Funkcje wielomianowe są uogólnieniem funkcji liniowych i kwadratowych na kombinacje zmiennej \(x\) z wykładnikiem dowolnego stopnia.
Postacią analityczną funkcji wielomianowej jest wyrażenie \(f(x) = a_nx^n + ...+ a_1+a_0\).
W zależności od stopnia stojącego przy najwyższej potędze zmiennej \(x\) wykres funkcji wielomianowej może mieć różną postać.
Funkcja wielomianowa może mieć co najwyżej tyle miejsc zerowych ile wynosi stopień przy najwyższej potędze zmiennej \(x\). Ich wyznaczanie sprowadza się do rozwiązania równania wielomianowego postaci \(f(x) = 0\).
Każde miejsce zerowe funkcji wielomianowej jest jednocześnie pierwiastkiem wielomianu określającego tą funkcję.
Wykres funkcji rysujemy od prawej strony pamiętając o tym, by zaczynać rysowanie od góry jeśli współczynnik stojący przy najwyższej potędze zmiennej \(x\) jest dodatni, natomiast od dołu w przeciwnym przypadku. Rysując wykres funkcji wielomianowej należy pamiętać o krotności pierwiastków wielomianu - gdy pierwiastek jest parzystej krotności wykres „odbija się” od osi.
Istotny jest także fakt, że rysując wykres funkcji wielomianowej przy pomocy metod elementarnych (tj. bez wykorzystania rachunku różniczkowego) ograniczyć się możemy właściwie tylko do zaznaczenia miejsc zerowych oraz obszarów, gdy wykres jest ponad osią bądź poniżej niej. Metody elementarne nie umożliwiają większej szczegółowości.
Funkcja wielomianowa jest niemonotoniczna, ale można wyróżnić przedziały jej monotoniczności (dokładniej - każde ekstremum funkcji - tj. jej maksimum lub minimum - wyznacza miejsce, gdzie funkcja zmienia swoją monotoniczność).
Funkcja wielomianowa może być ograniczona tylko z jednej strony bądź nieograniczona - nigdy natomiast nie będzie ograniczona z obu stron.
Funkcja wielomianowa jest także nieróżnowartościowa.
Przykład:
Funkcja \(f(x) = x^4 -2x^2 -5x+6\) ma trzy miejsca zerowe: \(x_1 = -2\), \(x_2 = 1\), \(x_3 = 3\).
Jej wykres ma postać:
Zadanie:
Narysować wykres funkcji \(f(x) = x^4 - 7x^3 + 6x^2 + 28x-40\).
Odpowiedzi:
