Funkcja wymierna - własności funkcji, przykłady

Funkcją wymierną nazywamy funkcję postaci $f(x)= \frac{W(x)}{V(x)}$ , gdzie $W(x)$ , $V(x)$ są wielomianami ( $V(x)$ niezerowy), a zatem jest to funkcja będąca ilorazem dwóch funkcji wielomianowych.

Dziedziną funkcji $f(x)$ jest dziedzina funkcji $W(x)$ pomniejszona o pierwiastki funkcji $V(x)$ .

Najprostszą funkcją wymierną jest funkcja $f(x) = \frac{a}{x}$ , gdzie $a \in \mathbb {R}$ . W tym przypadku licznikiem jest wielomian stopnia zero (funkcja stała), zaś mianownikiem wielomian pierwszego stopnia.

Wykresem funkcji $f(x) = \frac{a}{x}$ jest składająca się z dwóch ramion krzywa nazywana hiperbolą.

Funkcja wymierna

Jak widać z powyższego rysunku dla funkcji tej postaci dziedziną zawsze będzie zbiór liczb rzeczywistych z wyłączeniem zera. Dowolne przesunięcie funkcji $f(x) = \frac{a}{x}$ o wektor zmodyfikuje dziedzinę ale zawsze będzie ona postaci $(- \infty ;p) \cup (p; +\infty )$ (lub równoważnie: $\mathbb{ R} \setminus \{p\}$ ), gdzie $p$ jest $x$ -ową współrzędną wektora przesunięcia.

Przykład:

Funkcja $f(x) = \frac{2}{x}$ przesunięta o wektor $[1,0]$ będzie mieć dziedzinę $\mathbb{ R} \setminus \{1\}$ .

Funkcja wymierna

Własności funkcji $f(x) = \frac{a}{x}$

Funkcja postaci $f(x) = \frac{a}{x}$ nie ma miejsc zerowych, jest różnowartościowa, przedziałami monotoniczna (tj. na przedziale każdego z ramion malejąca jeśli $a$ jest dodatnie jak na powyższych rysunkach lub na przedziale każdego z ramion malejąca jeśli $a$ jest ujemne), posiada asymptoty poziomą $y=0$ oraz pionową $x=0$ . Jak zostało już wskazane, dziedziną funkcji jest zbiór $\mathbb{ R} \setminus \{0\}$ , podobnie zbiorem wartości jest zbiór $\mathbb{ R} \setminus \{0\}$ .

Funkcję $f(x) = \frac{a}{x}$ można oczywiście przekształcać podobnie jak inne funkcje.

Przesunięcie jej o wektor $[p,q]$ zmienia równania jej asymptot na $x=p$ , $y=q$ , dziedzinę na $\mathbb{ R} \setminus \{p\}$ , zbiór wartości na $\mathbb{ R} \setminus \{q\}$ . Różnowartościowość ani monotoniczność nie ulegają zmianie. Jeśli $q \neq 0$ funkcja mieć będzie miejsce zerowe.

Inne funkcje wymierne

Inne przykładowe funkcje wymierne to $f(x)= \frac{x}{x-1}$ , $g(x) = \frac{x-2}{(x+1)(x-3)}$ , $h(x)= \frac{x^2+3x-5}{x^2-6x+9}$ , itd. Wyznaczenie ich dziedziny polega na wykluczeniu ze zbioru liczb rzeczywistych tych argumentów, które zerują mianownik. Dla podanych tu funkcji są to odpowiednio $1$ dla $f(x)$ , $-1$ i $3$ dla $g(x)$ oraz $-3$ dla $h(x)$ .

Szczególnym przykładem funkcji wymiernej jest funkcja homograficzna.

Funkcja będąca sumą funkcji wymiernych sama również jest funkcją wymierną.

Przykład:

Znajdziemy funkcję będącą sumą funkcji $f(x)= \frac{x}{x-1}$ i $g(x) = \frac{x-2}{(x+1)(x-3)}$ . W tym celu sprowadzimy obie funkcje do wspólnego mianownika będącego iloczynem mianowników obu funkcji.

$\frac{x}{x-1} + \frac{x-2}{(x+1)(x-3)} = \frac{x}{x-1} \cdot \frac{(x+1)(x-3)}{(x+1)(x-3)} + \frac{x-2}{(x+1)(x-3)} \cdot \frac{x-1}{x-1}=$