Jedną z podstawowych własności ciągów jest monotoniczność.
Definicja:
Ciąg nazywam rosnącym jeśli każdy jego następny wyraz jest większy od poprzedniego (formalnie
).
Ciąg nazywam malejącym jeśli każdy jego następny wyraz jest mniejszy od poprzedniego (formalnie
).
Ciąg nazywam nierosnącym jeśli każdy jego następny wyraz jest niewiększy od poprzedniego (formalnie
).
Ciąg nazywam niemalejącym jeśli każdy jego następny wyraz jest niemniejszy od poprzedniego (formalnie
). Ciąg
nazywam stałym jeśli każdy jego następny wyraz jest równy poprzedniemu (formalnie
).
Jeśli nie zachodzi żadna z powyższych sytuacji, ciąg jest niemonotoniczny.
Zauważmy, że każdy z formalnych warunków można zapisać jako różnicę wyrazu następnego i poprzedniego, np. dla ciągu rosnącego:, itd. Ta obserwacja przydatna będzie przy badaniu monotoniczności ciągów.
Przykład:
Zbadać monotoniczność ciągu o wyrazie ogólnym .
W tym celu sprawdzamy jaka jest różnica dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu.
Zatem ciąg jest rosnący.
Innym sposobem badania monotoniczności ciągów jest porównanie stosunku kolejnych dwóch wyrazów do jedynki. Jeśli stosunek wyrazu następnego do poprzedniego jest większy niż ciąg jest rosnący, gdy mniejszy