Ciągiem geometrycznym nazywamy ciąg, którego każdy następny wyraz powstaje poprzez pomnożenie poprzedniego wyrazu przez stałą wartość zwaną ilorazem ciągu.
\(a_{n+1} = a_n \cdot q\)
Wzór ogólny ciągu geometrycznego ma postać \(a_{n} = a_1 \cdot q^{n-1}\).
Przykład:
\((2,4,8,16,32,...)\) - ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie \(2\) ilorazie równym \(2\).
Zauważmy, że w ciągu geometrycznym iloraz kolejnych wyrazów jest stały, tj. \(\frac{a_{n+1}}{a_n}=q\). Ta obserwacja podaje wygodną metodę sprawdzania czy dany ciąg jest ciągiem geometrycznym.
Przykład:
Wiadomo, że \(a_2 = \frac 1 6\) oraz \(a_3 = \frac 1 {18}\). Znaleźć pierwszy wyraz oraz iloraz ciągu geometrycznego \((a_n)\).
Zaczniemy od wyznaczenia ilorazu tego ciągu: \(q = \frac{a_3}{a_2} = \frac1{18} \cdot \frac{6}{1} = \frac{1}{3}\).
Wiemy także, że \(a_2 = a_1 \cdot q\), stąd zaś wynika, że \(a_1 = \frac {a_2}q = \frac 1 6 \cdot \frac 3 1 = \frac 1 2 \).
Możemy napisać wzór ogólny tego ciągu: \(a_n = \frac 1 2 \cdot (\frac 1 3 )^{n-1}\).
Monotoniczność ciągu geometrycznego
Ciąg geometryczny jest:
rosnący gdy \(a_1 > 0\) i \(q >1\) lub \(a_1 < 0\) i \(q \in (0,1)\),
stały gdy \(q = 1\),
malejący gdy \(a_1 > 0\) i \(q \in (0,1)\) lub \(a_1 <0\) i \(q >1\).
Zadania:
1. Czy ciąg zadany wzorem ogólnym \(a_n = n(n-1)(n+2)\) jest ciągiem geometrycznym?
2. Wiedząc, że \(a_n\) jest ciągiem geometrycznym, w którym \(a_2 = 2\frac 2 7\) oraz \(a_3 = 4\frac 4 7\) znaleźć wzór ogólny tego ciągu.
Odpowiedzi:
1. Nie jest to ciąg geometryczny.
2. \(a_n = 1\frac1 7 \cdot 2^{n-1}\).