Granica ciągu – definicja, wzory, przykłady, zadania

Definicja: Mówimy, że ciąg (a_n) ma granicę g (jest zbieżny do g), jeśli dla każdego \varepsilon > 0 istnieje liczba naturalna n_0 taka, że dla wszystkich n \ge n_0 zachodzi |a_n - g|< \varepsilon

(formalnie:  \lim_{n \to  \infty } a_n = g  \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0 \exist n_0 \in \mathbb{N} \forall n\ge n_0 |a_n - g| < \varepsilon).

 

Intuicyjnie liczba g jest granicą ciągu (a_n) wtedy, gdy wraz ze wzrostem n wyrazy tego ciągu zbliżają się do g (tzn. im n jest większe tym a_n bliższe jest g). Piszemy wówczas, że a_n  \rightarrow   g (a_n dąży do g).

 

Przykład:

Udowodnić, że  \lim_{n \to \infty  } \frac 1 n = 0.

Chcemy, żeby było \forall \varepsilon > 0 \exist n_\varepsilon \in \mathbb{N} \forall n\ge n_\varepsilon |a_n - g| < \varepsilon, gdzie a_n = \frac 1 ng = 0, a zatem |\frac 1 n - 0| < \varep.

Przekształćmy:

|\frac 1 n| < \varep

\frac 1 n < \varep

1 < n\varep

n > \frac 1 {\varep}

Zdefiniujmy n_{\varep} = \frac 1 {\varep}.

Wówczas n > n_{\varep} = \frac 1 {\varep} i mamy, że  ło \forall \varepsilon > 
0 \exist n_\varepsilon
 \in \mathbb{N} (n_{\varep}=\frac 1 {\varep})\forall n\ge n_\varepsilon |a_n - g| < \varepsilon, co było do pokazania.

 

Zadanie:

Pokazać na podstawie definicji, że  \lim_{n \to  \infty } \frac {2n^2}{n^2+1} = 2.

Polecamy również:

Komentarze (0)
Wynik działania 3 + 2 =
Ostatnio komentowane
git
• 2023-02-08 21:11:48
latwe
• 2023-02-08 17:29:35
Dzk
• 2023-02-08 14:34:22
Ok
• 2023-02-05 19:16:03
Dziękuje
• 2023-02-05 10:06:49