Ciągiem arytmetycznym nazywamy ciąg, którego wyrazy powstają poprzez dodawanie do pierwszego wyrazu stałej wartości zwanej różnicą ciągu.
Wzór ogólny ciągu arytmetycznego:
\(a_n = a_1 + (n-1)r\), gdzie \(a_1\) - pierwszy wyraz ciągu, \(r \) - różnica ciągu.
Przykład:
\(1,3,5,7,...\) - ciąg arytmetyczny o pierwszym wyrazie \(a_1 = 1\) i różnicy \(r=2\).
Wzór ogólny tego ciągu to \(a_n = a_1 + (n-1)r = 1 + (n-1) \cdot2 = 1 + 2n - 2 = 2n -1\).
Przykład:
\(4,7,10,13,...\) - ciąg arytmetyczny o pierwszym wyrazie \(a_1 = 4\) i różnicy \(r = 3\).
Wzór ogólny tego ciągu to \(a_n = a_1 + (n-1)r = 4 + (n-1) \cdot 3 = 4 + 3n - 3 = 3n + 1\).
Do wykazania, że ciąg jest ciągiem arytmetycznym wystarczy pokazanie, że różnica wyrazów następnego i poprzedniego jest wartością stałą.
Przykład:
Sprawdzić, że ciąg \(c_n\) jest ciągiem arytmetycznym.
\(c_n = 5n+1\)
\(c_{n+1} - c_n = (5(n+1)+1) - (5n+1) = 5n + 5 + 1 - 5n - 1 = 5\)
Zatem ciąg ten jest ciągiem arytmetycznym.
Monotoniczność ciągu arytmetycznego
Ciąg arytmetyczny jest:
rosnący wtedy i tylko wtedy, gdy \(r>0\),
stały wtedy i tylko wtedy, gdy \(r=0\),
malejący wtedy i tylko wtedy, gdy \(r<0\).
Zadania:
1. Czy ciąg \((10,5,0,-5,-10,...)\) jest ciągiem arytmetycznym?
2. Wypisać pierwsze wyrazy ciągu arytmetycznego o pierwszym wyrazie \(4\) i różnicy \(- \frac 2 3\).
3. Sprawdzić, czy ciąg \(a_n = \sqrt{3} n + 5\) jest ciągiem arytmetycznym?
Odpowiedzi:
1. Tak, jest to ciąg arytmetyczny o pierwszym wyrazie \(10\) i różnicy \(5\).
2. \((4, 3\frac1 3, 2\frac 2 3, 2, 1\frac 1 3,\frac 2 3, 0,...)\).
3. Jest to ciąg arytmetyczny.