Strona główna

/

Matematyka

/

Funkcja homograficzna

Funkcja homograficzna - własności funkcji, przykłady

Szczególnym przypadkiem funkcji wymiernej jest funkcja homograficzna.

Funkcja homograficzna to funkcja wymierna postaci $f(x)= \frac{ax+b}{cx+d}$ , przy czym $ad-bc \neq 0$ oraz $c \neq 0$ .

A zatem jest to funkcja wymierna, której zarówno licznik jak i mianownik są wielomianami liniowymi (funkcjami liniowymi).

Warunek $ad-bc \neq 0$ zapewnia, że $f(x)$ nie zredukuje się do funkcji stałej, natomiast warunek $c \neq 0$ gwarantuje, że $f(x)$ nie będzie liniowa.

Własności funkji homograficznej

Dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych z wyłączeniem miejsca zerowego mianownika, tj. $\mathbb{ R } \setminus \{- \frac{d}{c} \}$ .

Zbiorem wartości jest zbiór liczb rzeczywistych oprócz $\frac{a}{c}$ , zatem $\mathbb{ R } \setminus \{ \frac{a}{c} \}$ .

Jest różnowartościowa, ciągła w całej dziedzinie oraz przedziałami monotoniczna (nie jest monotoniczna w całej dziedzinie, ze względu na punkt nieciągłości dziedziny $x= -\frac{d}{c}$ ).

Wykresem funkcji homograficznej jest hiperbola.

Posiada asymptoty poziomą $y = \frac{a}{c}$ oraz pionową $x= -\frac{d}{c}$ .

Przykłady:

Przykładowe funkcje homograficzne oraz ich wykresy: $f(x) =\frac{2x-1}{x-1}$ , $g(x) =\frac{2x-2}{x-2}$ , $h(x) =\frac{2x-3}{x-3}$ .

Funkcja homograficzna - własności funkcji, przykłady

Funkcja $f(x) =\frac{2x-1}{x-1}$ ma miejsce zerowe $\frac{1}{2}$ , asymptotę poziomą $y=2$ oraz pionową $x=1$ .

Funkcja $g(x) =\frac{2x-2}{x-2}$ ma miejsce zerowe $1$ , asymptotę poziomą $y=2$ oraz pionową $x=2$ .

Funkcja $h(x) =\frac{2x-3}{x-3}$ ma miejsce zerowe $\frac{3}{2}$ , asymptotę poziomą $y=2$ oraz pionową $x=3$ .

Polecamy również:

Funkcje cyklometryczne

Funkcje cyklometryczne są funkcjami odwrotnymi do funkcji trygonometrycznych (ograniczonych do pewnych przedziałów)... Więcej »
Funkcja schodkowa – wzory, przykłady, zadania

Funkcją schodkową nazywamy funkcję, która jest stała na określonych przedziałach. Więcej »
Funkcja trygonometryczna – definicja, wzory, wykres, zadania

Podstawowymi funkcjami trygonometrycznymi są funkcje sinus, cosinus, tangens i cotangens. Więcej »
Funkcja logarytmiczna – definicja, wzory, wykres, przykłady, zadania

Funkcją logarytmiczną jest funkcja zadana przez równanie logarytmiczne. Więcej »
Funkcja wykładnicza – własności, przykłady, wykres, zadania

Funkcja wykładnicza jest funkcją zadaną przez równanie wykładnicze. Więcej »

Komentarze (0)