Monotoniczność ciągu – definicja, przykłady, zadania

Jedną z podstawowych własności ciągów jest monotoniczność.

 

Definicja:

Ciąg (a_{n}) nazywam rosnącym jeśli każdy jego następny wyraz jest większy od poprzedniego (formalnie \forall {n \in \mathbb N} (a_{n+1} > a_n)).

Ciąg (a_{n}) nazywam malejącym jeśli każdy jego następny wyraz jest mniejszy od poprzedniego (formalnie \forall {n \in \mathbb N} (a_{n+1} < a_n)).

Ciąg (a_{n}) nazywam nierosnącym jeśli każdy jego następny wyraz jest niewiększy od poprzedniego (formalnie \forall {n \in \mathbb N} (a_{n+1}  \ge  a_n)).

Ciąg (a_{n}) nazywam niemalejącym jeśli każdy jego następny wyraz jest niemniejszy od poprzedniego (formalnie \forall {n \in \mathbb N} (a_{n+1}  \le  a_n)). Ciąg (a_{n}) nazywam stałym jeśli każdy jego następny wyraz jest równy poprzedniemu (formalnie \forall {n \in \mathbb N} (a_{n+1}  =  a_n)).

Jeśli nie zachodzi żadna z powyższych sytuacji, ciąg jest niemonotoniczny.

 

Zauważmy, że każdy z formalnych warunków można zapisać jako różnicę wyrazu następnego i poprzedniego, np. dla ciągu rosnącego:a_{n+1} - a_n >0, itd. Ta obserwacja przydatna będzie przy badaniu monotoniczności ciągów. 

  

Przykład:

Zbadać monotoniczność ciągu o wyrazie ogólnym a_n = n^2 - n + 1.

W tym celu sprawdzamy jaka jest różnica dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu.a_{n+1} - a_n = ((n+1)^2 - (n+1) + 1) - (n^2 - n +1) =

n^2 + 2n + 1 -n - 1 +1 - n^2 + n-1 = 2n > 0 \forall n \in \mathbb N

Zatem ciąg jest rosnący.

 

Innym sposobem badania monotoniczności ciągów jest porównanie stosunku kolejnych dwóch wyrazów do jedynki. Jeśli stosunek wyrazu następnego do poprzedniego jest większy niż 1 ciąg jest rosnący, gdy mniejszy - malejący, itd.

 

Przykład:

Zbadać monotoniczność ciągu zadanego wyrazem a_n = \frac {-3} {n+1}.

Bierzemy stosunek dwóch kolejnych wyrazów:

\frac {a_{n+1}}{a_n} =  \frac {-3} {n+2} \cdot  \frac {n + 1} {-3} = \frac {n+1} {n+2} < 1 (\forall n \in \mathbb N)

Wnioskujemy stąd, że ciąg jest malejący.

 

Wskazówka:

Dobrym pomysłem przy badaniu monotoniczności ciągu, zwłaszcza, gdy nie wiadomo od czego zacząć, jest wypisanie kilku początkowych jego wyrazów - jest to za mało by orzekać o jego monotoniczności, może się natomiast okazać, że ciąg jest niemonotoniczny - wówczas nie ma potrzeby analizowanie różnicy bądź stosunku kolejnych wyrazów metodami analitycznymi.

 

Zadanie: 

Zbadać monotoniczność ciągu o wyrazie ogólnym c_n = \frac {2}{n+2}.

 

 

Odpowiedzi:

Ciąg malejący.

Polecamy również:

Komentarze (0)
Wynik działania 3 + 2 =
Ostatnio komentowane
Spoko, jednak że Bibia to sterta kłamstw. Tak na prawdę to Boga nie ma ale katolicy sob...
• 2022-10-04 13:09:03
XDzbshxbz
• 2022-10-04 11:44:06
1Tm 3:15 "Gdybym jednak się opóźniał, będziesz już wiedział, jak należy zachowywa...
• 2022-10-03 20:33:03
Super
• 2022-10-03 17:32:47
Przydały mi się te choroby
• 2022-10-02 10:10:41