Asymptoty to proste, do których wykres funkcji zbliża się dowolnie blisko ale nigdy ich nie przecina.
Funkcją, która zawsze mieć będzie asymptoty jest funkcja wymierna.
Dla funkcji postaci \(f(x)= \frac{a}{x}\) asymptotami będą proste \(y=0\) i \(x=0\) pokrywające się z osiami układu współrzędnych.
Przykład:
Funkcja \(f(x)= \frac{2}{x}\) ma asymptoty poziomą \(y=0\) i pionową \(x=0\).
Funkcja wymierna postaci \(f(x)= \frac{a}{x-p}+q\) ma asymptoty poziomą \(y=q\) i pionową \(x=p\).
Wynika to z przesunięcia wykresu funkcji o wektor \([p,q]\).
Przykład:
Funkcja wymierna \(f(x)= \frac{a}{x-3}+6\) jest przesunięciem funkcji \(f(x)= \frac{2}{x}\) o wektor \([3,6]\), a zatem ma asymptoty o równaniach \(y=6\) i \(x=3\).
Do wyznaczania asymptot w bardziej wyrafinowany sposób niż odczytanie ze wzoru funkcji o jaki wektor została przesunięta pomocne są granice.
Twierdzenie
Jeżeli \( \lim_{x \to - \infty } f(x)=b\) to prosta \(y=b\) jest asymptotą poziomą lewostronną wykresu funkcji \(f(x)\).
Jeżeli \( \lim_{x \to + \infty } f(x)=b\) to prosta \(y=b\) jest asymptotą poziomą prawostronną wykresu funkcji \(f(x)\).
Jeżeli funkcja posiada tą samą asymptotę lewostronną oraz prawostronną, mówimy o asymptocie obustronnej.
Twierdzenie
Jeżeli \(x_0 \notin \mathbf{D}\) oraz \( \lim_{x \to x_0{^-} }f(x)= \pm \infty \) to prosta \(x=x_0\) jest asymptotą pionową lewostronną wykresu funkcji \(f(x)\).
Jeżeli \(x_0 \notin \mathbf{D}\) oraz \( \lim_{x \to x_0{^+} }f(x)= \pm \infty \) to prosta \(x=x_0\) jest asymptotą pionową prawostronną wykresu funkcji \(f(x)\).
Jeżeli funkcja posiada tą samą asymptotę lewostronną oraz prawostronną, mówimy o asymptocie obustronnej.
Twierdzenie
Jeżeli \( \lim_{x \to - \infty } \frac{f(x)}{x} =a\) oraz \( \lim_{x \to - \infty } (f(x)-ax)=b\) to wykres funkcji \(f(x)\) posiada asymptotę ukośną lewostronną o równaniu \(y=ax+b\).
Jeżeli \( \lim_{x \to + \infty } \frac{f(x)}{x} =a\) oraz \( \lim_{x \to + \infty } (f(x)-ax)=b\) to wykres funkcji \(f(x)\) posiada asymptotę ukośną prawostronną o równaniu \(y=ax+b\).
Jeżeli funkcja posiada tą samą asymptotę lewostronną oraz prawostronną, mówimy o asymptocie obustronnej.
Twierdzenie:
Jeżeli funkcja posiada asymptotę poziomą prawostronną to może posiadać także asymptotę ukośną lewostronną.
Jeżeli funkcja posiada asymptotę poziomą lewostronną to może posiadać także asymptotę ukośną prawostronną.
Twierdzenie:
Jeżeli funkcja posiada asymptotę poziomą obustronną to nie posiada asymptoty ukośnej.
Przykład:
Niech dana będzie funkcja \(f(x)= \frac{x^2-3}{x-2} \). Wyznaczymy jej asymptoty.
Policzmy na początek granice w nieskończoności.
\( \lim_{x \to - \infty } f(x) =\lim_{x \to - \infty } \frac{x^2-3}{x-2} = \lim_{x \to - \infty } \frac{x(x- \frac{3}{x}) }{x(1- \frac{2}{x}) } =- \infty \)
\( \lim_{x \to + \infty } f(x) =\lim_{x \to + \infty } \frac{x^2-3}{x-2} = \lim_{x \to + \infty } \frac{x(x- \frac{3}{x}) }{x(1- \frac{2}{x}) } =+ \infty \)
A zatem funkcja nie posiada asymptoty poziomej (ani lewostronnej, ani prawostronnej).
Policzmy granice w punkcie wykluczonym z dziedziny (\(x_0=2\) zeruje mianownik).
\( \lim_{x \to 2^-} f(x)= \lim_{x \to 2^-} \frac{x^2-3}{x-2} = [\frac{1}{0^-} ]=- \infty \)
\( \lim_{x \to 2^+} f(x)= \lim_{x \to 2^+} \frac{x^2-3}{x-2} = [\frac{1}{0^+} ]=+ \infty \)
A zatem prosta \(x=2\) jest asymptotą pionową obustronną.
Ponieważ brak jest asymptoty poziomej wyznaczymy asymptotę ukośną.
W tym celu policzmy
\(a= \lim_{ \pm \to \infty } \frac{f(x)}{x} = \lim_{ \pm \to \infty } \frac{x^2-3}{x^2-2x} = \lim_{ \pm \to \infty } \frac{x^2(1- \frac{3}{x^2})}{x^2(1- \frac{2}{x})} =1\)
\(b= \lim_{ \pm \to \infty } (f(x)-ax) = \lim_{ \pm \to \infty } (\frac{x^2-3}{x-2}-x) = \lim_{ \pm \to \infty } \frac{x^2-3-x^2+2x}{x-2} = \)\(\lim_{ \pm \to \infty } \frac{2x-3}{x-2} =2\)
A zatem wykres funkcji posiada asymptotę ukośną o równaniu \(y=x+2\).
Rzućmy okiem na wykres funkcji, żeby potwierdzić otrzymane w obliczeniach wyniki.
