Asymptota

Asymptoty to proste, do których wykres funkcji zbliża się dowolnie blisko ale nigdy ich nie przecina.

Funkcją, która zawsze mieć będzie asymptoty jest funkcja wymierna.

Dla funkcji postaci f(x)= \frac{a}{x} asymptotami będą proste y=0 i x=0 pokrywające się z osiami układu współrzędnych.

Przykład:

Funkcja f(x)= \frac{2}{x} ma asymptoty poziomą y=0 i pionową x=0.

Asymptota

Funkcja wymierna postaci f(x)= \frac{a}{x-p}+q ma asymptoty poziomą y=q i pionową x=p.

Wynika to z przesunięcia wykresu funkcji o wektor [p,q].

Przykład:

Funkcja wymierna f(x)= \frac{a}{x-3}+6 jest przesunięciem funkcji f(x)= \frac{2}{x} o wektor [3,6], a zatem ma asymptoty o równaniach y=6 i x=3.

Asymptota

Do wyznaczania asymptot w bardziej wyrafinowany sposób niż odczytanie ze wzoru funkcji o jaki wektor została przesunięta pomocne są granice.

Twierdzenie

Jeżeli  \lim_{x \to - \infty } f(x)=b to prosta y=b jest asymptotą poziomą lewostronną wykresu funkcji f(x).

Jeżeli  \lim_{x \to + \infty } f(x)=b to prosta y=b jest asymptotą poziomą prawostronną wykresu funkcji f(x).

Jeżeli funkcja posiada tą samą asymptotę lewostronną oraz prawostronną, mówimy o asymptocie obustronnej.

Twierdzenie

Jeżeli x_0 \notin \mathbf{D} oraz  \lim_{x \to x_0{^-} }f(x)=  \pm \infty to prosta x=x_0 jest asymptotą pionową lewostronną wykresu funkcji f(x).

Jeżeli x_0 \notin \mathbf{D} oraz  \lim_{x \to x_0{^+} }f(x)=  \pm \infty to prosta x=x_0 jest asymptotą pionową prawostronną wykresu funkcji f(x).

Jeżeli funkcja posiada tą samą asymptotę lewostronną oraz prawostronną, mówimy o asymptocie obustronnej.

Twierdzenie

Jeżeli  \lim_{x \to - \infty }  \frac{f(x)}{x} =a oraz  \lim_{x \to - \infty } (f(x)-ax)=b to wykres funkcji f(x) posiada asymptotę ukośną lewostronną o równaniu y=ax+b.

Jeżeli  \lim_{x \to + \infty }  \frac{f(x)}{x} =a oraz  \lim_{x \to + \infty } (f(x)-ax)=b to wykres funkcji f(x) posiada asymptotę ukośną prawostronną o równaniu y=ax+b.

Jeżeli funkcja posiada tą samą asymptotę lewostronną oraz prawostronną, mówimy o asymptocie obustronnej.

Twierdzenie:

Jeżeli funkcja posiada asymptotę poziomą prawostronną to może posiadać także asymptotę ukośną lewostronną.

Jeżeli funkcja posiada asymptotę poziomą lewostronną to może posiadać także asymptotę ukośną prawostronną.

Twierdzenie:

Jeżeli funkcja posiada asymptotę poziomą obustronną to nie posiada asymptoty ukośnej.

Przykład:

Niech dana będzie funkcja f(x)= \frac{x^2-3}{x-2} . Wyznaczymy jej asymptoty.

Policzmy na początek granice w nieskończoności.

 \lim_{x \to - \infty } f(x) =\lim_{x \to - \infty }  \frac{x^2-3}{x-2} =
\lim_{x \to - \infty }  \frac{x(x- \frac{3}{x}) }{x(1- \frac{2}{x}) } =- \infty

 \lim_{x \to + \infty } f(x) =\lim_{x \to + \infty }  \frac{x^2-3}{x-2} =
\lim_{x \to + \infty }  \frac{x(x- \frac{3}{x}) }{x(1- \frac{2}{x}) } =+ \infty

A zatem funkcja nie posiada asymptoty poziomej (ani lewostronnej, ani prawostronnej).

Policzmy granice w punkcie wykluczonym z dziedziny (x_0=2 zeruje mianownik).

 \lim_{x \to 2^-} f(x)=
 \lim_{x \to 2^-}  \frac{x^2-3}{x-2} = [\frac{1}{0^-} ]=- \infty

 \lim_{x \to 2^+} f(x)=
 \lim_{x \to 2^+}  \frac{x^2-3}{x-2} = [\frac{1}{0^+} ]=+ \infty

A zatem prosta x=2 jest asymptotą pionową obustronną.

Ponieważ brak jest asymptoty poziomej wyznaczymy asymptotę ukośną.

W tym celu policzmy

a= \lim_{  \pm \to  \infty }  \frac{f(x)}{x} =
\lim_{  \pm \to  \infty }  \frac{x^2-3}{x^2-2x} =
\lim_{  \pm \to  \infty }  \frac{x^2(1- \frac{3}{x^2})}{x^2(1-  \frac{2}{x})} =1

b= \lim_{  \pm \to  \infty }  (f(x)-ax) =
\lim_{  \pm \to  \infty }  (\frac{x^2-3}{x-2}-x) =
\lim_{  \pm \to  \infty }  \frac{x^2-3-x^2+2x}{x-2} =
\lim_{  \pm \to  \infty }  \frac{2x-3}{x-2} =2

A zatem wykres funkcji posiada asymptotę ukośną o równaniu y=x+2.

Rzućmy okiem na wykres funkcji, żeby potwierdzić otrzymane w obliczeniach wyniki.

Asymptota

Polecamy również:

Komentarze (2)
Wynik działania 3 + 2 =
Tom
2023-09-16 11:29:13
Zgadzam się z Mich.
Mich
2021-10-24 10:21:02
"Asymptoty to proste, do których wykres funkcji zbliża się dowolnie blisko ale nigdy ich nie przecina." Istnieje przecież wiele wykresów które przecinają swoje asymptoty, czy to zdanie jest prawdziwe?
Ostatnio komentowane
Ani słowa o czworościanie którego krawędzie, powierzchnie i objętość - są wyrażon...
• 2024-03-04 21:58:56
takie łątwe
• 2024-03-04 15:46:48
"Mianem libertarianizmu zwykło się nazywać najbardziej radykalny nurt liberalizmu." No...
• 2024-03-01 10:11:23
Super i MEGA pomocne!
• 2024-02-28 10:18:34
joł joł jowisz najwiekszy olbrzym gazowy 5 od słonca na pewno nie przeoczysz choć mooj...
• 2024-02-27 14:59:44