1. Strona główna
    2. /
  2. Matematyka
    3. /
  3. Obliczanie granicy funkcji

Obliczanie granicy funkcji – przykłady, zadania

Podobnie jak w przypadku granic ciągów, tak też dla funkcji określone zostały pewne fakty ułatwiające znajdowanie ich granic.

Na początek podajmy dwa trywialne i oczywiste fakty dotyczące granic funkcji:

Granicą funkcji stałej f(x) = c w punkcie x_0 jest liczba c, tzn.  \lim_{x \to x_0}f(x) = c.

Granicą funkcji liniowej f(x) = x w punkcie x_0 jest x = x_0, tzn.  \lim_{x \to x_0}f(x) = x_0.

Uogólnieniem tych dwóch faktów jest następująca obserwacja:

Jeśli f jest wielomianem to jej granica w punkcie x_0 jest równa jej wartości w tym punkcie, tzn.  \lim_{ x\to x_0 } f(x) = f(x_0).

W ogólności powyższe twierdzenie jest prawdziwe dla wszystkich funkcji ciągłych określonych w x_0.

 

Twierdzenie o arytmetyce granic funkcji:

Niech dane będą funkcje f(x) i g(x) takie, że  \lim_{x \to x_0} f(x) = a i  \lim_{x \to x_0} f(x) = b. Wówczas

(1)  \lim_{x \to x_0} c\cdot f(x) = c\cdot \lim_{x \to x_0} f(x) = c\cdot a, dla c \in R,

(2)  \lim_{x \to x_0}(f(x) \pm g(x)) = \lim_{x \to x_0} f(x) \pm \lim_{x \to x_0}g(x) = a \pm b,

(3)  \lim_{x \to x_0} (f(x)\cdot g(x)) = \lim_{x \to x_0} f(x) \cdot \lim_{x \to x_0} g(x) = a \cdot b,

(4)  \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{ \lim_{x \to x_0}f(x)}{ \lim_{x \to x_0}g(x)} = \frac ab, o ile b \neq 0.

 

Przykład:

\lim_{x \to 2} (5x^2-2) = \lim_{x \to 2} 5x^2 -\lim_{x \to 2} 2 =

5\lim_{x \to 2} x^2 -2 = 5 \lim_{x \to 2}x \cdot \lim_{x \to 2} x - 2 = 5\cdot 2 \cdot2 - 2 = 18

 

\lim_{x \to 0} (x^5-1)^{100} = ? 

Funkcja f(x) = (x^5-1)^{100} jest funkcją ciągłą, a zatem jej granica w punkcie x_0 = 0 równa jest jej wartości w tym punkcie: \lim_{x \to 0} (x^5-1)^{100} = (0^5-1)^{100} = (-1)^{100} =1.

Przypomnijmy, że funkcje sinus i cosinus są funkcjami ciągłymi, zatem  \lim_{x \to \pi } (\sin x - \cos x) = \sin \pi - \cos \pi = 0 - (-1) =1.

 

Zadania:

Policzyć następujące granice:

a) \lim_{x \to 2} \frac{x^3+x^2+3}{x^2-1},

b)  \lim_{x \to -\frac{\pi}4} (\frac{\sin x}{\cos x}+6),

c)  \lim_{ x\to 2} \frac{x^3-3}{x-3}.

 

Odpowiedzi:

a) 5,

b) 5,

c) -5.

Polecamy również:

Zobacz również

Losowe zadania

Komentarze (0)
Wynik działania 5 + 2 =
Ostatnio komentowane
Resublimacja
lol
• 2023-09-24 15:47:42
Stanisław Wyspiański
Muszę na poniedziałek napisać coś o "portret z pelargoniami" ale niestety tu nie znala...
• 2023-09-24 10:07:26
Środek ciężkości bryły sztywnej
chyba ta
• 2023-09-21 19:21:13
Wojna trzynastoletnia (1454-1466)
dsasdsadasssssssss
• 2023-09-21 18:28:08
Zmierzch
????
• 2023-09-20 13:10:13