Granica ciągu – definicja, wzory, przykłady, zadania

Definicja: Mówimy, że ciąg $(a_n)$ ma granicę $g$ (jest zbieżny do $g$ ), jeśli dla każdego $\varepsilon > 0$ istnieje liczba naturalna $n_0$ taka, że dla wszystkich $n \ge n_0$ zachodzi $|a_n - g|< \varepsilon$

(formalnie: $\lim_{n \to \infty } a_n = g \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0 \exist n_0 \in \mathbb{N} \forall n\ge n_0 |a_n - g| < \varepsilon$ ).

Intuicyjnie liczba $g$ jest granicą ciągu $(a_n)$ wtedy, gdy wraz ze wzrostem $n$ wyrazy tego ciągu zbliżają się do $g$ (tzn. im $n$ jest większe tym $a_n$ bliższe jest $g$ ). Piszemy wówczas, że $a_n \rightarrow g$ ( $a_n$ dąży do $g$ ).

Przykład:

Udowodnić, że $\lim_{n \to \infty } \frac 1 n = 0$ .

Chcemy, żeby było $\forall \varepsilon > 0 \exist n_\varepsilon \in \mathbb{N} \forall n\ge n_\varepsilon |a_n - g| < \varepsilon$ , gdzie $a_n = \frac 1 n$ a $g = 0$ , a zatem $|\frac 1 n - 0| < \varep$ .

Przekształćmy:

$|\frac 1 n| < \varep$

$\frac 1 n < \varep$

$1 < n\varep$

$n > \frac 1 {\varep}$

Zdefiniujmy $n_{\varep} = \frac 1 {\varep}$ .

Wówczas $n > n_{\varep} = \frac 1 {\varep}$ i mamy, że ło $\forall \varepsilon > 0 \exist n_\varepsilon \in \mathbb{N} (n_{\varep}=\frac 1 {\varep})\forall n\ge n_\varepsilon |a_n - g| < \varepsilon$ , co było do pokazania.

Zadanie:

Pokazać na podstawie definicji, że $\lim_{n \to \infty } \frac {2n^2}{n^2+1} = 2$ .

Polecamy również:

Obliczanie granicy ciągu – przykłady, zadania

Wyprowadzanie granic ciągów na podstawie definicji jest bardzo żmudne i niewygodne. W praktyce korzysta się z kilku podstawowych zasad, które znacznie ułatwiają obliczenia. Więcej »
Granica niewłaściwa ciągu – definicja, przykłady, zadania

Jeśli ciąg ma granicę będącą liczbą rzeczywistą to mówimy, że jest zbieżny, a granicę nazywamy właściwą. W przeciwnym wypadku mówimy, że ciąg jest rozbieżny. Ciąg, który jest rozbieżny może nie mieć granicy w ogóle lub mieć granicę niewłaściwą. Więcej »
Twierdzenie o trzech ciągach – przykłady, zadania

Idea tego twierdzenia jest następująca - jeśli potrafimy wskazać dla danego ciągu dwa inne ciągi, które go ograniczają (z góry i z dołu), a których granice... Więcej »

Komentarze (0)

Granica ciągu – definicja, wzory, przykłady, zadania

Przykład:

Zadanie:

Polecamy również:

Zobacz również

Obliczanie granicy ciągu – przykłady, zadania

Granica niewłaściwa ciągu – definicja, przykłady, zadania

Twierdzenie o trzech ciągach – przykłady, zadania

Losowe zadania

Budowa mchów

Oblicz ile zanieczyszconego węgliku wapnia potrzeba do otrzymania etynu

Tren V

Kanały rzeczne w Polsce

Surrealizm