r<5

Pamiętając o tym, że długość promienia jest liczbą dodatnią, zapisujemy odpowidni przedział.

r\in \left( 0\ ,\ 5-2\sqrt[]{3} \right)

5o Okręgi rozłączne wewnętrznie - nie mają punktów wspólnych.

Okręgi rozłączne wewnętrznie

W ostatniej możliwości promień r przekracza sumę odległości środków i promienia okręgu o środku w punkcie S.

r\ >\ 5+2\sqrt[]{3}

r\in \left(5+2\sqrt[]{3}\ ,\ \infty \right)


Odp. Okręgi nie mają punktów wspólnych, gdy r\in (0, 5-2\sqrt[]{3}) \cup (5+2\sqrt[]{3}, \infty). Okręgi mają dokładnie jeden punkt wspólny, gdy r\in \{ 5-2\sqrt[]{3}\ ,\ 5+2\sqrt[]{3} \}. Okręgi mają dwa punkty wspólne, gdy r \in \left( 5-2\sqrt[]{3}\ ,\ 5+2\sqrt[]{3} \right).



Dzięki! 0
Znasz odpowiedź na to pytanie?
Wynik działania 4 + 4 =
Wszystkie odpowiedzi (0)

Rozwiąż również: