Wyprowadzanie granic ciągów na podstawie definicji jest bardzo żmudne i niewygodne. W praktyce korzysta się z kilku podstawowych zasad, które znacznie ułatwiają obliczenia.
Podamy twierdzenia opisujące elementarne fakty dotyczące arytmetyki granic ciągów.
Twierdzenie: Każdy ciąg ma co najwyżej jedną granicę.
Innymi słowy ciąg może nie mieć granicy lub mieć granicę, natomiast jeśli ją ma, to jest ona jedyną jego granicą.
Twierdzenie: Granicą ciągu stałego jest wyraz ogólny tego ciągu.
Przykład:
Jeśli \(a_n = 7\) to \( \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} 7 = 7\).
Twierdzenie: Jeśli \( \lim_{n \to \infty } a_n = g\) oraz \(r \in \math{R}\) to \(r \lim_{n \to \infty } a_n = \lim_{n \to \infty } ra_n = rg\).
Można zatem wyciągnąć przed granicę stały czynnik.
Twierdzenie: Jeśli \(k >0 \) to \( \lim_{n \to \infty} \frac 1 {n^k} = 0\).
Przykład:
\( \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2}=0\)
\( \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^3}=0\)
Twierdzenie: Jeśli \( \in (-1;1)\) to \( \lim_{n \to \infty} q^n=0\).
Przykład:
\( \lim_{n \to \infty} (\frac{1}{2})^n=0\)
\( \lim_{n \to \infty} (\frac{1}{5})^n=0\)
Mówiąc dość oględnie podnoszenie ułamka do coraz większych potęg, bądź do tej samej potęgi lecz zwiększając jego licznik, zbliżać będzie ten ułamek do zera.
Twierdzenie o arytmetyce granic ciągów:
Niech \(\lim_{n \to \infty } a_n = a\) oraz \(\lim_{n \to \infty } b_n = b\). Zachodzą następujące równości:
\(\lim_{n \to \infty } (a_n \pm b_n)= \lim_{n \to \infty } a_n \pm \lim_{n \to \infty }b_n=a \pm b\)
\(\lim_{n \to \infty } (a_n \cdot b_n)= \lim_{n \to \infty } a_n \cdot \lim_{n \to \infty }b_n=a \cdot b\)
\(\lim_{n \to \infty } \frac{a_n}{b_n}= \frac{\lim_{n \to \infty } a_n }{\cdot \lim_{n \to \infty }b_n}=\frac a b\), o ile \(\lim_{n \to \infty }b_n \neq 0\) i \(b_n \neq 0\).
Druga równość jest uogólnieniem twierdzenia o wyciąganiu stałego czynnika przed granicę. W istocie twierdzenie o wyciąganiu stałego czynnika przed nawias jest wersją drugiej równości powyższego twierdzenia dla ciągu stałego \(b_n\).
Twierdzenie: Jeśli \(a>0\) to \(\lim_ {n \to \infty} \sqrt[n]{ a}=1\).
Przykład:
\(\lim_ {n \to \infty} \sqrt[n]{2}=1\)
Przykład:
\( \lim_{n \to \infty} \frac{6n^2-2n+1}{n^2} = \lim_{n \to \infty} (6-\frac2n+\frac1{n^2})= \lim_{n \to \infty} 6- \lim_{n \to \infty}\frac2n+ \lim_{n \to \infty}\frac1{n^2}=6-0+0=6 \)
\( \lim_{n \to \infty} \frac{2n-1}{3n+5} = \lim_{n \to \infty} \frac{2-\frac1n}{3+\frac5n} = \frac{ \lim_{n \to \infty} (2-\frac1n)}{\lim_{n \to \infty}(3+\frac5n)} = \)\(\frac{ 2-\lim_{n \to \infty} \frac1n}{3+\lim_{n \to \infty}\frac5n} = \frac23\)
Zadanie:
Obliczyć następujące granice:
a) \(\lim_{n \to \infty}\frac{7n^2-12n+5}{8n^2-n+2\),
b) \(\lim_{n \to \infty}\frac{5n^3-2n+1}{\frac 12n^3-2n^2+2n}\),
c) \(\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[n]{5}}{n^2}\).
Odpowiedzi:
a) \(\frac78\),
b) \(10\),
c) \(0\).