Podobnie jak w przypadku granic ciągów, tak też dla funkcji określone zostały pewne fakty ułatwiające znajdowanie ich granic.
Na początek podajmy dwa trywialne i oczywiste fakty dotyczące granic funkcji:
Granicą funkcji stałej w punkcie
jest liczba
, tzn.
.
Granicą funkcji liniowej w punkcie
jest
, tzn.
.
Uogólnieniem tych dwóch faktów jest następująca obserwacja:
Jeśli jest wielomianem to jej granica w punkcie
jest równa jej wartości w tym punkcie, tzn.
.
W ogólności powyższe twierdzenie jest prawdziwe dla wszystkich funkcji ciągłych określonych w .
Twierdzenie o arytmetyce granic funkcji:
Niech dane będą funkcje i
takie, że
i
. Wówczas
(1) , dla
,
(2) ,
(3) ,
(4) , o ile
.
Przykład:
Funkcja jest funkcją ciągłą, a zatem jej granica w punkcie
równa jest jej wartości w tym punkcie:
.
Przypomnijmy, że funkcje sinus i cosinus są funkcjami ciągłymi, zatem .
Zadania:
Policzyć następujące granice:
a) ,
b) ,
c) .
Odpowiedzi:
a) ,
b) ,
c) .