Podobnie jak w przypadku granic ciągów, tak też dla funkcji określone zostały pewne fakty ułatwiające znajdowanie ich granic.
Na początek podajmy dwa trywialne i oczywiste fakty dotyczące granic funkcji:
Granicą funkcji stałej \(f(x) = c\) w punkcie \(x_0\) jest liczba \(c\), tzn. \( \lim_{x \to x_0}f(x) = c\).
Granicą funkcji liniowej \(f(x) = x\) w punkcie \(x_0\) jest \(x = x_0\), tzn. \( \lim_{x \to x_0}f(x) = x_0\).
Uogólnieniem tych dwóch faktów jest następująca obserwacja:
Jeśli \(f\) jest wielomianem to jej granica w punkcie \(x_0\) jest równa jej wartości w tym punkcie, tzn. \( \lim_{ x\to x_0 } f(x) = f(x_0)\).
W ogólności powyższe twierdzenie jest prawdziwe dla wszystkich funkcji ciągłych określonych w \(x_0\).
Twierdzenie o arytmetyce granic funkcji:
Niech dane będą funkcje \(f(x)\) i \(g(x)\) takie, że \( \lim_{x \to x_0} f(x) = a\) i \( \lim_{x \to x_0} f(x) = b\). Wówczas
(1) \( \lim_{x \to x_0} c\cdot f(x) = c\cdot \lim_{x \to x_0} f(x) = c\cdot a\), dla \(c \in R\),
(2) \( \lim_{x \to x_0}(f(x) \pm g(x)) = \lim_{x \to x_0} f(x) \pm \lim_{x \to x_0}g(x) = a \pm b\),
(3) \( \lim_{x \to x_0} (f(x)\cdot g(x)) = \lim_{x \to x_0} f(x) \cdot \lim_{x \to x_0} g(x) = a \cdot b\),
(4) \( \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{ \lim_{x \to x_0}f(x)}{ \lim_{x \to x_0}g(x)} = \frac ab\), o ile \(b \neq 0\).
Przykład:
\( \lim_{x \to 2} (5x^2-2) = \lim_{x \to 2} 5x^2 -\lim_{x \to 2} 2 = \)
\( 5\lim_{x \to 2} x^2 -2 = 5 \lim_{x \to 2}x \cdot \lim_{x \to 2} x - 2 = 5\cdot 2 \cdot2 - 2 = 18\)
\( \lim_{x \to 0} (x^5-1)^{100} = ?\)
Funkcja \(f(x) = (x^5-1)^{100}\) jest funkcją ciągłą, a zatem jej granica w punkcie \(x_0 = 0\) równa jest jej wartości w tym punkcie:\( \lim_{x \to 0} (x^5-1)^{100} = (0^5-1)^{100} = (-1)^{100} =1\).
Przypomnijmy, że funkcje sinus i cosinus są funkcjami ciągłymi, zatem \( \lim_{x \to \pi } (\sin x - \cos x) = \sin \pi - \cos \pi = 0 - (-1) =1\).
Zadania:
Policzyć następujące granice:
a) \( \lim_{x \to 2} \frac{x^3+x^2+3}{x^2-1}\),
b) \( \lim_{x \to -\frac{\pi}4} (\frac{\sin x}{\cos x}+6)\),
c) \( \lim_{ x\to 2} \frac{x^3-3}{x-3}\).
Odpowiedzi:
a) \(5\),
b) \(5\),
c) \(-5\).