Logarytmy mają następujące własności:
(1) \(log_{a} b + log_{a}c = log_{a}(b \cdot c)\)
(2) \(log_{a} b - log_{a}c = log_{a}( \frac{b}{c} )\)
(3) \(log_{a}b^{c} = c \cdot log_{a}b\)
(4) \(log_{a}b = \frac{1}{log_{b}a} \) \( \Rightarrow \) \(log_{a}b \cdot log_{b}a = 1\)
(5) \( \frac{log_{a}b}{log_{a}c} = log_{c}b\) (wzór na zamianę podstawy logarytmu)
Przykład:
(1) \(log_{2} 8 + log_{2}16 = log_{2}(8 \cdot 16) = log_{2}(2^{3} \cdot 2^{4}) = log_{2}(2^{7}) = 7\)
(2) \(log_{2} 8 - log_{2}16 = log_{2}( \frac{8}{16}) = log_{2}(\frac{1}{2}) = log_{2}(2^{-1}) = -1\)
(3) \(log_{5}2^{4} = 4 \cdot log_{5}2\)
(4) \(log_{9}3 = \frac{1}{log_{3}9} = \frac{1}{2} \)
(5) \( \frac{log_{3}8}{log_{3}2} = log_{2}8 = 3\)
Zadanie:
Obliczyć, korzystając z własności logarytmów:
a) \(2log_{ \sqrt{3}} 5-log_{ \sqrt{3} }75\),
b) \(log_{ \sqrt{2} } \sqrt{3} \cdot log_{ \sqrt{3} } \sqrt{5} \cdot log_{ \sqrt{5} } \sqrt{2} \),
c) \(log_{2} \sqrt{5} - log_{4} 20\).
Odpowiedzi:
a) -2,
b) 1,
c) -1.