Na stronie używamy cookies. Korzystanie z witryny oznacza zgodę na ich wykorzystywanie. Szczegóły znajdziesz w Regulaminie.
ZAMKNIJ X

Logarytm naturalny

Ostatnio komentowane
19 maja została ścięta !
Pauline • 2019-08-22 06:47:17
Ma to swoje praktyczne konsekwencje w kościelnym procesie o nieważność małżeństwa ...
Arletta Bolesta • 2019-08-21 14:21:44
Tekst zapewne zredagowany przez historyka. Tak naprawdę nic na temat rewolucyjnych osiąg...
furiat • 2019-08-15 11:10:28
Szkoda że nie ma zdań a tak poza tym to fajna strona
Nie kumata862 • 2019-08-06 19:59:23
Sorry, ale to nie jest o tańcu śmierci, tylko o "Rozmowie..." w ogóle.
Andr • 2019-07-30 10:51:02
Autor:
Drukuj
Drukuj
Rozmiar
AAA

Logarytmem naturalnym nazywamy logarytm o podstawie e (liczba Eulera) i oznaczamy \ln x (tzn. zamiast pisać \log _{e} x piszemy po prostu \ln x).

Dziedziną logarytmu są liczby dodatnie, wartościami liczby rzeczywiste.

Dla logarytmu naturalnego zachodzą oczywiście wszystkie własności zachodzące dla logarytmów, w szczególności więc

\ln (xy) = \ln x+\ln y.

Ponadto jeśli x>y to również \ln x > \ln y o czym możemy się przekonać z wykresu funkcji f(x) = \ln x.

Logarytm naturalny

Prawdziwe są następujące równości:

\ln e =1

\ln 1 = 0

e ^{\ln x} =x

W szczególności istotny jest powyższy wzór, który udowodnimy. Nałóżmy obustronnie logarytm naturalny:

\ln (e ^{\ln x}) =\ln (x)

\ln e ^{\ln x} =\ln x

Skorzystajmy teraz z praw działań na logarytmach wyłączając wykładnik potęgi przed logarytm.

\ln x \ln e =\ln x

A ponieważ \ln e =1 dostajemy równanie tożsamościowe, skąd wynika, że przedstawiony wzór jest prawdziwy.

Logarytm naturalny może być wyrażony przy pomocy granicy:

\ln a = \lim_{x \to  0}  \frac{a^x -1}{x} .

Polecamy również:

Komentarze (0)
1 + 2 =
echo $this->Html->script('core.min'); echo $this->Html->script('blockadblock.js'); echo $this->Html->script('fancybox/jquery.fancybox-1.3.4.min'); echo $this->Html->css('/js/fancybox/jquery.fancybox-1.3.4.min'); echo $this->Html->script('jnice/jquery.jNice', array('async' => 'async')); echo $this->Html->css('/js/jnice/jNice.min');