Funkcją wymierną nazywamy funkcję postaci \(f(x)= \frac{W(x)}{V(x)} \), gdzie \(W(x)\), \(V(x)\) są wielomianami (\(V(x)\) niezerowy), a zatem jest to funkcja będąca ilorazem dwóch funkcji wielomianowych.
Dziedziną funkcji \(f(x)\) jest dziedzina funkcji \(W(x)\) pomniejszona o pierwiastki funkcji \(V(x)\).
Najprostszą funkcją wymierną jest funkcja \(f(x) = \frac{a}{x} \), gdzie \(a \in \mathbb {R}\). W tym przypadku licznikiem jest wielomian stopnia zero (funkcja stała), zaś mianownikiem wielomian pierwszego stopnia.
Wykresem funkcji \(f(x) = \frac{a}{x} \) jest składająca się z dwóch ramion krzywa nazywana hiperbolą.
Jak widać z powyższego rysunku dla funkcji tej postaci dziedziną zawsze będzie zbiór liczb rzeczywistych z wyłączeniem zera. Dowolne przesunięcie funkcji \(f(x) = \frac{a}{x} \) o wektor zmodyfikuje dziedzinę ale zawsze będzie ona postaci \((- \infty ;p) \cup (p; +\infty )\) (lub równoważnie: \(\mathbb{ R} \setminus \{p\}\)), gdzie \(p\) jest \(x\)-ową współrzędną wektora przesunięcia.
Przykład:
Funkcja \(f(x) = \frac{2}{x} \) przesunięta o wektor \([1,0]\) będzie mieć dziedzinę \(\mathbb{ R} \setminus \{1\}\).
Własności funkcji \(f(x) = \frac{a}{x} \)
Funkcja postaci \(f(x) = \frac{a}{x} \) nie ma miejsc zerowych, jest różnowartościowa, przedziałami monotoniczna (tj. na przedziale każdego z ramion malejąca jeśli \(a\) jest dodatnie jak na powyższych rysunkach lub na przedziale każdego z ramion malejąca jeśli \(a\) jest ujemne), posiada asymptoty poziomą \(y=0\) oraz pionową \(x=0\). Jak zostało już wskazane, dziedziną funkcji jest zbiór \(\mathbb{ R} \setminus \{0\}\), podobnie zbiorem wartości jest zbiór \(\mathbb{ R} \setminus \{0\}\).
Funkcję \(f(x) = \frac{a}{x} \) można oczywiście przekształcać podobnie jak inne funkcje.
Przesunięcie jej o wektor \([p,q]\) zmienia równania jej asymptot na \(x=p\), \(y=q\), dziedzinę na \(\mathbb{ R} \setminus \{p\}\), zbiór wartości na \(\mathbb{ R} \setminus \{q\}\). Różnowartościowość ani monotoniczność nie ulegają zmianie. Jeśli \(q \neq 0\) funkcja mieć będzie miejsce zerowe.
Inne funkcje wymierne
Inne przykładowe funkcje wymierne to \(f(x)= \frac{x}{x-1} \), \(g(x) = \frac{x-2}{(x+1)(x-3)} \), \(h(x)= \frac{x^2+3x-5}{x^2-6x+9} \), itd. Wyznaczenie ich dziedziny polega na wykluczeniu ze zbioru liczb rzeczywistych tych argumentów, które zerują mianownik. Dla podanych tu funkcji są to odpowiednio \(1\) dla \(f(x)\), \(-1\) i \(3\) dla \(g(x)\) oraz \(-3\) dla \(h(x)\).
Szczególnym przykładem funkcji wymiernej jest funkcja homograficzna.
Funkcja będąca sumą funkcji wymiernych sama również jest funkcją wymierną.
Przykład:
Znajdziemy funkcję będącą sumą funkcji \(f(x)= \frac{x}{x-1} \) i \(g(x) = \frac{x-2}{(x+1)(x-3)} \). W tym celu sprowadzimy obie funkcje do wspólnego mianownika będącego iloczynem mianowników obu funkcji.
\( \frac{x}{x-1} + \frac{x-2}{(x+1)(x-3)} = \frac{x}{x-1} \cdot \frac{(x+1)(x-3)}{(x+1)(x-3)} + \frac{x-2}{(x+1)(x-3)} \cdot \frac{x-1}{x-1}=\)
\( \frac{x(x+1)(x-3)}{(x-1)(x+1)(x-3)} + \frac{(x-2)(x-1)}{(x+1)(x-3)(x-1)} = \frac{x(x+1)(x-3)+(x-2)(x-1)}{(x+1)(x-3)(x-1)} = \)
\( \frac{x(x^2+x-3x-3)+(x^2-x-2x+2)}{(x+1)(x-3)(x-1)} = \frac{x^3-2x^2-3x+x^2-3x+2}{(x+1)(x-3)(x-1)} =\)
\( \frac{x^3-x^2-6x+2}{(x+1)(x-3)(x-1)} \)