Czym jest logarytm? Jak radzić sobie z logarytmami w obliczeniach? Najlepiej uczyć się na przykładach, więc przeanalizuj te podane przez nas. Powtórz swoją wiedzę i rozwiąż poniższe zadanie.
Logarytm - definicja
Działaniem powiązanym z potęgowaniem jest logarytm.
Logarytmem liczby \(b\) przy podstawie \(a\) nazywamy liczbę \(c\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(a\) podniesione do potęgi \(c\) daje \(b\) (formalnie \(log _{a} b = c \Leftrightarrow a ^{c} = b\)), przy czym spełnione muszą być następujące założenia: \(a, b > 0\) oraz \(a \neq 1\).
Logarytmy - przykłady
\(log _{2} 8 = 3\), bo \( 2 ^{3} = 8\) - logarytm przy podstawie 2 (inaczej zwany binarnym) z liczby 8 to 3.
\(log _{5} \sqrt{5} = \frac{1}{2} \), bo \( 5 ^{ \frac{1}{2} } = \sqrt{5} \) - logarytm o podstawie 5 z pierwiastka z 5 to 0,5.
\(log _{3} \frac{1}{9} = -2\), bo \(3^{-2} = \frac{1}{9} \) - logarytm przy podstawie 3 z jednej dziewiątej to -2.
W odniesieniu do logarytmów warto znać następujące fakty.
Dla każdej liczby \(a\) zachodzi:
1. \(log _{a} 1 = 0\)
2. \(log _{a} a = 1\)
Pierwszy fakt wynika z tego, że jakakolwiek liczba podniesiona do potęgi zerowej daje 1, drugi natomiast jest równoważny temu, że liczba podniesiona do potęgi o wykładniku 1 nie zmienia swojej wartości.
Logarytm - to zadanie rozwiąż samodzielnie
Podaj wartość następujących logarytmów:
a) \(log _{3} \sqrt{3} \),
b) \(log_{1/2} 4\),
c) \(log_{2} 1024\),
d) \(log_{3} 27\).
[Odpowiedzi: a) \( \frac{1}{2} \), b) \(-2\), c) \(10\), d) \(3\).]