Granica funkcji w nieskończoności – definicja, przykłady

Def.: Liczba g jest granicą funkcji f:(a,+\infty) \to R w +\infty (tzn.  \lim_{x \to +\infty} f(x) = g), jeśli dla każdego ciągu (x_n) rozbieżnego do +\infty o wyrazach należących do dziedziny funkcji f ciąg (f(x_n)) jest zbieżny do g.

Def.: Liczba g jest granicą funkcji f:(-\infty,a) \to R w -\infty (tzn.  \lim_{x \to -\infty} f(x) = g), jeśli dla każdego ciągu (x_n) rozbieżnego do -\infty o wyrazach należących do dziedziny funkcji f ciąg (f(x_n)) jest zbieżny do g.

Def.: Funkcja f:(a,+\infty) \to R ma w +\infty granicę niewłaściwą +\infty (tzn.  \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty), jeśli dla każdego ciągu (x_n) rozbieżnego do +\infty o wyrazach należących do dziedziny funkcji f ciąg (f(x_n)) jest rozbieżny do +\infty.

Def.: Funkcja f:(a,+\infty) \to R ma w +\infty granicę niewłaściwą -\infty (tzn.  \lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty), jeśli dla każdego ciągu (x_n) rozbieżnego do +\infty o wyrazach należących do dziedziny funkcji f ciąg (f(x_n)) jest rozbieżny do -\infty.    

Def.: Funkcja f:(-\infty,a) \to R ma w  -\infty granicę niewłaściwą +\infty (tzn.  \lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty), jeśli dla każdego ciągu (x_n) rozbieżnego do -\infty o wyrazach należących do dziedziny funkcji f ciąg (f(x_n)) jest rozbieżny do +\infty.    

Def.: Funkcja f:(-\infty,a) \to R ma w -\infty granicę niewłaściwą -\infty (tzn.  \lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty), jeśli dla każdego ciągu (x_n) rozbieżnego do -\infty o wyrazach należących do dziedziny funkcji f ciąg (f(x_n)) jest rozbieżny do -\infty.  

 

Prawdziwe są następujące fakty ułatwiające liczenie granic funkcji (zakładamy cały czas, że n jest liczbą naturalną):

 \lim_{x \to +\infty} x^n = +\infty

 \lim_{x \to -\infty } x^n =  \begin{cases} +\infty  \Leftrightarrow  \operator n jest parzyste
 \\ -\infty  \Leftrightarrow \operator n jest nieparzyste \end{cases}

 

 \lim_{x \to -\infty} \frac1{x^n} = 0 

 \lim_{x \to +\infty} \frac1{x^n} = 0

 \lim_{x \to +\infty}  \sqrt[n]{x} = +\infty 

 \lim_{x \to -\infty}  \sqrt[n]{x} = -\infty (o ile n jest nieparzyste)

  

Zwróćmy uwagę także, że  \lim_{ x\to +\infty } |x| =  \lim_{ x\to +\infty } x oraz  \lim_{ x\to -\infty } |x| =  \lim_{ x\to -\infty } -x .

 

Przykład:

 \lim_{x \to +\infty} x^2 = +\infty

 \lim_{x \to -\infty} x^3 = -\infty

 \lim_{x \to +\infty} \frac1{x^2} = 0

 \lim_{x \to -\infty} \frac1{x^5} = 0

 \lim_{x \to -\infty} \frac{3x^3-1}{3x^2-x} = 
 \lim_{x \to -\infty} \frac{3x-\frac1{x^2}}{3-\frac1x} = -\infty

  \lim_{x \to -\infty} \frac{ \sqrt{1+x^2} }x = 
 \lim_{x \to -\infty} \frac{ \sqrt{x(\frac1{x^2}+1}) }x = 
 \lim_{x \to -\infty} \frac{ |x|\sqrt{\frac1{x^2}+1} }x =

 \lim_{x \to -\infty} \frac{ -x\sqrt{\frac1{x^2}+1} }x = 
 \lim_{x \to -\infty} (-\sqrt{\frac1{x^2}+1)} = -1

 

Zadania:

Policzyć następujące granice:

a)  \lim_{x \to -\infty} (2x^5-x^3+3),

b)  \lim_{x \to +\infty} \frac{ \sqrt{1+4x^2} }x,

c)  \lim_{x \to -\infty} \frac{3x^2-1}{x^3+x+2}.

 

Odpowiedzi:

a) -\infty,

b) 2,

c) 0.

Polecamy również:

Komentarze (0)
Wynik działania 2 + 1 =
Ostatnio komentowane
Ola jest fajną dziewczyną i lubi się bawić z dziećmi i jest w ogóle fajną kobietą....
• 2022-08-09 19:00:20
Rosja nadal jest państwem totalitarnym, a Polska sie nim staje.
• 2022-08-02 19:37:03
Ef. 6:12 [ 11 - 20]. 1Tes.2:13 ; 4: 8..... w tedy i dziś. Łuk.10: 16 .....
• 2022-08-01 16:36:20
To bardzo ciekawa historia godna uwagi każdego.
• 2022-07-12 15:12:25
@cotymowisz - dziękujemy za zwrócenie uwagi, wpis został poprawiony. Pozdrawiamy eszkol...
• 2022-07-07 11:03:54