Logarytm naturalny

Logarytmem naturalnym nazywamy logarytm o podstawie e (liczba Eulera) i oznaczamy \ln x (tzn. zamiast pisać \log _{e} x piszemy po prostu \ln x).

Dziedziną logarytmu są liczby dodatnie, wartościami liczby rzeczywiste.

Dla logarytmu naturalnego zachodzą oczywiście wszystkie własności zachodzące dla logarytmów, w szczególności więc

\ln (xy) = \ln x+\ln y.

Ponadto jeśli x>y to również \ln x > \ln y o czym możemy się przekonać z wykresu funkcji f(x) = \ln x.

Logarytm naturalny

Prawdziwe są następujące równości:

\ln e =1

\ln 1 = 0

e ^{\ln x} =x

W szczególności istotny jest powyższy wzór, który udowodnimy. Nałóżmy obustronnie logarytm naturalny:

\ln (e ^{\ln x}) =\ln (x)

\ln e ^{\ln x} =\ln x

Skorzystajmy teraz z praw działań na logarytmach wyłączając wykładnik potęgi przed logarytm.

\ln x \ln e =\ln x

A ponieważ \ln e =1 dostajemy równanie tożsamościowe, skąd wynika, że przedstawiony wzór jest prawdziwy.

Logarytm naturalny może być wyrażony przy pomocy granicy:

\ln a = \lim_{x \to  0}  \frac{a^x -1}{x} .

Polecamy również:

Komentarze (0)
Wynik działania 4 + 2 =
Ostatnio komentowane
I cóż miał rację Marek Aureliusz który chciał podbić Germanię uderzeniem przez Mor...
• 2024-07-06 19:45:33
"Treść wiersza bezpośrednio nawiązuje też do istniejących wówczas, tajnych układó...
• 2024-07-02 05:43:44
O tym, że zmienne w czasie pole elektryczne jest źródłem pola magnetycznego, napisał ...
• 2024-06-27 07:25:33
ok
• 2024-06-05 13:52:17
nadal nie umiem tego napisać
• 2024-06-04 10:48:42