Jeśli ciąg ma granicę będącą liczbą rzeczywistą to mówimy, że jest zbieżny, a granicę nazywamy właściwą.
W przeciwnym wypadku mówimy, że ciąg jest rozbieżny.
Ciąg, który jest rozbieżny może nie mieć granicy w ogóle lub mieć granicę niewłaściwą (\(+ \infty \) lub \(- \infty \)) - mówimy wtedy, że ciąg jest rozbieżny do \(+ \infty \) lub rozbieżny do \(- \infty \).
Przykład:
Ciąg \((-1)^n\) nie ma granicy (jest rozbieżny, \( \lim_{n \to \infty} (-1)^n\) nie istnieje).
Definicja: Ciąg \((a_n)\) jest rozbieżny do \(+ \infty\) jeśli dla każdej liczby \(M\) istnieje liczba naturalna \(n_0\) taka, że dla wszystkich \(n \ge n_0\) zachodzi \(a_n \ge M\)
(formalnie: \(\lim_{n \to \infty} a_n = + \infty \Leftrightarrow \forall_ M \exist_ {n_0} \forall_{n \ge n_0} (a_n \ge M)\)).
Definicja: Ciąg \((a_n)\) jest rozbieżny do \(- \infty\) jeśli dla każdej liczby \(M\) istnieje liczba naturalna \(n_0\) taka, że dla wszystkich \(n \ge n_0\) zachodzi \(a_n \le M\)
(formalnie: \(\lim_{n \to \infty} a_n = - \infty \Leftrightarrow \forall_ M \exist_ {n_0} \forall_{n \ge n_0} (a_n \le M)\)).
Podobnie jak dla granic właściwych, dla granic niewłasciwych sformułowane są twierdzenia ułatwiające ich obliczanie.
Twierdzenie: Jeśli \(k>0\) to \( \lim_{n \to \infty} n^k=+ \infty\).
Przykład:
\( \lim_{n \to \infty} n^2 = + \infty\)
Twierdzenie: Jeśli \(q>1\) to \( \lim_{n \to \infty} q^n = + \infty\).
Przykład:
\( \lim_{n \to \infty} 3^n = + \infty\)
Ponadto w dalszym ciągu w mocy pozostają wszystkie twierdzenia dotyczące arytmetyki granic, w szzególności twierdzenia o granicy sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu ciągów (tw. o arytmetyce granic).
Przykład:
\( \lim_{n \to \infty } \frac{n^3 + n^2 + n +1}{n^2+n-10}= \lim_{n \to \infty } \frac{n + 1 + \frac1n +\frac1{n^2}}{1+\frac1n-\frac{10}{n^2}}=+\infty\)
\( \lim_{n \to \infty }(-n^6+2n^3-1) = -\lim_{n \to \infty }(n^6-2n^3+1) = - \lim_{n\to\infty}n^6(1-\frac2{n^3}+\frac1{n^6})=-\infty\)
Zadania:
Policzyć następujące granice:
a) \( \lim_{n \to \infty} (n^5-6n^7)\),
b) \( \lim_{n \to \infty} \frac{2n^2-10}{10+n}\).
Odpowiedzi:
a) \(-\infty\),
b) \(+\infty\).