Obliczanie granicy ciągu – przykłady, zadania

Wyprowadzanie granic ciągów na podstawie definicji jest bardzo żmudne i niewygodne. W praktyce korzysta się z kilku podstawowych zasad, które znacznie ułatwiają obliczenia.

Podamy twierdzenia opisujące elementarne fakty dotyczące arytmetyki granic ciągów.

Twierdzenie: Każdy ciąg ma co najwyżej jedną granicę.

Innymi słowy ciąg może nie mieć granicy lub mieć granicę, natomiast jeśli ją ma, to jest ona jedyną jego granicą.

Twierdzenie: Granicą ciągu stałego jest wyraz ogólny tego ciągu.

Przykład:

Jeśli $a_n = 7$ to $\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} 7 = 7$ .

Twierdzenie: Jeśli $\lim_{n \to \infty } a_n = g$ oraz $r \in \math{R}$ to $r \lim_{n \to \infty } a_n = \lim_{n \to \infty } ra_n = rg$ .

Można zatem wyciągnąć przed granicę stały czynnik.

Twierdzenie: Jeśli $k >0$ to $\lim_{n \to \infty} \frac 1 {n^k} = 0$ .

Przykład:

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2}=0$

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^3}=0$

Twierdzenie: Jeśli $\in (-1;1)$ to $\lim_{n \to \infty} q^n=0$ .

Przykład:

$\lim_{n \to \infty} (\frac{1}{2})^n=0$

$\lim_{n \to \infty} (\frac{1}{5})^n=0$

Mówiąc dość oględnie podnoszenie ułamka do coraz większych potęg, bądź do tej samej potęgi lecz zwiększając jego licznik, zbliżać będzie ten ułamek do zera.

Twierdzenie o arytmetyce granic ciągów:

Niech $\lim_{n \to \infty } a_n = a$ oraz $\lim_{n \to \infty } b_n = b$ . Zachodzą następujące równości:

$\lim_{n \to \infty } (a_n \pm b_n)= \lim_{n \to \infty } a_n \pm \lim_{n \to \infty }b_n=a \pm b$

$\lim_{n \to \infty } (a_n \cdot b_n)= \lim_{n \to \infty } a_n \cdot \lim_{n \to \infty }b_n=a \cdot b$

$\lim_{n \to \infty } \frac{a_n}{b_n}= \frac{\lim_{n \to \infty } a_n }{\cdot \lim_{n \to \infty }b_n}=\frac a b$ , o ile $\lim_{n \to \infty }b_n \neq 0$ i $b_n \neq 0$ .

Druga równość jest uogólnieniem twierdzenia o wyciąganiu stałego czynnika przed granicę. W istocie twierdzenie o wyciąganiu stałego czynnika przed nawias jest wersją drugiej równości powyższego twierdzenia dla ciągu stałego $b_n$ .

Twierdzenie: Jeśli $a>0$ to $\lim_ {n \to \infty} \sqrt[n]{ a}=1$ .

Przykład:

$\lim_ {n \to \infty} \sqrt[n]{2}=1$

Przykład:

$\lim_{n \to \infty} \frac{6n^2-2n+1}{n^2} = \lim_{n \to \infty} (6-\frac2n+\frac1{n^2})= \lim_{n \to \infty} 6- \lim_{n \to \infty}\frac2n+ \lim_{n \to \infty}\frac1{n^2}=6-0+0=6$

$\lim_{n \to \infty} \frac{2n-1}{3n+5} = \lim_{n \to \infty} \frac{2-\frac1n}{3+\frac5n} = \frac{ \lim_{n \to \infty} (2-\frac1n)}{\lim_{n \to \infty}(3+\frac5n)} =$ $\frac{ 2-\lim_{n \to \infty} \frac1n}{3+\lim_{n \to \infty}\frac5n} = \frac23$

Zadanie:

Obliczyć następujące granice:

a) $\lim_{n \to \infty}\frac{7n^2-12n+5}{8n^2-n+2$ ,

b) $\lim_{n \to \infty}\frac{5n^3-2n+1}{\frac 12n^3-2n^2+2n}$ ,

c) $\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[n]{5}}{n^2}$ .

Odpowiedzi:

a) $\frac78$ ,

b) $10$ ,

c) $0$ .

Polecamy również:

Granica niewłaściwa ciągu – definicja, przykłady, zadania

Jeśli ciąg ma granicę będącą liczbą rzeczywistą to mówimy, że jest zbieżny, a granicę nazywamy właściwą. W przeciwnym wypadku mówimy, że ciąg jest rozbieżny. Ciąg, który jest rozbieżny może nie mieć granicy w ogóle lub mieć granicę niewłaściwą. Więcej »
Twierdzenie o trzech ciągach – przykłady, zadania

Idea tego twierdzenia jest następująca - jeśli potrafimy wskazać dla danego ciągu dwa inne ciągi, które go ograniczają (z góry i z dołu), a których granice... Więcej »

Komentarze (0)

Obliczanie granicy ciągu – przykłady, zadania

Przykład:

Przykład:

Przykład:

Przykład:

Przykład:

Zadanie:

Odpowiedzi:

Polecamy również:

Zobacz również

Granica niewłaściwa ciągu – definicja, przykłady, zadania

Twierdzenie o trzech ciągach – przykłady, zadania

Losowe zadania

Głoski twarde i miękkie

Sposób rozmnażania i rozwój ssaków

Oblicz jak zmieni się szybkość reakcji, jeśli przereaguje 25% substratu

Typy odnóży u raka

Zapoznaj się z opisem pewnego związku i zdidentyfikuj go