Jeśli ciąg ma granicę będącą liczbą rzeczywistą to mówimy, że jest zbieżny, a granicę nazywamy właściwą.
W przeciwnym wypadku mówimy, że ciąg jest rozbieżny.
Ciąg, który jest rozbieżny może nie mieć granicy w ogóle lub mieć granicę niewłaściwą ( lub
) - mówimy wtedy, że ciąg jest rozbieżny do
lub rozbieżny do
.
Przykład:
Ciąg nie ma granicy (jest rozbieżny,
nie istnieje).
Definicja: Ciąg jest rozbieżny do
jeśli dla każdej liczby
istnieje liczba naturalna
taka, że dla wszystkich
zachodzi
(formalnie: ).
Definicja: Ciąg jest rozbieżny do
jeśli dla każdej liczby
istnieje liczba naturalna
taka, że dla wszystkich
zachodzi
(formalnie: ).
Podobnie jak dla granic właściwych, dla granic niewłasciwych sformułowane są twierdzenia ułatwiające ich obliczanie.
Twierdzenie: Jeśli to
.
Przykład:
Twierdzenie: Jeśli to
.
Przykład:
Ponadto w dalszym ciągu w mocy pozostają wszystkie twierdzenia dotyczące arytmetyki granic, w szzególności twierdzenia o granicy sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu ciągów (tw. o arytmetyce granic).
Przykład:
Zadania:
Policzyć następujące granice:
a) ,
b) .
Odpowiedzi:
a) ,
b) .