Określanie wzajemnego położenia okręgów

Narysuj w układzie współrzędnych okrąg o środku w punkcie S_1  i promieniu r_1 oraz okrąg o środku w punkcie S_2 i promieniu r_2 . Ile punktów wspólnych mają te okręgi? Jaka jest odległość między ich środkami?


a) S_1=(-2,2)r_1=3S_2=(2,2)r_2=1;

b) S_1=(-3\ ,\ - 4\frac{1}{2}),\hspace{8pt} r_1=\frac{1}{2},\hspace{8pt}  S_2=(-3\ ,\  -3),\hspace{8pt} r_2=2;

c) S_1=(\sqrt[]{2}\ ,\ 2),\hspace{8pt} r_1=1.5,\hspace{8pt}  S_2=(-1\ ,\  0.5),\hspace{8pt} r_2=2;

d) S_1=(2, -1),\hspace{8pt} r_1=3,\hspace{8pt}  S_2=(-1, 2),\hspace{8pt} r_2=1;

e) S_1=(-2, 3),\hspace{8pt} r_1=2.5,\hspace{8pt}  S_2=(-1, 2),\hspace{8pt} r_2=1.


Liceum Matematyka

Odpowiedź eSzkola.pl

Aleksandra Ekspert eSzkola.pl
06.05.2020 08:55

a) Zaznaczamy środki okręgów w układzie współrzędnych i odmierzamy odpowiednie promienie.

Okręgi styczne zewnętrznie

Zauważmy, że okręgi są styczne zewnętrznie. Mają zatem dokładnie jeden punkt wspólny (1,2). Środki tych okręgów są zatem odległe o sumę promieni, t.j. 

|S_1S_2|\ =\ r_1+r_2\ =\ 3+1\ =\ 4.


b) Rysujemy okręgi, najpierw zaznaczając środki a następnie kreśląc promień. Rysunek poniżej przedstawia otrzymaną sytuację.

Okręgi styczne wewnętrznie

Tym razem, okręgi są styczne wewnętrznie. Mają dokładnie jeden punkt wspólny, jest nim punkt (3, -5).

Odległość środków jest równa

|S_1S_2|\ =\ |r_1\ -\ r_2|\ =\ |\frac{1}{2}\ - 2|\ =\ |-1\frac{1}{2}|\ =\ 1\frac{1}{2}


c) Po narysowaniu widzimy, że okręgi się przecinają. Mają dokładnie dwa punkty wspólne.

Okręgi przecinające się

Odległość między ich środkami obliczamy z twierdzenia Pitagorasa wykorzystanego do trójkąta zaznaczonego na rysunku.

|S_1S_2|^2\ =\ |S_2C|^2\ +\ |S_1C|^2

Na początku, wyznaczamy długości |S_2C|\ ,\ |S_1C|.

|S_2C|\ =\ 1+ \sqrt[]{2}

|S_1C|\ =\  2\ -\ 0.5\ =\ 1.5

Wstawiamy wyliczone wartości do równości z twierdzenia.

|S_1S_2|^2\ =\ (1+\sqrt[]{2})^2\ +\ (1.5)^2

|S_1S_2|^2\ =\ 1+2\sqrt[]{2} + 2 + 2.25\ =\ 5.25 + 2\sqrt[]{2}

Pierwiastkujemy stronami, uwzględniając fakt, że odległość nie może być liczbą ujemną. Dostajemy wynik

|S_1S_2|\ =\ \sqrt[]{5.25+2\sqrt[]{2}}


d) Rysujemy okręgi w układzie współrzędnych i otrzymujemy okręgi rozłączne zewnętrznie

Okręgi rozłączne zewnętrznie

Okręgi nie mają punktów wspólnych.

Odległość między ich środkami obliczamy z tw. Pitagorasa dla trójkąta zaznaczonego na rysunku S_1CS_2.

Obliczamy długości boków trójkąta.

|S_2C|\ =\ 2+1\ =\ 3

|S_1C|\ =\ 1+2\ =\ 3

Odcinek S_1S_2 ma zatem długość równą długości przekątnej kwadratu o boku 3, czyli

|S_1S_2|\ =\ 3\sqrt[]{2}


e) Poniższy rysunek przedstawia okręgi o podanych środkach i promieniach. Są to okręgi rozłączne wewnętrznie i nie mają punktów wspólnych.

Okręgi rozłączne wewnętrznie

Odległość między ich środkami jest taka sama jak długość przekątnej kwadratu o boku długości 1, czyli równa \sqrt[]{2}.



Dzięki! 0
Znasz odpowiedź na to pytanie?
Wynik działania 3 + 1 =
Wszystkie odpowiedzi (0)