Granica ciągu – definicja, wzory, przykłady, zadania

Definicja: Mówimy, że ciąg  ma granicę  (jest zbieżny do ), jeśli dla każdego  istnieje liczba naturalna  taka, że dla wszystkich  zachodzi 

(formalnie: ).

 

Intuicyjnie liczba  jest granicą ciągu  wtedy, gdy wraz ze wzrostem  wyrazy tego ciągu zbliżają się do  (tzn. im  jest większe tym  bliższe jest ). Piszemy wówczas, że  ( dąży do ).

 

Przykład:

Udowodnić, że .

Chcemy, żeby było , gdzie  a , a zatem .

Przekształćmy:

Zdefiniujmy .

Wówczas  i mamy, że  ło , co było do pokazania.

 

Zadanie:

Pokazać na podstawie definicji, że .