Jedną z podstawowych własności ciągów jest monotoniczność.
Definicja:
Ciąg \((a_{n})\) nazywam rosnącym jeśli każdy jego następny wyraz jest większy od poprzedniego (formalnie \(\forall {n \in \mathbb N} (a_{n+1} > a_n)\)).
Ciąg \((a_{n})\) nazywam malejącym jeśli każdy jego następny wyraz jest mniejszy od poprzedniego (formalnie ).
Ciąg \((a_{n})\) nazywam nierosnącym jeśli każdy jego następny wyraz jest niewiększy od poprzedniego (formalnie \(\forall {n \in \mathbb N} (a_{n+1} \ge a_n)\)).
Ciąg \((a_{n})\) nazywam niemalejącym jeśli każdy jego następny wyraz jest niemniejszy od poprzedniego (formalnie \(\forall {n \in \mathbb N} (a_{n+1} \le a_n)\)). Ciąg \((a_{n})\) nazywam stałym jeśli każdy jego następny wyraz jest równy poprzedniemu (formalnie \(\forall {n \in \mathbb N} (a_{n+1} = a_n)\)).
Jeśli nie zachodzi żadna z powyższych sytuacji, ciąg jest niemonotoniczny.
Zauważmy, że każdy z formalnych warunków można zapisać jako różnicę wyrazu następnego i poprzedniego, np. dla ciągu rosnącego:\(a_{n+1} - a_n >0\), itd. Ta obserwacja przydatna będzie przy badaniu monotoniczności ciągów.
Przykład:
Zbadać monotoniczność ciągu o wyrazie ogólnym \(a_n = n^2 - n + 1\).
W tym celu sprawdzamy jaka jest różnica dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu.\(a_{n+1} - a_n = ((n+1)^2 - (n+1) + 1) - (n^2 - n +1) = \)
\(n^2 + 2n + 1 -n - 1 +1 - n^2 + n-1 = 2n > 0 \forall n \in \mathbb N\)
Zatem ciąg jest rosnący.
Innym sposobem badania monotoniczności ciągów jest porównanie stosunku kolejnych dwóch wyrazów do jedynki. Jeśli stosunek wyrazu następnego do poprzedniego jest większy niż \(1\) ciąg jest rosnący, gdy mniejszy - malejący, itd.
Przykład:
Zbadać monotoniczność ciągu zadanego wyrazem \(a_n = \frac {-3} {n+1}\).
Bierzemy stosunek dwóch kolejnych wyrazów:
\(\frac {a_{n+1}}{a_n} = \frac {-3} {n+2} \cdot \frac {n + 1} {-3} = \frac {n+1} {n+2} < 1 (\forall n \in \mathbb N)\)
Wnioskujemy stąd, że ciąg jest malejący.
Wskazówka:
Dobrym pomysłem przy badaniu monotoniczności ciągu, zwłaszcza, gdy nie wiadomo od czego zacząć, jest wypisanie kilku początkowych jego wyrazów - jest to za mało by orzekać o jego monotoniczności, może się natomiast okazać, że ciąg jest niemonotoniczny - wówczas nie ma potrzeby analizowanie różnicy bądź stosunku kolejnych wyrazów metodami analitycznymi.
Zadanie:
Zbadać monotoniczność ciągu o wyrazie ogólnym \(c_n = \frac {2}{n+2}\).
Odpowiedzi:
Ciąg malejący.