Kolejny wzór skróconego mnożenia to wzór na sześcian różnicy.
\((a - b) ^{3} = a^{3} - 3a^{2}b + 3ab^{2} - b^{3}\)
Wzór ten, podobnie jak wzór na sześcian sumy, jest przydatny do szybkiego obliczania i wyrażania w uporządkowanej postaci wszystkich wyrażeń typu różnica zmiennej (np. x) i liczby, do potęgi trzeciej.
Przykład:
\((2 - x)^{3} = 2^{3} - 3 \cdot 2 ^{2} \cdot x + 3 \cdot 2 \cdot x^{2} - x^{3} = 8 + 12 x + 6x^{2} + x^{3}\) - zastosowanie wzoru na sumę sześcianów do jednoczesnego rozwinięcia i uporządkowania wyrażenia.
Wyprowadzenie wzoru:
\((a-b)^{3} = (a-b)^{2}(a-b) = (a^{2} - 2ab + b^{2})(a-b) = \)\(a^{3} - 2a^{2}b + ab^{2} - a^{2}b + 2ab^{2} - b^{3} = a^{3} - 3a^{2}b + 3ab^{2} - b^{3}\)
Zadania:
Rozwinąć i uporządkować następujące wyrażenia:
a) \(( x - 1)^{3}\),
b) \(( 3 - y)^{3}\),
c) \((z - 5)^{3}\).
Odpowiedzi:
a) \(x^{3} - 3x^{2} + 3x - 1\),
b) \(27 - 27 y + 9y^{2} - y^{3}\),
c) \(z^{3} - 15 z^{2} + 75 z - 125\).