Funkcja wymierna - własności funkcji, przykłady

Funkcją wymierną nazywamy funkcję postaci $f(x)= \frac{W(x)}{V(x)}$, gdzie $W(x)$, $V(x)$ są wielomianami ($V(x)$ niezerowy), a zatem jest to funkcja będąca ilorazem dwóch funkcji wielomianowych.

Dziedziną funkcji $f(x)$ jest dziedzina funkcji $W(x)$ pomniejszona o pierwiastki funkcji $V(x)$.

Najprostszą funkcją wymierną jest funkcja $f(x) = \frac{a}{x}$, gdzie $a \in \mathbb {R}$. W tym przypadku licznikiem jest wielomian stopnia zero (funkcja stała), zaś mianownikiem wielomian pierwszego stopnia.

Wykresem funkcji $f(x) = \frac{a}{x}$ jest składająca się z dwóch ramion krzywa nazywana hiperbolą.

Jak widać z powyższego rysunku dla funkcji tej postaci dziedziną zawsze będzie zbiór liczb rzeczywistych z wyłączeniem zera. Dowolne przesunięcie funkcji $f(x) = \frac{a}{x}$ o wektor zmodyfikuje dziedzinę ale zawsze będzie ona postaci $(- \infty ;p) \cup (p; +\infty )$ (lub równoważnie: $\mathbb{ R} \setminus \{p\}$), gdzie $p$ jest $x$-ową współrzędną wektora przesunięcia.

Przykład:

Funkcja $f(x) = \frac{2}{x}$ przesunięta o wektor $[1,0]$ będzie mieć dziedzinę $\mathbb{ R} \setminus \{1\}$.

Własności funkcji $f(x) = \frac{a}{x}$

Funkcja postaci $f(x) = \frac{a}{x}$ nie ma miejsc zerowych, jest różnowartościowa, przedziałami monotoniczna (tj. na przedziale każdego z ramion malejąca jeśli $a$ jest dodatnie jak na powyższych rysunkach lub na przedziale każdego z ramion malejąca jeśli $a$ jest ujemne), posiada asymptoty poziomą $y=0$ oraz pionową $x=0$. Jak zostało już wskazane, dziedziną funkcji jest zbiór $\mathbb{ R} \setminus \{0\}$, podobnie zbiorem wartości jest zbiór $\mathbb{ R} \setminus \{0\}$.

 

Funkcję $f(x) = \frac{a}{x}$ można oczywiście przekształcać podobnie jak inne funkcje.

Przesunięcie jej o wektor $[p,q]$ zmienia równania jej asymptot na $x=p$, $y=q$, dziedzinę na $\mathbb{ R} \setminus \{p\}$, zbiór wartości na $\mathbb{ R} \setminus \{q\}$. Różnowartościowość ani monotoniczność nie ulegają zmianie. Jeśli $q \neq 0$ funkcja mieć będzie miejsce zerowe.

 

Inne funkcje wymierne

Inne przykładowe funkcje wymierne to $f(x)= \frac{x}{x-1}$, $g(x) = \frac{x-2}{(x+1)(x-3)}$, $h(x)= \frac{x^2+3x-5}{x^2-6x+9}$, itd. Wyznaczenie ich dziedziny polega na wykluczeniu ze zbioru liczb rzeczywistych tych argumentów, które zerują mianownik. Dla podanych tu funkcji są to odpowiednio $1$ dla $f(x)$, $-1$ i $3$ dla $g(x)$ oraz $-3$ dla $h(x)$.

Szczególnym przykładem funkcji wymiernej jest funkcja homograficzna.

 

Funkcja będąca sumą funkcji wymiernych sama również jest funkcją wymierną.

Przykład:

Znajdziemy funkcję będącą sumą funkcji $f(x)= \frac{x}{x-1}$ i $g(x) = \frac{x-2}{(x+1)(x-3)}$. W tym celu sprowadzimy obie funkcje do wspólnego mianownika będącego iloczynem mianowników obu funkcji.

$\frac{x}{x-1} + \frac{x-2}{(x+1)(x-3)} = \frac{x}{x-1} \cdot \frac{(x+1)(x-3)}{(x+1)(x-3)} + \frac{x-2}{(x+1)(x-3)} \cdot \frac{x-1}{x-1}=$

$\frac{x(x+1)(x-3)}{(x-1)(x+1)(x-3)} + \frac{(x-2)(x-1)}{(x+1)(x-3)(x-1)} = \frac{x(x+1)(x-3)+(x-2)(x-1)}{(x+1)(x-3)(x-1)} =$

$\frac{x(x^2+x-3x-3)+(x^2-x-2x+2)}{(x+1)(x-3)(x-1)} = \frac{x^3-2x^2-3x+x^2-3x+2}{(x+1)(x-3)(x-1)} =$

$\frac{x^3-x^2-6x+2}{(x+1)(x-3)(x-1)}$