Logarytmem naturalnym nazywamy logarytm o podstawie \(e\) (liczba Eulera) i oznaczamy \(\ln x\) (tzn. zamiast pisać \(\log _{e} x\) piszemy po prostu \(\ln x\)).
Dziedziną logarytmu są liczby dodatnie, wartościami liczby rzeczywiste.
Dla logarytmu naturalnego zachodzą oczywiście wszystkie własności zachodzące dla logarytmów, w szczególności więc
\(\ln (xy) = \ln x+\ln y\).
Ponadto jeśli \(x>y\) to również \(\ln x > \ln y\) o czym możemy się przekonać z wykresu funkcji \(f(x) = \ln x\).
Prawdziwe są następujące równości:
\(\ln e =1\)
\(\ln 1 = 0\)
\(e ^{\ln x} =x\)
W szczególności istotny jest powyższy wzór, który udowodnimy. Nałóżmy obustronnie logarytm naturalny:
\(\ln (e ^{\ln x}) =\ln (x)\)
\(\ln e ^{\ln x} =\ln x\)
Skorzystajmy teraz z praw działań na logarytmach wyłączając wykładnik potęgi przed logarytm.
\(\ln x \ln e =\ln x\)
A ponieważ \(\ln e =1\) dostajemy równanie tożsamościowe, skąd wynika, że przedstawiony wzór jest prawdziwy.
Logarytm naturalny może być wyrażony przy pomocy granicy:
\(\ln a = \lim_{x \to 0} \frac{a^x -1}{x} \).