Ciąg geometryczny – wzory, przykłady, zadania

Ciągiem geometrycznym nazywamy ciąg, którego każdy następny wyraz powstaje poprzez pomnożenie poprzedniego wyrazu przez stałą wartość zwaną ilorazem ciągu.

$a_{n+1} = a_n \cdot q$

Wzór ogólny ciągu geometrycznego ma postać $a_{n} = a_1 \cdot q^{n-1}$ .

Przykład:

$(2,4,8,16,32,...)$ - ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie $2$ ilorazie równym $2$ .

Zauważmy, że w ciągu geometrycznym iloraz kolejnych wyrazów jest stały, tj. $\frac{a_{n+1}}{a_n}=q$ . Ta obserwacja podaje wygodną metodę sprawdzania czy dany ciąg jest ciągiem geometrycznym.

Przykład:

Wiadomo, że $a_2 = \frac 1 6$ oraz $a_3 = \frac 1 {18}$ . Znaleźć pierwszy wyraz oraz iloraz ciągu geometrycznego $(a_n)$ .

Zaczniemy od wyznaczenia ilorazu tego ciągu: $q = \frac{a_3}{a_2} = \frac1{18} \cdot \frac{6}{1} = \frac{1}{3}$ .

Wiemy także, że $a_2 = a_1 \cdot q$ , stąd zaś wynika, że $a_1 = \frac {a_2}q = \frac 1 6 \cdot \frac 3 1 = \frac 1 2$ .

Możemy napisać wzór ogólny tego ciągu: $a_n = \frac 1 2 \cdot (\frac 1 3 )^{n-1}$ .

Monotoniczność ciągu geometrycznego

Ciąg geometryczny jest:

rosnący gdy $a_1 > 0$ i $q >1$ lub $a_1 < 0$ i $q \in (0,1)$ ,

stały gdy $q = 1$ ,

malejący gdy $a_1 > 0$ i $q \in (0,1)$ lub $a_1 <0$ i $q >1$ .

Zadania:

1. Czy ciąg zadany wzorem ogólnym $a_n = n(n-1)(n+2)$ jest ciągiem geometrycznym?

2. Wiedząc, że $a_n$ jest ciągiem geometrycznym, w którym $a_2 = 2\frac 2 7$ oraz $a_3 = 4\frac 4 7$ znaleźć wzór ogólny tego ciągu.

Odpowiedzi:

1. Nie jest to ciąg geometryczny.

2. $a_n = 1\frac1 7 \cdot 2^{n-1}$ .

Polecamy również:

Suma ciągu geometrycznego – wzór, dowód, przykłady, zadania

Sumę początkowych wyrazów ciągu geometrycznego wyznaczyć możemy ze wzoru... Więcej »
Ciąg geometryczny – wyrazy sąsiednie

Podobnie jak w przypadku ciągu arytmetycznego sąsiednie wyrazy ciągu geometrycznego również połączone są ze sobą pewną zależnością. Więcej »

Komentarze (0)

Ciąg geometryczny – wzory, przykłady, zadania

Przykład:

Przykład:

Zadania:

Odpowiedzi:

Polecamy również:

Zobacz również

Suma ciągu geometrycznego – wzór, dowód, przykłady, zadania

Ciąg geometryczny – wyrazy sąsiednie

Losowe zadania

Obliczenia z notacją wykładniczą

Ogniskowa soczewki

Zapisz obserwacje dla przedstawionego doświadczenia

Sposoby wytwarzania energii

Rozpoznawanie gleb występujących w Polsce