Wyprowadzanie granic ciągów na podstawie definicji jest bardzo żmudne i niewygodne. W praktyce korzysta się z kilku podstawowych zasad, które znacznie ułatwiają obliczenia.
Podamy twierdzenia opisujące elementarne fakty dotyczące arytmetyki granic ciągów.
Twierdzenie: Każdy ciąg ma co najwyżej jedną granicę.
Innymi słowy ciąg może nie mieć granicy lub mieć granicę, natomiast jeśli ją ma, to jest ona jedyną jego granicą.
Twierdzenie: Granicą ciągu stałego jest wyraz ogólny tego ciągu.
Przykład:
Jeśli to
.
Twierdzenie: Jeśli oraz
to
.
Można zatem wyciągnąć przed granicę stały czynnik.
Twierdzenie: Jeśli to
.
Przykład:
Twierdzenie: Jeśli to
.
Przykład:
Mówiąc dość oględnie podnoszenie ułamka do coraz większych potęg, bądź do tej samej potęgi lecz zwiększając jego licznik, zbliżać będzie ten ułamek do zera.
Twierdzenie o arytmetyce granic ciągów:
Niech oraz
. Zachodzą następujące równości:
, o ile
i
.
Druga równość jest uogólnieniem twierdzenia o wyciąganiu stałego czynnika przed granicę. W istocie twierdzenie o wyciąganiu stałego czynnika przed nawias jest wersją drugiej równości powyższego twierdzenia dla ciągu stałego .
Twierdzenie: Jeśli to
.
Przykład:
Przykład:
Zadanie:
Obliczyć następujące granice:
a) ,
b) ,
c) .
Odpowiedzi:
a) ,
b) ,
c) .