Na stronie używamy cookies. Korzystanie z witryny oznacza zgodę na ich wykorzystywanie. Szczegóły znajdziesz w Regulaminie.
ZAMKNIJ X

Ciąg geometryczny – wzory, przykłady, zadania

Ostatnio komentowane
Bardzo fajne, proste wyprowadzenie wzoru.
Eto Demerzel • 2019-07-15 07:25:47
jest git
jakubas kok • 2019-07-08 10:19:33
przydałyby się jeszcze daty
j • 2019-06-27 15:49:28
wolę określenie niewierzący w boga i objawienia, lub racjonalnie myślący. jest taka p...
bergo • 2019-06-22 15:18:51
Nie no ja sie zgadzam z państwem :s
Jakiś żul • 2019-06-22 06:43:06
Autor:
Drukuj
Drukuj
Rozmiar
AAA

Ciągiem geometrycznym nazywamy ciąg, którego każdy następny wyraz powstaje poprzez pomnożenie poprzedniego wyrazu przez stałą wartość zwaną ilorazem ciągu.

 

a_{n+1} = a_n \cdot q

Wzór ogólny ciągu geometrycznego ma postać a_{n} = a_1 \cdot q^{n-1}.

 

Przykład:

(2,4,8,16,32,...) - ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie 2  ilorazie równym 2.

 

Zauważmy, że w ciągu geometrycznym iloraz kolejnych wyrazów jest stały, tj. \frac{a_{n+1}}{a_n}=q. Ta obserwacja podaje wygodną metodę sprawdzania czy dany ciąg jest ciągiem geometrycznym.

 

Przykład:

Wiadomo, że a_2 = \frac 1 6 oraz a_3 = \frac 1 {18}. Znaleźć pierwszy wyraz oraz iloraz ciągu geometrycznego (a_n).

Zaczniemy od wyznaczenia ilorazu tego ciągu: q = \frac{a_3}{a_2} = \frac1{18} \cdot \frac{6}{1}  = \frac{1}{3}.

Wiemy także, że a_2 = a_1 \cdot q, stąd zaś wynika, że a_1 = \frac {a_2}q = \frac 1 6 \cdot \frac 3 1  = \frac 1 2 .

 

Możemy napisać wzór ogólny tego ciągu: a_n = \frac 1 2 \cdot (\frac 1 3 )^{n-1}.

 

Monotoniczność ciągu geometrycznego

Ciąg geometryczny jest:

rosnący gdy a_1 > 0q >1 lub a_1 < 0q \in (0,1),

stały gdy q = 1,

malejący gdy a_1 > 0q \in (0,1) lub a_1 <0q >1.

 

Zadania:

1. Czy ciąg zadany wzorem ogólnym a_n = n(n-1)(n+2) jest ciągiem geometrycznym?

2. Wiedząc, że a_n jest ciągiem geometrycznym, w którym a_2 = 2\frac 2 7 oraz a_3 = 4\frac 4 7 znaleźć wzór ogólny tego ciągu.

 

Odpowiedzi:

1. Nie jest to ciąg geometryczny.

2. a_n = 1\frac1 7 \cdot 2^{n-1}.

Polecamy również:

Komentarze (0)
5 + 4 =
echo $this->Html->script('core.min'); echo $this->Html->script('blockadblock.js'); echo $this->Html->script('fancybox/jquery.fancybox-1.3.4.min'); echo $this->Html->css('/js/fancybox/jquery.fancybox-1.3.4.min'); echo $this->Html->script('jnice/jquery.jNice', array('async' => 'async')); echo $this->Html->css('/js/jnice/jNice.min');