Granica niewłaściwa ciągu – definicja, przykłady, zadania

W tym dziale

Drukuj: Drukuj
Rozmiar: AAA

Jeśli ciąg ma granicę będącą liczbą rzeczywistą to mówimy, że jest zbieżny, a granicę nazywamy właściwą.

W przeciwnym wypadku mówimy, że ciąg jest rozbieżny.

Ciąg, który jest rozbieżny może nie mieć granicy w ogóle lub mieć granicę niewłaściwą ( $+ \infty$ lub $- \infty$ ) - mówimy wtedy, że ciąg jest rozbieżny do $+ \infty$ lub rozbieżny do $- \infty$ .

Przykład:

Ciąg $(-1)^n$ nie ma granicy (jest rozbieżny, $\lim_{n \to \infty} (-1)^n$ nie istnieje).

Definicja: Ciąg $(a_n)$ jest rozbieżny do $+ \infty$ jeśli dla każdej liczby $M$ istnieje liczba naturalna $n_0$ taka, że dla wszystkich $n \ge n_0$ zachodzi $a_n \ge M$

(formalnie: $\lim_{n \to \infty} a_n = + \infty \Leftrightarrow \forall_ M \exist_ {n_0} \forall_{n \ge n_0} (a_n \ge M)$ ).

Definicja: Ciąg $(a_n)$ jest rozbieżny do $- \infty$ jeśli dla każdej liczby $M$ istnieje liczba naturalna $n_0$ taka, że dla wszystkich $n \ge n_0$ zachodzi $a_n \le M$

(formalnie: $\lim_{n \to \infty} a_n = - \infty \Leftrightarrow \forall_ M \exist_ {n_0} \forall_{n \ge n_0} (a_n \le M)$ ).

Podobnie jak dla granic właściwych, dla granic niewłasciwych sformułowane są twierdzenia ułatwiające ich obliczanie.

Twierdzenie: Jeśli $k>0$ to $\lim_{n \to \infty} n^k=+ \infty$ .

Przykład:

$\lim_{n \to \infty} n^2 = + \infty$

Twierdzenie: Jeśli $q>1$ to $\lim_{n \to \infty} q^n = + \infty$ .

Przykład:

$\lim_{n \to \infty} 3^n = + \infty$

Ponadto w dalszym ciągu w mocy pozostają wszystkie twierdzenia dotyczące arytmetyki granic, w szzególności twierdzenia o granicy sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu ciągów (tw. o arytmetyce granic).

Przykład:

$\lim_{n \to \infty } \frac{n^3 + n^2 + n +1}{n^2+n-10}= \lim_{n \to \infty } \frac{n + 1 + \frac1n +\frac1{n^2}}{1+\frac1n-\frac{10}{n^2}}=+\infty$

$\lim_{n \to \infty }(-n^6+2n^3-1) = -\lim_{n \to \infty }(n^6-2n^3+1) = - \lim_{n\to\infty}n^6(1-\frac2{n^3}+\frac1{n^6})=-\infty$

Zadania:

Policzyć następujące granice:

a) $\lim_{n \to \infty} (n^5-6n^7)$ ,

b) $\lim_{n \to \infty} \frac{2n^2-10}{10+n}$ .

Odpowiedzi:

a) $-\infty$ ,

b) $+\infty$ .

Polecamy również:

Obliczanie granicy ciągu – przykłady, zadania

Wyprowadzanie granic ciągów na podstawie definicji jest bardzo żmudne i niewygodne. W praktyce korzysta się z kilku podstawowych zasad, które znacznie ułatwiają obliczenia. Więcej »
Twierdzenie o trzech ciągach – przykłady, zadania

Idea tego twierdzenia jest następująca - jeśli potrafimy wskazać dla danego ciągu dwa inne ciągi, które go ograniczają (z góry i z dołu), a których granice... Więcej »

Ostatnio dodane
Losowe

Komentarze (0)

Bohaterowie

Co to za trzykropki???!!!

Kamel • 2018-09-18 18:11:05

Wiosna Ludów w Niemczech

Wy Qnie

QŃ • 2018-09-18 13:07:35

Godło Polski

Nein

Hitler • 2018-09-18 07:36:51

Czego nauczył się Mały Książę podczas wędrówki?

Super! Bardzo mnie to zainspirowało!

Filip • 2018-09-17 18:11:30

Separatyzm

xd • 2018-09-17 18:29:53