Na stronie używamy cookies. Korzystanie z witryny oznacza zgodę na ich wykorzystywanie. Szczegóły znajdziesz w Regulaminie.
ZAMKNIJ X

Logarytm naturalny

Ostatnio komentowane
xDDDDDDDDDDDD
xDDDDDDDDDDDDD • 2019-10-19 07:58:53
wew
wewe • 2019-10-17 19:56:19
No elo
Elo • 2019-10-16 18:14:00
nie fajne
wertyuiop[] • 2019-10-16 16:41:14
Podobno pan Erwin oprócz żony miał wiele związków nieformalnych z innymi kobietami. R...
Marcin • 2019-10-16 12:12:31
Autor:
Drukuj
Drukuj
Rozmiar
AAA

Logarytmem naturalnym nazywamy logarytm o podstawie e (liczba Eulera) i oznaczamy \ln x (tzn. zamiast pisać \log _{e} x piszemy po prostu \ln x).

Dziedziną logarytmu są liczby dodatnie, wartościami liczby rzeczywiste.

Dla logarytmu naturalnego zachodzą oczywiście wszystkie własności zachodzące dla logarytmów, w szczególności więc

\ln (xy) = \ln x+\ln y.

Ponadto jeśli x>y to również \ln x > \ln y o czym możemy się przekonać z wykresu funkcji f(x) = \ln x.

Logarytm naturalny

Prawdziwe są następujące równości:

\ln e =1

\ln 1 = 0

e ^{\ln x} =x

W szczególności istotny jest powyższy wzór, który udowodnimy. Nałóżmy obustronnie logarytm naturalny:

\ln (e ^{\ln x}) =\ln (x)

\ln e ^{\ln x} =\ln x

Skorzystajmy teraz z praw działań na logarytmach wyłączając wykładnik potęgi przed logarytm.

\ln x \ln e =\ln x

A ponieważ \ln e =1 dostajemy równanie tożsamościowe, skąd wynika, że przedstawiony wzór jest prawdziwy.

Logarytm naturalny może być wyrażony przy pomocy granicy:

\ln a = \lim_{x \to  0}  \frac{a^x -1}{x} .

Polecamy również:

Komentarze (0)
4 + 1 =