Funkcja wymierna - własności funkcji, przykłady

Funkcją wymierną nazywamy funkcję postaci f(x)= \frac{W(x)}{V(x)} , gdzie W(x), V(x) są wielomianami (V(x) niezerowy), a zatem jest to funkcja będąca ilorazem dwóch funkcji wielomianowych.

Dziedziną funkcji f(x) jest dziedzina funkcji W(x) pomniejszona o pierwiastki funkcji V(x).

Najprostszą funkcją wymierną jest funkcja f(x) =  \frac{a}{x} , gdzie a \in \mathbb {R}. W tym przypadku licznikiem jest wielomian stopnia zero (funkcja stała), zaś mianownikiem wielomian pierwszego stopnia.

Wykresem funkcji f(x) =  \frac{a}{x} jest składająca się z dwóch ramion krzywa nazywana hiperbolą.

Funkcja wymierna

Jak widać z powyższego rysunku dla funkcji tej postaci dziedziną zawsze będzie zbiór liczb rzeczywistych z wyłączeniem zera. Dowolne przesunięcie funkcji f(x) =  \frac{a}{x} o wektor zmodyfikuje dziedzinę ale zawsze będzie ona postaci (- \infty ;p) \cup (p; +\infty ) (lub równoważnie: \mathbb{ R}  \setminus \{p\}), gdzie p jest x-ową współrzędną wektora przesunięcia.

Przykład:

Funkcja f(x) =  \frac{2}{x} przesunięta o wektor [1,0] będzie mieć dziedzinę \mathbb{ R}  \setminus \{1\}.

Funkcja wymierna

Własności funkcji f(x) =  \frac{a}{x}

Funkcja postaci f(x) =  \frac{a}{x} nie ma miejsc zerowych, jest różnowartościowa, przedziałami monotoniczna (tj. na przedziale każdego z ramion malejąca jeśli a jest dodatnie jak na powyższych rysunkach lub na przedziale każdego z ramion malejąca jeśli a jest ujemne), posiada asymptoty poziomą y=0 oraz pionową x=0. Jak zostało już wskazane, dziedziną funkcji jest zbiór \mathbb{ R}  \setminus \{0\}, podobnie zbiorem wartości jest zbiór \mathbb{ R}  \setminus \{0\}.

 

Funkcję f(x) =  \frac{a}{x} można oczywiście przekształcać podobnie jak inne funkcje.

Przesunięcie jej o wektor [p,q] zmienia równania jej asymptot na x=p, y=q, dziedzinę na \mathbb{ R}  \setminus \{p\}, zbiór wartości na \mathbb{ R}  \setminus \{q\}. Różnowartościowość ani monotoniczność nie ulegają zmianie. Jeśli q \neq 0 funkcja mieć będzie miejsce zerowe.

 

Inne funkcje wymierne

Inne przykładowe funkcje wymierne to f(x)= \frac{x}{x-1} , g(x) =  \frac{x-2}{(x+1)(x-3)} , h(x)= \frac{x^2+3x-5}{x^2-6x+9} , itd. Wyznaczenie ich dziedziny polega na wykluczeniu ze zbioru liczb rzeczywistych tych argumentów, które zerują mianownik. Dla podanych tu funkcji są to odpowiednio 1 dla f(x), -1 i 3 dla g(x) oraz -3 dla h(x).

Szczególnym przykładem funkcji wymiernej jest funkcja homograficzna.

 

Funkcja będąca sumą funkcji wymiernych sama również jest funkcją wymierną.

Przykład:

Znajdziemy funkcję będącą sumą funkcji f(x)= \frac{x}{x-1} i g(x) =  \frac{x-2}{(x+1)(x-3)} . W tym celu sprowadzimy obie funkcje do wspólnego mianownika będącego iloczynem mianowników obu funkcji.

 \frac{x}{x-1} + \frac{x-2}{(x+1)(x-3)} =
 \frac{x}{x-1} \cdot  \frac{(x+1)(x-3)}{(x+1)(x-3)}  + \frac{x-2}{(x+1)(x-3)}  \cdot  \frac{x-1}{x-1}=


 \frac{x(x+1)(x-3)}{(x-1)(x+1)(x-3)} + \frac{(x-2)(x-1)}{(x+1)(x-3)(x-1)} =
 \frac{x(x+1)(x-3)+(x-2)(x-1)}{(x+1)(x-3)(x-1)} =


 \frac{x(x^2+x-3x-3)+(x^2-x-2x+2)}{(x+1)(x-3)(x-1)} =
 \frac{x^3-2x^2-3x+x^2-3x+2}{(x+1)(x-3)(x-1)} =

 \frac{x^3-x^2-6x+2}{(x+1)(x-3)(x-1)}

Polecamy również:

Komentarze (0)
Wynik działania 2 + 5 =
Ostatnio komentowane
zero
• 2022-12-03 22:06:32
o
• 2022-12-03 10:47:16
ok
• 2022-12-02 16:29:38
dzięki
• 2022-11-28 16:21:19
ok
• 2022-11-25 15:27:39