Ciągiem geometrycznym nazywamy ciąg, którego każdy następny wyraz powstaje poprzez pomnożenie poprzedniego wyrazu przez stałą wartość zwaną ilorazem ciągu.
Wzór ogólny ciągu geometrycznego ma postać .
Przykład:
- ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie
ilorazie równym
.
Zauważmy, że w ciągu geometrycznym iloraz kolejnych wyrazów jest stały, tj. . Ta obserwacja podaje wygodną metodę sprawdzania czy dany ciąg jest ciągiem geometrycznym.
Przykład:
Wiadomo, że oraz
. Znaleźć pierwszy wyraz oraz iloraz ciągu geometrycznego
.
Zaczniemy od wyznaczenia ilorazu tego ciągu: .
Wiemy także, że , stąd zaś wynika, że
.
Możemy napisać wzór ogólny tego ciągu: .
Monotoniczność ciągu geometrycznego
Ciąg geometryczny jest:
rosnący gdy i
lub
i
,
stały gdy ,
malejący gdy i
lub
i
.
Zadania:
1. Czy ciąg zadany wzorem ogólnym jest ciągiem geometrycznym?
2. Wiedząc, że jest ciągiem geometrycznym, w którym
oraz
znaleźć wzór ogólny tego ciągu.
Odpowiedzi:
1. Nie jest to ciąg geometryczny.
2. .