Ciąg arytmetyczny – definicja, wzory, przykłady, zadania

Ciągiem arytmetycznym nazywamy ciąg, którego wyrazy powstają poprzez dodawanie do pierwszego wyrazu stałej wartości zwanej różnicą ciągu.

 

Wzór ogólny ciągu arytmetycznego:

a_n = a_1 + (n-1)r, gdzie a_1 - pierwszy wyraz ciągu, r - różnica ciągu.

 

Przykład:

1,3,5,7,... - ciąg arytmetyczny o pierwszym wyrazie a_1 = 1 i różnicy r=2.

Wzór ogólny tego ciągu to a_n = a_1 +  (n-1)r = 1 + (n-1) \cdot2 = 1 + 2n - 2 = 2n -1.

 

Przykład:

4,7,10,13,... - ciąg arytmetyczny o pierwszym wyrazie a_1 = 4 i różnicy r = 3.

Wzór ogólny tego ciągu to a_n = a_1 +  (n-1)r = 4 + (n-1) \cdot 3 = 4 + 3n - 3 = 3n + 1.

 

Do wykazania, że ciąg jest ciągiem arytmetycznym wystarczy pokazanie, że różnica wyrazów następnego i poprzedniego jest wartością stałą.

 

Przykład:

Sprawdzić, że ciąg c_n jest ciągiem arytmetycznym.

c_n = 5n+1

c_{n+1} - c_n = (5(n+1)+1) - (5n+1) = 5n + 5 + 1 - 5n - 1 = 5

Zatem ciąg ten jest ciągiem arytmetycznym.

 

Monotoniczność ciągu arytmetycznego

Ciąg arytmetyczny jest:

rosnący wtedy i tylko wtedy, gdy r>0,

stały wtedy i tylko wtedy, gdy r=0,

malejący wtedy i tylko wtedy, gdy r<0.

 

Zadania:

1. Czy ciąg (10,5,0,-5,-10,...) jest ciągiem arytmetycznym?

2. Wypisać pierwsze wyrazy ciągu arytmetycznego o pierwszym wyrazie 4 i różnicy - \frac 2 3.

3. Sprawdzić, czy ciąg a_n =  \sqrt{3} n + 5 jest ciągiem arytmetycznym?

 

Odpowiedzi:

1. Tak, jest to ciąg arytmetyczny o pierwszym wyrazie 10 i różnicy 5.

2. (4, 3\frac1 3, 2\frac 2 3, 2, 1\frac 1 3,\frac 2 3, 0,...).

3. Jest to ciąg arytmetyczny.

Polecamy również:

Komentarze (0)
Wynik działania 4 + 1 =
Ostatnio komentowane
tak
• 2023-02-05 12:47:21
Dziękuje
• 2023-02-05 10:06:49
Ok
• 2023-02-05 09:31:25
No dobra a jaki morał
• 2023-02-01 21:57:10
dzieki
• 2023-01-31 11:52:02