Definicja: Mówimy, że ciąg \((a_n)\) ma granicę \(g\) (jest zbieżny do \(g\)), jeśli dla każdego \(\varepsilon > 0\) istnieje liczba naturalna \(n_0\) taka, że dla wszystkich \(n \ge n_0\) zachodzi \(|a_n - g|< \varepsilon\)
(formalnie: \( \lim_{n \to \infty } a_n = g \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0 \exist n_0 \in \mathbb{N} \forall n\ge n_0 |a_n - g| < \varepsilon\)).
Intuicyjnie liczba \(g\) jest granicą ciągu \((a_n)\) wtedy, gdy wraz ze wzrostem \(n\) wyrazy tego ciągu zbliżają się do \(g\) (tzn. im \(n\) jest większe tym \(a_n\) bliższe jest \(g\)). Piszemy wówczas, że \(a_n \rightarrow g\) (\(a_n\) dąży do \(g\)).
Przykład:
Udowodnić, że \( \lim_{n \to \infty } \frac 1 n = 0\).
Chcemy, żeby było \(\forall \varepsilon > 0 \exist n_\varepsilon \in \mathbb{N} \forall n\ge n_\varepsilon |a_n - g| < \varepsilon\), gdzie \(a_n = \frac 1 n\) a \(g = 0\), a zatem \(|\frac 1 n - 0| < \varep\).
Przekształćmy:
\(|\frac 1 n| < \varep\)
\(\frac 1 n < \varep\)
\(1 < n\varep\)
\(n > \frac 1 {\varep}\)
Zdefiniujmy \(n_{\varep} = \frac 1 {\varep}\).
Wówczas \(n > n_{\varep} = \frac 1 {\varep}\) i mamy, że ło \(\forall \varepsilon > 0 \exist n_\varepsilon \in \mathbb{N} (n_{\varep}=\frac 1 {\varep})\forall n\ge n_\varepsilon |a_n - g| < \varepsilon\), co było do pokazania.
Zadanie:
Pokazać na podstawie definicji, że \( \lim_{n \to \infty } \frac {2n^2}{n^2+1} = 2\).