Obliczanie granicy funkcji – przykłady, zadania

Podobnie jak w przypadku granic ciągów, tak też dla funkcji określone zostały pewne fakty ułatwiające znajdowanie ich granic.

Na początek podajmy dwa trywialne i oczywiste fakty dotyczące granic funkcji:

Granicą funkcji stałej \(f(x) = c\) w punkcie \(x_0\) jest liczba \(c\), tzn. \( \lim_{x \to x_0}f(x) = c\).

Granicą funkcji liniowej \(f(x) = x\) w punkcie \(x_0\) jest \(x = x_0\), tzn. \( \lim_{x \to x_0}f(x) = x_0\).

Uogólnieniem tych dwóch faktów jest następująca obserwacja:

Jeśli \(f\) jest wielomianem to jej granica w punkcie \(x_0\) jest równa jej wartości w tym punkcie, tzn. \( \lim_{ x\to x_0 } f(x) = f(x_0)\).

W ogólności powyższe twierdzenie jest prawdziwe dla wszystkich funkcji ciągłych określonych w \(x_0\).

 

Twierdzenie o arytmetyce granic funkcji:

Niech dane będą funkcje \(f(x)\)\(g(x)\) takie, że \( \lim_{x \to x_0} f(x) = a\)\( \lim_{x \to x_0} f(x) = b\). Wówczas

(1) \( \lim_{x \to x_0} c\cdot f(x) = c\cdot \lim_{x \to x_0} f(x) = c\cdot a\), dla \(c \in R\),

(2) \( \lim_{x \to x_0}(f(x) \pm g(x)) = \lim_{x \to x_0} f(x) \pm \lim_{x \to x_0}g(x) = a \pm b\),

(3) \( \lim_{x \to x_0} (f(x)\cdot g(x)) = \lim_{x \to x_0} f(x) \cdot \lim_{x \to x_0} g(x) = a \cdot b\),

(4) \( \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{ \lim_{x \to x_0}f(x)}{ \lim_{x \to x_0}g(x)} = \frac ab\), o ile \(b \neq 0\).

 

Przykład:

\( \lim_{x \to 2} (5x^2-2) = \lim_{x \to 2} 5x^2 -\lim_{x \to 2} 2 = \)

\( 5\lim_{x \to 2} x^2 -2 = 5 \lim_{x \to 2}x \cdot \lim_{x \to 2} x - 2 = 5\cdot 2 \cdot2 - 2 = 18\)

 

\( \lim_{x \to 0} (x^5-1)^{100} = ?\) 

Funkcja \(f(x) = (x^5-1)^{100}\) jest funkcją ciągłą, a zatem jej granica w punkcie \(x_0 = 0\) równa jest jej wartości w tym punkcie:\( \lim_{x \to 0} (x^5-1)^{100} = (0^5-1)^{100} = (-1)^{100} =1\).

Przypomnijmy, że funkcje sinus i cosinus są funkcjami ciągłymi, zatem \( \lim_{x \to \pi } (\sin x - \cos x) = \sin \pi - \cos \pi = 0 - (-1) =1\).

 

Zadania:

Policzyć następujące granice:

a) \( \lim_{x \to 2} \frac{x^3+x^2+3}{x^2-1}\),

b) \( \lim_{x \to -\frac{\pi}4} (\frac{\sin x}{\cos x}+6)\),

c) \( \lim_{ x\to 2} \frac{x^3-3}{x-3}\).

 

Odpowiedzi:

a) \(5\),

b) \(5\),

c) \(-5\).

Polecamy również:

Komentarze (0)
Wynik działania 5 + 4 =
Ostatnio komentowane
kupa
• 2024-11-06 19:37:57
na czym polegają te fundacje i stowarzyszenia? brakuje tu wyjaśnienia i jakiegoś przyk�...
• 2024-11-05 17:38:04
Głupota w tekście! Janusz i Agnieszka się nie związali, bo byli bardzo bliskim kuzynos...
• 2024-10-27 17:40:49
Super
• 2024-10-21 17:09:20
Bardzo trudne.
• 2024-10-21 13:31:17