Funkcją wymierną nazywamy funkcję postaci , gdzie
,
są wielomianami (
niezerowy), a zatem jest to funkcja będąca ilorazem dwóch funkcji wielomianowych.
Dziedziną funkcji jest dziedzina funkcji
pomniejszona o pierwiastki funkcji
.
Najprostszą funkcją wymierną jest funkcja , gdzie
. W tym przypadku licznikiem jest wielomian stopnia zero (funkcja stała), zaś mianownikiem wielomian pierwszego stopnia.
Wykresem funkcji jest składająca się z dwóch ramion krzywa nazywana hiperbolą.
Jak widać z powyższego rysunku dla funkcji tej postaci dziedziną zawsze będzie zbiór liczb rzeczywistych z wyłączeniem zera. Dowolne przesunięcie funkcji o wektor zmodyfikuje dziedzinę ale zawsze będzie ona postaci
(lub równoważnie:
), gdzie
jest
-ową współrzędną wektora przesunięcia.
Przykład:
Funkcja przesunięta o wektor
będzie mieć dziedzinę
.
Własności funkcji %20%3D%20%20%5Cfrac%7Ba%7D%7Bx%7D%20)
Funkcja postaci nie ma miejsc zerowych, jest różnowartościowa, przedziałami monotoniczna (tj. na przedziale każdego z ramion malejąca jeśli
jest dodatnie jak na powyższych rysunkach lub na przedziale każdego z ramion malejąca jeśli
jest ujemne), posiada asymptoty poziomą
oraz pionową
. Jak zostało już wskazane, dziedziną funkcji jest zbiór
, podobnie zbiorem wartości jest zbiór
.
Funkcję można oczywiście przekształcać podobnie jak inne funkcje.
Przesunięcie jej o wektor zmienia równania jej asymptot na
,
, dziedzinę na
, zbiór wartości na
. Różnowartościowość ani monotoniczność nie ulegają zmianie. Jeśli
funkcja mieć będzie miejsce zerowe.
Inne funkcje wymierne
Inne przykładowe funkcje wymierne to ,
,
, itd. Wyznaczenie ich dziedziny polega na wykluczeniu ze zbioru liczb rzeczywistych tych argumentów, które zerują mianownik. Dla podanych tu funkcji są to odpowiednio
dla
,
i
dla
oraz
dla
.
Szczególnym przykładem funkcji wymiernej jest funkcja homograficzna.
Funkcja będąca sumą funkcji wymiernych sama również jest funkcją wymierną.
Przykład:
Znajdziemy funkcję będącą sumą funkcji i
. W tym celu sprowadzimy obie funkcje do wspólnego mianownika będącego iloczynem mianowników obu funkcji.