Wzór funkcji liniowej \(y = ax+b\) jest również równaniem kierunkowym prostej będącej wykresem tej funkcji. Funkcja ta może być rosnąca, malejąca lub stała - mówi nam o tym współczynnik kierunkowy, tj. parametr \(a\) stojący przy \(x\).
Funkcja liniowa jest rosnąca jeśli współczynnik kierunkowy jest dodatni:
\(f(x)\) rosnąca \( \Leftrightarrow a>0\).
Funkcja liniowa jest malejąca jeśli współczynnik kierunkowy jest ujemny:
\(f(x)\) malejąca \( \Leftrightarrow a<0\).
Funkcja liniowa jest stała jeśli współczynnik kierunkowy jest równy zero:
\(f(x)\) stała \( \Leftrightarrow a=0\).
Przykłady:
Funkcja rosnąca
Współczynnik kierunkowy \(a = 1\) jest dodatni.
Funkcja malejąca
Współczynnik kierunkowy \(a = -1\) - ujemny.
Funkcja stała
Współczynnik stojący przy \(x\) jest zerowy - dlatego we wzorze funkcji \(f(x) = 2\) pojawia się tylko parametr \(b =2\), nie widzimy parametru \(a\).
Przykład:
Dla jakiego parametru \(m\) funkcja jest rosnąca?
a) \(f(x) = (m-1)x+5\),
b) \(f(x) = -3x+2m\).
Rozwiązanie:
Interesuje nas, aby funkcja była rosnąca a zatem jej współczynnik kierunkowy ma być dodatni. Jaki jest współczynnik kierunkowy funkcji w przykładzie a)? Przy \(x\) stoi \((m-1)\) i taki też jest współczynnik kierunkowy tej prostej. Policzmy więc:
\(m-1>0\)
\(m>1\)
A zatem dla wszystkim \(m\) większych od 1 funkcja z przykładu a) jest rosnąca.
Jak wygląda sytuacja w przykładzie b)? Tutaj współczynnikiem kierunkowym jest liczba \(-3\), a zatem liczba ujemna. Niezależnie od tego co podstawimy za \(m\) (pojawiające się we wzorze dalej) funkcja i tak będzie malejąca. A więc nie ma takich wartości parametru \(m\), dla których funkcjia jest rosnąca, \(m \in \emptyset\).