Def.: Liczba \(g\) jest granicą funkcji \(f:(a,+\infty) \to R\) w \(+\infty\) (tzn. \( \lim_{x \to +\infty} f(x) = g\)), jeśli dla każdego ciągu \((x_n)\) rozbieżnego do \(+\infty\) o wyrazach należących do dziedziny funkcji \(f\) ciąg \((f(x_n))\) jest zbieżny do \(g\).
Def.: Liczba \(g\) jest granicą funkcji \(f:(-\infty,a) \to R\) w \(-\infty\) (tzn. \( \lim_{x \to -\infty} f(x) = g\)), jeśli dla każdego ciągu \((x_n)\) rozbieżnego do \(-\infty\) o wyrazach należących do dziedziny funkcji \(f\) ciąg \((f(x_n))\) jest zbieżny do \(g\).
Def.: Funkcja \(f:(a,+\infty) \to R\) ma w \(+\infty\) granicę niewłaściwą \(+\infty\) (tzn. \( \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\)), jeśli dla każdego ciągu \((x_n)\) rozbieżnego do \(+\infty\) o wyrazach należących do dziedziny funkcji \(f\) ciąg \((f(x_n))\) jest rozbieżny do \(+\infty\).
Def.: Funkcja \(f:(a,+\infty) \to R\) ma w \(+\infty\) granicę niewłaściwą \(-\infty\) (tzn. \( \lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty\)), jeśli dla każdego ciągu \((x_n)\) rozbieżnego do \(+\infty\) o wyrazach należących do dziedziny funkcji \(f\) ciąg \((f(x_n))\) jest rozbieżny do \(-\infty\).
Def.: Funkcja \(f:(-\infty,a) \to R\) ma w \(-\infty\) granicę niewłaściwą \(+\infty\) (tzn. \( \lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty\)), jeśli dla każdego ciągu \((x_n)\) rozbieżnego do \(-\infty\) o wyrazach należących do dziedziny funkcji \(f\) ciąg \((f(x_n))\) jest rozbieżny do \(+\infty\).
Def.: Funkcja \(f:(-\infty,a) \to R\) ma w \(-\infty\) granicę niewłaściwą \(-\infty\) (tzn. \( \lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty\)), jeśli dla każdego ciągu \((x_n)\) rozbieżnego do \(-\infty\) o wyrazach należących do dziedziny funkcji \(f\) ciąg \((f(x_n))\) jest rozbieżny do \(-\infty\).
Prawdziwe są następujące fakty ułatwiające liczenie granic funkcji (zakładamy cały czas, że \(n\) jest liczbą naturalną):
\( \lim_{x \to +\infty} x^n = +\infty\)
\( \lim_{x \to -\infty } x^n = \begin{cases} +\infty \Leftrightarrow \operator n jest parzyste \\ -\infty \Leftrightarrow \operator n jest nieparzyste \end{cases} \)
\( \lim_{x \to -\infty} \frac1{x^n} = 0\)
\( \lim_{x \to +\infty} \frac1{x^n} = 0\)
\( \lim_{x \to +\infty} \sqrt[n]{x} = +\infty\)
\( \lim_{x \to -\infty} \sqrt[n]{x} = -\infty\) (o ile \(n\) jest nieparzyste)
Zwróćmy uwagę także, że \( \lim_{ x\to +\infty } |x| = \lim_{ x\to +\infty } x \) oraz \( \lim_{ x\to -\infty } |x| = \lim_{ x\to -\infty } -x \).
Przykład:
\( \lim_{x \to +\infty} x^2 = +\infty\)
\( \lim_{x \to -\infty} x^3 = -\infty\)
\( \lim_{x \to +\infty} \frac1{x^2} = 0\)
\( \lim_{x \to -\infty} \frac1{x^5} = 0\)
\( \lim_{x \to -\infty} \frac{3x^3-1}{3x^2-x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{3x-\frac1{x^2}}{3-\frac1x} = -\infty \)
\( \lim_{x \to -\infty} \frac{ \sqrt{1+x^2} }x = \lim_{x \to -\infty} \frac{ \sqrt{x(\frac1{x^2}+1}) }x = \lim_{x \to -\infty} \frac{ |x|\sqrt{\frac1{x^2}+1} }x = \)
\( \lim_{x \to -\infty} \frac{ -x\sqrt{\frac1{x^2}+1} }x = \lim_{x \to -\infty} (-\sqrt{\frac1{x^2}+1)} = -1\)
Zadania:
Policzyć następujące granice:
a) \( \lim_{x \to -\infty} (2x^5-x^3+3)\),
b) \( \lim_{x \to +\infty} \frac{ \sqrt{1+4x^2} }x\),
c) \( \lim_{x \to -\infty} \frac{3x^2-1}{x^3+x+2}\).
Odpowiedzi:
a) \(-\infty\),
b) \(2\),
c) \(0\).