Szczególnym przypadkiem funkcji wymiernej jest funkcja homograficzna.
Funkcja homograficzna to funkcja wymierna postaci , przy czym
oraz
.
A zatem jest to funkcja wymierna, której zarówno licznik jak i mianownik są wielomianami liniowymi (funkcjami liniowymi).
Warunek zapewnia, że
nie zredukuje się do funkcji stałej, natomiast warunek
gwarantuje, że
nie będzie liniowa.
Własności funkji homograficznej
Dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych z wyłączeniem miejsca zerowego mianownika, tj. .
Zbiorem wartości jest zbiór liczb rzeczywistych oprócz , zatem
.
Jest różnowartościowa, ciągła w całej dziedzinie oraz przedziałami monotoniczna (nie jest monotoniczna w całej dziedzinie, ze względu na punkt nieciągłości dziedziny ).
Wykresem funkcji homograficznej jest hiperbola.
Posiada asymptoty poziomą oraz pionową
.
Przykłady:
Przykładowe funkcje homograficzne oraz ich wykresy: ,
,
.
Funkcja ma miejsce zerowe
, asymptotę poziomą
oraz pionową
.
Funkcja ma miejsce zerowe
, asymptotę poziomą
oraz pionową
.
Funkcja ma miejsce zerowe
, asymptotę poziomą
oraz pionową
.