Granica funkcji w nieskończoności – definicja, przykłady

Def.: Liczba $g$ jest granicą funkcji $f:(a,+\infty) \to R$ w $+\infty$ (tzn. $\lim_{x \to +\infty} f(x) = g$ ), jeśli dla każdego ciągu $(x_n)$ rozbieżnego do $+\infty$ o wyrazach należących do dziedziny funkcji $f$ ciąg $(f(x_n))$ jest zbieżny do $g$ .

Def.: Liczba $g$ jest granicą funkcji $f:(-\infty,a) \to R$ w $-\infty$ (tzn. $\lim_{x \to -\infty} f(x) = g$ ), jeśli dla każdego ciągu $(x_n)$ rozbieżnego do $-\infty$ o wyrazach należących do dziedziny funkcji $f$ ciąg $(f(x_n))$ jest zbieżny do $g$ .

Def.: Funkcja $f:(a,+\infty) \to R$ ma w $+\infty$ granicę niewłaściwą $+\infty$ (tzn. $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ ), jeśli dla każdego ciągu $(x_n)$ rozbieżnego do $+\infty$ o wyrazach należących do dziedziny funkcji $f$ ciąg $(f(x_n))$ jest rozbieżny do $+\infty$ .

Def.: Funkcja $f:(a,+\infty) \to R$ ma w $+\infty$ granicę niewłaściwą $-\infty$ (tzn. $\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty$ ), jeśli dla każdego ciągu $(x_n)$ rozbieżnego do $+\infty$ o wyrazach należących do dziedziny funkcji $f$ ciąg $(f(x_n))$ jest rozbieżny do $-\infty$ .

Def.: Funkcja $f:(-\infty,a) \to R$ ma w $-\infty$ granicę niewłaściwą $+\infty$ (tzn. $\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty$ ), jeśli dla każdego ciągu $(x_n)$ rozbieżnego do $-\infty$ o wyrazach należących do dziedziny funkcji $f$ ciąg $(f(x_n))$ jest rozbieżny do $+\infty$ .

Def.: Funkcja $f:(-\infty,a) \to R$ ma w $-\infty$ granicę niewłaściwą $-\infty$ (tzn. $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$ ), jeśli dla każdego ciągu $(x_n)$ rozbieżnego do $-\infty$ o wyrazach należących do dziedziny funkcji $f$ ciąg $(f(x_n))$ jest rozbieżny do $-\infty$ .

Prawdziwe są następujące fakty ułatwiające liczenie granic funkcji (zakładamy cały czas, że $n$ jest liczbą naturalną):

$\lim_{x \to +\infty} x^n = +\infty$

$\lim_{x \to -\infty } x^n = \begin{cases} +\infty \Leftrightarrow \operator n jest parzyste \\ -\infty \Leftrightarrow \operator n jest nieparzyste \end{cases}$

$\lim_{x \to -\infty} \frac1{x^n} = 0$

$\lim_{x \to +\infty} \frac1{x^n} = 0$

$\lim_{x \to +\infty} \sqrt[n]{x} = +\infty$

$\lim_{x \to -\infty} \sqrt[n]{x} = -\infty$ (o ile $n$ jest nieparzyste)

Zwróćmy uwagę także, że $\lim_{ x\to +\infty } |x| = \lim_{ x\to +\infty } x$ oraz $\lim_{ x\to -\infty } |x| = \lim_{ x\to -\infty } -x$ .

Przykład:

$\lim_{x \to +\infty} x^2 = +\infty$

$\lim_{x \to -\infty} x^3 = -\infty$

$\lim_{x \to +\infty} \frac1{x^2} = 0$

$\lim_{x \to -\infty} \frac1{x^5} = 0$

$\lim_{x \to -\infty} \frac{3x^3-1}{3x^2-x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{3x-\frac1{x^2}}{3-\frac1x} = -\infty$

$\lim_{x \to -\infty} \frac{ \sqrt{1+x^2} }x = \lim_{x \to -\infty} \frac{ \sqrt{x(\frac1{x^2}+1}) }x = \lim_{x \to -\infty} \frac{ |x|\sqrt{\frac1{x^2}+1} }x =$

$\lim_{x \to -\infty} \frac{ -x\sqrt{\frac1{x^2}+1} }x = \lim_{x \to -\infty} (-\sqrt{\frac1{x^2}+1)} = -1$

Zadania:

Policzyć następujące granice:

a) $\lim_{x \to -\infty} (2x^5-x^3+3)$ ,

b) $\lim_{x \to +\infty} \frac{ \sqrt{1+4x^2} }x$ ,

c) $\lim_{x \to -\infty} \frac{3x^2-1}{x^3+x+2}$ .

Odpowiedzi:

a) $-\infty$ ,

b) $2$ ,

c) $0$ .

Polecamy również:

Obliczanie granicy funkcji – przykłady, zadania

Podobnie jak w przypadku granic ciągów, tak też dla funkcji określone zostały pewne fakty ułatwiające znajdowanie ich granic. Więcej »
Granice jednostronne funkcji – przykłady, zadania

Granicami jednostronnymi funkcji w punkcie nazywamy granice prawostronną oraz lewostronną tej funkcji w tym punkcie. Więcej »
Granica niewłaściwa funkcji – przykłady, zadania

Granicami niewłaściwymi funkcji nazywamy granice plus i minus nieskończoność. Więcej »
Symbole nieoznaczone

Symbole nieoznaczona są wyrażeniami, na które możemy natrafić podczas wyznaczania granic. Zaliczamy do nich następujące wyrażenia... Więcej »
Reguła de l'Hospitala

Twierdzenie de l'Hospitala jest wygodnym sposobem liczenia pewnych granic. W tym celu posługujemy się pochodnymi. Więcej »

Komentarze (0)

Granica funkcji w nieskończoności – definicja, przykłady

Przykład:

Zadania:

Odpowiedzi:

Polecamy również:

Zobacz również

Obliczanie granicy funkcji – przykłady, zadania

Granice jednostronne funkcji – przykłady, zadania

Granica niewłaściwa funkcji – przykłady, zadania

Symbole nieoznaczone

Reguła de l'Hospitala

Losowe zadania

Mając do dyspozycji podane odczynniki otrzymaj kwas krzemowy

Osoby związane z geografią

Abiotyczne i biotyczne czynniki środowiska

Rozkładanie wielomianu na czynniki

Narządy zmysłów i ich funkcje