1. Strona główna
    2. /
  2. Matematyka
    3. /
  3. Ciąg geometryczny

Ciąg geometryczny – wzory, przykłady, zadania

Ciągiem geometrycznym nazywamy ciąg, którego każdy następny wyraz powstaje poprzez pomnożenie poprzedniego wyrazu przez stałą wartość zwaną ilorazem ciągu.

 

a_{n+1} = a_n \cdot q

Wzór ogólny ciągu geometrycznego ma postać a_{n} = a_1 \cdot q^{n-1}.

 

Przykład:

(2,4,8,16,32,...) - ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie 2  ilorazie równym 2.

 

Zauważmy, że w ciągu geometrycznym iloraz kolejnych wyrazów jest stały, tj. \frac{a_{n+1}}{a_n}=q. Ta obserwacja podaje wygodną metodę sprawdzania czy dany ciąg jest ciągiem geometrycznym.

 

Przykład:

Wiadomo, że a_2 = \frac 1 6 oraz a_3 = \frac 1 {18}. Znaleźć pierwszy wyraz oraz iloraz ciągu geometrycznego (a_n).

Zaczniemy od wyznaczenia ilorazu tego ciągu: q = \frac{a_3}{a_2} = \frac1{18} \cdot \frac{6}{1} = \frac{1}{3}.

Wiemy także, że a_2 = a_1 \cdot q, stąd zaś wynika, że a_1 = \frac {a_2}q = \frac 1 6 \cdot \frac 3 1 = \frac 1 2 .

 

Możemy napisać wzór ogólny tego ciągu: a_n = \frac 1 2 \cdot (\frac 1 3 )^{n-1}.

 

Monotoniczność ciągu geometrycznego

Ciąg geometryczny jest:

rosnący gdy a_1 > 0 i q >1 lub a_1 < 0 i q \in (0,1),

stały gdy q = 1,

malejący gdy a_1 > 0 i q \in (0,1) lub a_1 <0 i q >1.

 

Zadania:

1. Czy ciąg zadany wzorem ogólnym a_n = n(n-1)(n+2) jest ciągiem geometrycznym?

2. Wiedząc, że a_n jest ciągiem geometrycznym, w którym a_2 = 2\frac 2 7 oraz a_3 = 4\frac 4 7 znaleźć wzór ogólny tego ciągu.

 

Odpowiedzi:

1. Nie jest to ciąg geometryczny.

2. a_n = 1\frac1 7 \cdot 2^{n-1}.

Polecamy również:

Zobacz również

Losowe zadania

Komentarze (0)
Wynik działania 2 + 1 =
Ostatnio komentowane
Dowód nie wprost
bazinga
• 2024-09-12 14:55:28
Wojna chłopska w Niemczech (1524-1526)
Dodajmy, że było to również ostatnie powstanie wendyjskie (słowiańskie) na terenie N...
• 2024-09-04 21:32:33
Idiota – streszczenie
DZIĘKUJĘ
• 2024-07-31 13:21:34
Najazdy barbarzyńców na Rzym
I cóż miał rację Marek Aureliusz który chciał podbić Germanię uderzeniem przez Mor...
• 2024-07-06 19:45:33
Ampere
O tym, że zmienne w czasie pole elektryczne jest źródłem pola magnetycznego, napisał ...
• 2024-06-27 07:25:33