Kolejnym wzorem skróconego mnożenia jest wzór na sześcian sumy.
\((a + b) ^{3} = a^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b^{3}\)
Wzór ten jest szczególnie przydatny do szybkiego obliczania i wyrażania w uporządkowanej postaci wszystkich wyrażeń typu suma zmiennej (np. x) i liczby, do potęgi trzeciej.
Przykład:
\((2 + x)^{3} = 2^{3} + 3 \cdot 2 ^{2} \cdot x + 3 \cdot 2 \cdot x^{2} + x^{3} = 8 + 12 x + 6x^{2} + x^{3}\) - zastosowanie wzoru na sumę sześcianów do jednoczesnego rozwinięcia i uporządkowania wyrażenia.
Wyprowadzenie wzoru:
\((a+b)^{3} = (a+b)^{2}(a+b) = (a^{2} + 2ab + b^{2})(a+b) = \)
\(a^{3} + 2a^{2}b + ab^{2} + a^{2}b + 2ab^{2} + b^{3} = a^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b^{3}\)
Zadania:
Rozwinąć i uporządkować następujące wyrażenia:
a) \(( x + 1)^{3}\),
b) \(( 3 + y)^{3}\),
c) \((z + 5)^{3}\).
Odpowiedzi:
a) \(x^{3} + 3x^{2} + 3x + 1\),
b) \(27 + 27 y + 9y^{2} + y^{3}\),
c) \(z^{3} + 15 z^{2} + 75 z + 125\).