Granica niewłaściwa ciągu – definicja, przykłady, zadania

Jeśli ciąg ma granicę będącą liczbą rzeczywistą to mówimy, że jest zbieżny, a granicę nazywamy właściwą.

W przeciwnym wypadku mówimy, że ciąg jest rozbieżny.

Ciąg, który jest rozbieżny może nie mieć granicy w ogóle lub mieć granicę niewłaściwą (+ \infty lub - \infty ) - mówimy wtedy, że ciąg jest rozbieżny do + \infty lub rozbieżny do - \infty .

 

Przykład:

Ciąg (-1)^n nie ma granicy (jest rozbieżny,  \lim_{n \to \infty} (-1)^n nie istnieje).

 

Definicja: Ciąg (a_n) jest rozbieżny do + \infty jeśli dla każdej liczby M istnieje liczba naturalna n_0 taka, że dla wszystkich n \ge n_0 zachodzi a_n \ge M

(formalnie: \lim_{n \to \infty} a_n = + \infty  \Leftrightarrow  \forall_ M \exist_ {n_0} \forall_{n \ge n_0}
(a_n \ge M)).

Definicja: Ciąg (a_n) jest rozbieżny do - \infty jeśli dla każdej liczby M istnieje liczba naturalna n_0 taka, że dla wszystkich n \ge n_0 zachodzi a_n \le M

(formalnie: \lim_{n \to \infty} a_n = - \infty  \Leftrightarrow  \forall_ M \exist_ {n_0} \forall_{n \ge n_0}
(a_n \le M)).

 

Podobnie jak dla granic właściwych, dla granic niewłasciwych sformułowane są twierdzenia ułatwiające ich obliczanie.

 

Twierdzenie: Jeśli k>0 to  \lim_{n \to \infty} n^k=+ \infty.

 

Przykład:

 \lim_{n \to \infty} n^2 = + \infty

Twierdzenie: Jeśli q>1 to  \lim_{n \to \infty} q^n = + \infty.

 

Przykład:

 \lim_{n \to \infty} 3^n = + \infty

 

Ponadto w dalszym ciągu w mocy pozostają wszystkie twierdzenia dotyczące arytmetyki granic, w szzególności twierdzenia o granicy sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu ciągów (tw. o arytmetyce granic).

 

Przykład:

 \lim_{n \to \infty } \frac{n^3 + n^2 + n +1}{n^2+n-10}=
 \lim_{n \to \infty } \frac{n + 1 + \frac1n +\frac1{n^2}}{1+\frac1n-\frac{10}{n^2}}=+\infty

 \lim_{n \to  \infty }(-n^6+2n^3-1) = -\lim_{n \to  \infty }(n^6-2n^3+1)  
= - \lim_{n\to\infty}n^6(1-\frac2{n^3}+\frac1{n^6})=-\infty 

 

Zadania:

Policzyć następujące granice:

a)  \lim_{n \to \infty} (n^5-6n^7),

b)  \lim_{n \to \infty} \frac{2n^2-10}{10+n}.

 

 

Odpowiedzi:

a) -\infty,

b) +\infty.

Polecamy również:

Komentarze (0)
Wynik działania 4 + 4 =
Ostatnio komentowane
Rosja nadal jest państwem totalitarnym, a Polska sie nim staje.
• 2022-08-02 19:37:03
Ef. 6:12 [ 11 - 20]. 1Tes.2:13 ; 4: 8..... w tedy i dziś. Łuk.10: 16 .....
• 2022-08-01 16:36:20
To bardzo ciekawa historia godna uwagi każdego.
• 2022-07-12 15:12:25
@cotymowisz - dziękujemy za zwrócenie uwagi, wpis został poprawiony. Pozdrawiamy eszkol...
• 2022-07-07 11:03:54
Jest ok
• 2022-07-06 16:31:40