Szczególnym przypadkiem funkcji wymiernej jest funkcja homograficzna.
Funkcja homograficzna to funkcja wymierna postaci \(f(x)= \frac{ax+b}{cx+d} \), przy czym \(ad-bc \neq 0\) oraz \(c \neq 0\).
A zatem jest to funkcja wymierna, której zarówno licznik jak i mianownik są wielomianami liniowymi (funkcjami liniowymi).
Warunek \(ad-bc \neq 0\) zapewnia, że \(f(x)\) nie zredukuje się do funkcji stałej, natomiast warunek \(c \neq 0\) gwarantuje, że \(f(x)\) nie będzie liniowa.
Własności funkji homograficznej
Dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych z wyłączeniem miejsca zerowego mianownika, tj. \(\mathbb{ R } \setminus \{- \frac{d}{c} \}\).
Zbiorem wartości jest zbiór liczb rzeczywistych oprócz \( \frac{a}{c} \), zatem \(\mathbb{ R } \setminus \{ \frac{a}{c} \}\).
Jest różnowartościowa, ciągła w całej dziedzinie oraz przedziałami monotoniczna (nie jest monotoniczna w całej dziedzinie, ze względu na punkt nieciągłości dziedziny \(x= -\frac{d}{c} \)).
Wykresem funkcji homograficznej jest hiperbola.
Posiada asymptoty poziomą \(y = \frac{a}{c} \) oraz pionową \(x= -\frac{d}{c} \).
Przykłady:
Przykładowe funkcje homograficzne oraz ich wykresy: \(f(x) =\frac{2x-1}{x-1} \), \(g(x) =\frac{2x-2}{x-2} \), \(h(x) =\frac{2x-3}{x-3} \).
Funkcja \(f(x) =\frac{2x-1}{x-1} \) ma miejsce zerowe \( \frac{1}{2} \), asymptotę poziomą \(y=2\) oraz pionową \(x=1\).
Funkcja \(g(x) =\frac{2x-2}{x-2} \) ma miejsce zerowe \(1\), asymptotę poziomą \(y=2\) oraz pionową \(x=2\).
Funkcja \(h(x) =\frac{2x-3}{x-3} \) ma miejsce zerowe \( \frac{3}{2}\), asymptotę poziomą \(y=2\) oraz pionową \(x=3\).