Wyznaczanie punktów wspólnych okręgów

Odległość między środkami dwóch okręgów wynosi $5$ . Promień jednego okręgu jest równy $2\sqrt[]{3}$ . Wyznacz liczbę punktów wspólnych tych okręgów w zależności od promienia drugiego okręgu $r$ .

Liceum Matematyka

Odpowiedź eSzkola.pl

Aleksandra Ekspert eSzkola.pl

07.05.2020 09:20

Rozpatrujemy pięć przypadków wzajmnego położenia okręgów.

1^o Okręgi są styczne zewnętrznie - mają wtedy dokładnie jeden punkt wspólny. Rysunek poniżej obrazuje tę sytuację.

Jak widzimy, suma promieni jednego i drugiego okręgu w tym przypadku musi być równa $5$ . Promień okręu o środku S jest równy $2\sqrt[]{3}$ . Stąd

$r\ =\ 5-2\sqrt[]{3}$

2^o Okręgi są styczne wewnętrznie - mają dokładnie jeden punkt wspólny.

W tym przypadku promień okręgu o środku w punkcie O jest równy sumie odległości $|SO|$ oraz długości promienia okręgu o środku w punkcie S. Zatem

$r\ =\ 5+2\sqrt[]{3}$

3^o Okręgi przecinają się - mają dokładnie dwa punkty wspólne.

W tym przypadku promień okręgu musi być większy niż w przypadku 1^o i jednocześnie musi być mniejszy niż w przypadku 2^o. Czyli

$r \in \left( 5-2\sqrt[]{3}\ ,\ 5+2\sqrt[]{3} \right)$

4^o Okręgi rozłączne zewnętrznie - nie mają punktów wspólnych.

Tym razem, długość promienia $r$ nie może przekroczyć długości promienia z pierwszego przypadku. Suma długości promieni dwóch okręgów musi być mniejsza niż 5.

$2\sqrt[]{3}+r<5$

Pamiętając o tym, że długość promienia jest liczbą dodatnią, zapisujemy odpowidni przedział.

$r\in \left( 0\ ,\ 5-2\sqrt[]{3} \right)$

5^o Okręgi rozłączne wewnętrznie - nie mają punktów wspólnych.

W ostatniej możliwości promień $r$ przekracza sumę odległości środków i promienia okręgu o środku w punkcie S.

$r\ >\ 5+2\sqrt[]{3}$

$r\in \left(5+2\sqrt[]{3}\ ,\ \infty \right)$

Odp. Okręgi nie mają punktów wspólnych, gdy $r\in (0, 5-2\sqrt[]{3}) \cup (5+2\sqrt[]{3}, \infty)$ . Okręgi mają dokładnie jeden punkt wspólny, gdy $r\in \{ 5-2\sqrt[]{3}\ ,\ 5+2\sqrt[]{3} \}$ . Okręgi mają dwa punkty wspólne, gdy $r \in \left( 5-2\sqrt[]{3}\ ,\ 5+2\sqrt[]{3} \right)$ .

Dzięki! 0

Znasz odpowiedź na to pytanie?

Wszystkie odpowiedzi (0)

Wyznaczanie punktów wspólnych okręgów

Odpowiedź eSzkola.pl

Rozwiąż również: