Definicja: Mówimy, że ciąg ma granicę
(jest zbieżny do
), jeśli dla każdego
istnieje liczba naturalna
taka, że dla wszystkich
zachodzi
(formalnie: ).
Intuicyjnie liczba jest granicą ciągu
wtedy, gdy wraz ze wzrostem
wyrazy tego ciągu zbliżają się do
(tzn. im
jest większe tym
bliższe jest
). Piszemy wówczas, że
(
dąży do
).
Przykład:
Udowodnić, że .
Chcemy, żeby było , gdzie
a
, a zatem
.
Przekształćmy:
Zdefiniujmy .
Wówczas i mamy, że ło
, co było do pokazania.
Zadanie:
Pokazać na podstawie definicji, że .