Strona główna

/

Matematyka

/

Ciąg arytmetyczny

Ciąg arytmetyczny – definicja, wzory, przykłady, zadania

Ciągiem arytmetycznym nazywamy ciąg, którego wyrazy powstają poprzez dodawanie do pierwszego wyrazu stałej wartości zwanej różnicą ciągu.

Wzór ogólny ciągu arytmetycznego:

$a_n = a_1 + (n-1)r$ , gdzie $a_1$ - pierwszy wyraz ciągu, $r$ - różnica ciągu.

Przykład:

$1,3,5,7,...$ - ciąg arytmetyczny o pierwszym wyrazie $a_1 = 1$ i różnicy $r=2$ .

Wzór ogólny tego ciągu to $a_n = a_1 + (n-1)r = 1 + (n-1) \cdot2 = 1 + 2n - 2 = 2n -1$ .

Przykład:

$4,7,10,13,...$ - ciąg arytmetyczny o pierwszym wyrazie $a_1 = 4$ i różnicy $r = 3$ .

Wzór ogólny tego ciągu to $a_n = a_1 + (n-1)r = 4 + (n-1) \cdot 3 = 4 + 3n - 3 = 3n + 1$ .

Do wykazania, że ciąg jest ciągiem arytmetycznym wystarczy pokazanie, że różnica wyrazów następnego i poprzedniego jest wartością stałą.

Przykład:

Sprawdzić, że ciąg $c_n$ jest ciągiem arytmetycznym.

$c_n = 5n+1$

$c_{n+1} - c_n = (5(n+1)+1) - (5n+1) = 5n + 5 + 1 - 5n - 1 = 5$

Zatem ciąg ten jest ciągiem arytmetycznym.

Monotoniczność ciągu arytmetycznego

Ciąg arytmetyczny jest:

rosnący wtedy i tylko wtedy, gdy $r>0$ ,

stały wtedy i tylko wtedy, gdy $r=0$ ,

malejący wtedy i tylko wtedy, gdy $r<0$ .

Zadania:

1. Czy ciąg $(10,5,0,-5,-10,...)$ jest ciągiem arytmetycznym?

2. Wypisać pierwsze wyrazy ciągu arytmetycznego o pierwszym wyrazie $4$ i różnicy $- \frac 2 3$ .

3. Sprawdzić, czy ciąg $a_n = \sqrt{3} n + 5$ jest ciągiem arytmetycznym?

Odpowiedzi:

1. Tak, jest to ciąg arytmetyczny o pierwszym wyrazie $10$ i różnicy $5$ .

2. $(4, 3\frac1 3, 2\frac 2 3, 2, 1\frac 1 3,\frac 2 3, 0,...)$ .

3. Jest to ciąg arytmetyczny.

Polecamy również:

Suma ciągu arytmetycznego – wzór, przykłady, zadania

W odniesieniu do ciągów istotnym zadaniem jest sumowanie ich wyrazów. Z wzorem na sumę ciągu arytmetycznego powiązana jest pewna anegdota... Więcej »
Ciąg arytmetyczny – wyrazy sąsiednie

W ciągu arytmetycznym każdy wyraz począwszy od drugiego jest średnią arytmetyczną wyrazów z nim sąsiadujących. Więcej »

Zobacz również

Losowe zadania

Komentarze (0)