Granica niewłaściwa ciągu – definicja, przykłady, zadania

Jeśli ciąg ma granicę będącą liczbą rzeczywistą to mówimy, że jest zbieżny, a granicę nazywamy właściwą.

W przeciwnym wypadku mówimy, że ciąg jest rozbieżny.

Ciąg, który jest rozbieżny może nie mieć granicy w ogóle lub mieć granicę niewłaściwą ( $+ \infty$ lub $- \infty$ ) - mówimy wtedy, że ciąg jest rozbieżny do $+ \infty$ lub rozbieżny do $- \infty$ .

Przykład:

Ciąg $(-1)^n$ nie ma granicy (jest rozbieżny, $\lim_{n \to \infty} (-1)^n$ nie istnieje).

Definicja: Ciąg $(a_n)$ jest rozbieżny do $+ \infty$ jeśli dla każdej liczby $M$ istnieje liczba naturalna $n_0$ taka, że dla wszystkich $n \ge n_0$ zachodzi $a_n \ge M$

(formalnie: $\lim_{n \to \infty} a_n = + \infty \Leftrightarrow \forall_ M \exist_ {n_0} \forall_{n \ge n_0} (a_n \ge M)$ ).

Definicja: Ciąg $(a_n)$ jest rozbieżny do $- \infty$ jeśli dla każdej liczby $M$ istnieje liczba naturalna $n_0$ taka, że dla wszystkich $n \ge n_0$ zachodzi $a_n \le M$

(formalnie: $\lim_{n \to \infty} a_n = - \infty \Leftrightarrow \forall_ M \exist_ {n_0} \forall_{n \ge n_0} (a_n \le M)$ ).

Podobnie jak dla granic właściwych, dla granic niewłasciwych sformułowane są twierdzenia ułatwiające ich obliczanie.

Twierdzenie: Jeśli $k>0$ to $\lim_{n \to \infty} n^k=+ \infty$ .

Przykład:

$\lim_{n \to \infty} n^2 = + \infty$

Twierdzenie: Jeśli $q>1$ to $\lim_{n \to \infty} q^n = + \infty$ .

Przykład:

$\lim_{n \to \infty} 3^n = + \infty$

Ponadto w dalszym ciągu w mocy pozostają wszystkie twierdzenia dotyczące arytmetyki granic, w szzególności twierdzenia o granicy sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu ciągów (tw. o arytmetyce granic).

Przykład:

$\lim_{n \to \infty } \frac{n^3 + n^2 + n +1}{n^2+n-10}= \lim_{n \to \infty } \frac{n + 1 + \frac1n +\frac1{n^2}}{1+\frac1n-\frac{10}{n^2}}=+\infty$

$\lim_{n \to \infty }(-n^6+2n^3-1) = -\lim_{n \to \infty }(n^6-2n^3+1) = - \lim_{n\to\infty}n^6(1-\frac2{n^3}+\frac1{n^6})=-\infty$

Zadania:

Policzyć następujące granice:

a) $\lim_{n \to \infty} (n^5-6n^7)$ ,

b) $\lim_{n \to \infty} \frac{2n^2-10}{10+n}$ .

Odpowiedzi:

a) $-\infty$ ,

b) $+\infty$ .

Zobacz również

Obliczanie granicy ciągu – przykłady, zadania

Wyprowadzanie granic ciągów na podstawie definicji jest bardzo żmudne i niewygodne. W praktyce korzysta się z kilku podstawowych zasad, które znacznie ułatwiają obliczenia.
Więcej
Twierdzenie o trzech ciągach – przykłady, zadania

Idea tego twierdzenia jest następująca - jeśli potrafimy wskazać dla danego ciągu dwa inne ciągi, które go ograniczają (z góry i z dołu), a których granice...
Więcej

Losowe zadania

Zaproponuj metodę potwierdzenia obecności produktu reakcji i zapisz swoje spostrzeżenia

Podczas ogrzewania mocznika zachodzi reakcja przedstawiona na poniższym schemacie. Jednym z produktów reakcji jest biuret, który w obecności wodorotlenku miedzi(II) tworzy fiołkowy kompleks. Podobną reakcję dają również białka. Zapisz fragment budowy odpowiedzialny w zarówno w biurecie jak i białkach za powstawa...
0 Odpowiedz Więcej
Kult św. Stanisława w średniowiecznej Polsce

Omów krótko zagadnienie kultu św. Stanisława w średniowiecznej Polsce. Zwróć uwagę na to, o czym mówiła i w jakich okolicznościach kształtowała się legenda o cudownym zrośnięciu się jego ciała.
1 Odpowiedz Więcej
Równanie z pierwiastkami z wartością bezwzględną

Jakie liczby spełniają równanie? a) , b) ?
0 Odpowiedz Więcej
Zmiana grawitacji wraz ze wzrostem wysokości

Na jakiej wysokości nad powierzchnią Ziemi przyspieszenie grawitacyjne ciała o pewnej masie m będzie wynosiło 7 m/s2, jeżeli przyjmiemy, że masa ziemi wynosi 6*1024 kg, a promień Ziemi wynosi 6400km.
0 Odpowiedz Więcej
Charakterystyka Forum Cezara

Scharakteryzuj Forum Cezara, uwzględniając okoliczności powstania oraz znajdujące się na nim obiekty.
0 Odpowiedz Więcej

Komentarze (0)

Biblia a Pismo Święte

Synod w Jamni zaczyna być podważany jako niezaistniały.

Marcin • 2020-08-01 22:23:11

Prawo Gaussa

Pomylono kąty

dsf • 2020-06-22 16:11:37

Lucifer

wow

Kasia • 2020-06-17 11:55:30

Streszczenie, plan wydarzeń

jezu ale trudne

iwo • 2020-06-16 18:19:06

Na toż

dzieki

halinka • 2020-06-15 11:00:28

Granica niewłaściwa ciągu – definicja, przykłady, zadania

Przykład:

Przykład:

Przykład:

Przykład:

Zadania:

Odpowiedzi:

Zobacz również

Obliczanie granicy ciągu – przykłady, zadania

Twierdzenie o trzech ciągach – przykłady, zadania

Losowe zadania

Zaproponuj metodę potwierdzenia obecności produktu reakcji i zapisz swoje spostrzeżenia

Kult św. Stanisława w średniowiecznej Polsce

Równanie z pierwiastkami z wartością bezwzględną

Zmiana grawitacji wraz ze wzrostem wysokości

Charakterystyka Forum Cezara