Funkcja homograficzna - własności funkcji, przykłady

Szczególnym przypadkiem funkcji wymiernej jest funkcja homograficzna.

Funkcja homograficzna to funkcja wymierna postaci f(x)= \frac{ax+b}{cx+d} , przy czym ad-bc \neq 0 oraz c \neq 0.

A zatem jest to funkcja wymierna, której zarówno licznik jak i mianownik są wielomianami liniowymi (funkcjami liniowymi).

Warunek ad-bc \neq 0 zapewnia, że f(x) nie zredukuje się do funkcji stałej, natomiast warunek c \neq 0 gwarantuje, że f(x) nie będzie liniowa.

Własności funkji homograficznej

Dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych z wyłączeniem miejsca zerowego mianownika, tj. \mathbb{ R }  \setminus \{- \frac{d}{c} \}.

Zbiorem wartości jest zbiór liczb rzeczywistych oprócz  \frac{a}{c} , zatem \mathbb{ R }  \setminus \{ \frac{a}{c} \}.

Jest różnowartościowa, ciągła w całej dziedzinie oraz przedziałami monotoniczna (nie jest monotoniczna w całej dziedzinie, ze względu na punkt nieciągłości dziedziny x= -\frac{d}{c} ).

Wykresem funkcji homograficznej jest hiperbola.

Posiada asymptoty poziomą y =  \frac{a}{c} oraz pionową x= -\frac{d}{c} .

Przykłady:

Przykładowe funkcje homograficzne oraz ich wykresy: f(x) =\frac{2x-1}{x-1} , g(x) =\frac{2x-2}{x-2} , h(x) =\frac{2x-3}{x-3} .

Funkcja homograficzna - własności funkcji, przykłady

Funkcja f(x) =\frac{2x-1}{x-1} ma miejsce zerowe  \frac{1}{2} , asymptotę poziomą y=2 oraz pionową x=1.

Funkcja g(x) =\frac{2x-2}{x-2} ma miejsce zerowe 1, asymptotę poziomą y=2 oraz pionową x=2.

Funkcja h(x) =\frac{2x-3}{x-3} ma miejsce zerowe  \frac{3}{2}, asymptotę poziomą y=2 oraz pionową x=3.

Polecamy również:

Komentarze (0)
Wynik działania 1 + 5 =
Ostatnio komentowane
fajne
• 2022-05-21 18:27:45
Lol
• 2022-05-21 10:11:52
Sgshbs svsh shs. Snga s sjsvw. Ajags. Anahsc a smgsvs anshab anhs a naha auacqb w anwvvab ...
• 2022-05-20 14:58:05
Słabe dostałem 1
• 2022-05-19 09:29:27
Bardzo słaba lektura :/
• 2022-05-19 06:45:01