Do podstawowych wzorów skróconego mnożenia należy wzór na kwadrat różnicy.
\((a - b) ^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}\)
Kiedy podnosimy różnicę dwóch składników do kwadratu nie możemy zapomnieć o odjęciu od sumy kwadratów każdej z tych liczb także podwojonego iloczynu obu tych liczb.
Przykład:
\((16 - 9)^{2} = 16^{2} - 2 \cdot 16 \cdot 9 + 9^{2} = 256 - 288 + 81 = 49\) - zastosowanie wzoru na kwadrat różnicy.
Wyprowadzenie wzoru:
\((a - b)^{2} = (a - b)(a - b) = a \cdot a - a \cdot b - a \cdot b - b \cdot (-b) = a^{2} - 2ab + b^{2}\)
Wzory skróconego mnożenia przydają się zwłaszcza w obliczeniach związanych z pierwiastkami.
Przykład:
\(( \sqrt{2} - 1)^{2} = (\sqrt{2})^{2} - 2\sqrt{2} + 1 = 2 - 2 \sqrt{2} + 1 = 3 - 2 \sqrt{2}\)
Zadania:
Obliczyć wartość następujących wyrażeń:
a) \(( \sqrt{2} - 2)^{2}\),
b) \(( \sqrt{3} - 1)^{2}\),
c) \(( \sqrt{5} - 5)^{2}\).
Odpowiedzi:
a) \(6 - 4 \sqrt{2} \),
b) \(4 - 2 \sqrt{3} \),
c) \(30 - 10 \sqrt{5} \).