Określanie wzajemnego położenia okręgów

Narysuj w układzie współrzędnych okrąg o środku w punkcie $S_1$ i promieniu $r_1$ oraz okrąg o środku w punkcie $S_2$ i promieniu $r_2$ . Ile punktów wspólnych mają te okręgi? Jaka jest odległość między ich środkami?

a) $S_1=(-2,2)$ , $r_1=3$ , $S_2=(2,2)$ , $r_2=1$ ;

b) $S_1=(-3\ ,\ - 4\frac{1}{2}),\hspace{8pt} r_1=\frac{1}{2},\hspace{8pt} S_2=(-3\ ,\ -3),\hspace{8pt} r_2=2$ ;

c) $S_1=(\sqrt[]{2}\ ,\ 2),\hspace{8pt} r_1=1.5,\hspace{8pt} S_2=(-1\ ,\ 0.5),\hspace{8pt} r_2=2$ ;

d) $S_1=(2, -1),\hspace{8pt} r_1=3,\hspace{8pt} S_2=(-1, 2),\hspace{8pt} r_2=1$ ;

e) $S_1=(-2, 3),\hspace{8pt} r_1=2.5,\hspace{8pt} S_2=(-1, 2),\hspace{8pt} r_2=1$ .

Liceum Matematyka

Odpowiedź eSzkola.pl

Aleksandra Ekspert eSzkola.pl

06.05.2020 08:55

a) Zaznaczamy środki okręgów w układzie współrzędnych i odmierzamy odpowiednie promienie.

Zauważmy, że okręgi są styczne zewnętrznie. Mają zatem dokładnie jeden punkt wspólny $(1,2)$ . Środki tych okręgów są zatem odległe o sumę promieni, t.j.

$|S_1S_2|\ =\ r_1+r_2\ =\ 3+1\ =\ 4$ .

b) Rysujemy okręgi, najpierw zaznaczając środki a następnie kreśląc promień. Rysunek poniżej przedstawia otrzymaną sytuację.

Tym razem, okręgi są styczne wewnętrznie. Mają dokładnie jeden punkt wspólny, jest nim punkt (3, -5).

Odległość środków jest równa

$|S_1S_2|\ =\ |r_1\ -\ r_2|\ =\ |\frac{1}{2}\ - 2|\ =\ |-1\frac{1}{2}|\ =\ 1\frac{1}{2}$

c) Po narysowaniu widzimy, że okręgi się przecinają. Mają dokładnie dwa punkty wspólne.

Odległość między ich środkami obliczamy z twierdzenia Pitagorasa wykorzystanego do trójkąta zaznaczonego na rysunku.

$|S_1S_2|^2\ =\ |S_2C|^2\ +\ |S_1C|^2$

Na początku, wyznaczamy długości $|S_2C|\ ,\ |S_1C|$ .

$|S_2C|\ =\ 1+ \sqrt[]{2}$

$|S_1C|\ =\ 2\ -\ 0.5\ =\ 1.5$

Wstawiamy wyliczone wartości do równości z twierdzenia.

$|S_1S_2|^2\ =\ (1+\sqrt[]{2})^2\ +\ (1.5)^2$

$|S_1S_2|^2\ =\ 1+2\sqrt[]{2} + 2 + 2.25\ =\ 5.25 + 2\sqrt[]{2}$

Pierwiastkujemy stronami, uwzględniając fakt, że odległość nie może być liczbą ujemną. Dostajemy wynik

$|S_1S_2|\ =\ \sqrt[]{5.25+2\sqrt[]{2}}$

d) Rysujemy okręgi w układzie współrzędnych i otrzymujemy okręgi rozłączne zewnętrznie.

Okręgi nie mają punktów wspólnych.

Odległość między ich środkami obliczamy z tw. Pitagorasa dla trójkąta zaznaczonego na rysunku $S_1CS_2$ .

Obliczamy długości boków trójkąta.

$|S_2C|\ =\ 2+1\ =\ 3$

$|S_1C|\ =\ 1+2\ =\ 3$

Odcinek $S_1S_2$ ma zatem długość równą długości przekątnej kwadratu o boku $3$ , czyli

$|S_1S_2|\ =\ 3\sqrt[]{2}$

e) Poniższy rysunek przedstawia okręgi o podanych środkach i promieniach. Są to okręgi rozłączne wewnętrznie i nie mają punktów wspólnych.

Odległość między ich środkami jest taka sama jak długość przekątnej kwadratu o boku długości $1$ , czyli równa $\sqrt[]{2}$ .

Dzięki! 0

Znasz odpowiedź na to pytanie?

Wszystkie odpowiedzi (0)

Określanie wzajemnego położenia okręgów

Odpowiedź eSzkola.pl

Rozwiąż również: