Rozwiązywanie nierówności trygonometrycznych

Rozwiąż nierówność

a) 2\ \cos^2 x \geq 1,

b) |\text{tg}x|\ \geq\ \sqrt[]{3} (podaj rozwiązanie należące do przedziału \left\langle 0\ ;\  2\pi\right\rangle,

c) \sqrt[]{2}\sin x \ \leq\  1.

Liceum Matematyka

Odpowiedź eSzkola.pl

Aleksandra Ekspert eSzkola.pl
26.02.2020 14:15

a)

2\ \cos^2 x \geq 1

\cos^2 x\ \geq\ \frac{1}{2}

Nierówność jest spełniona, gdy

\cos x \geq \frac{\sqrt[]{2}}{2} \hspace{20pt} \text{lub} \hspace{20pt} \cos x\leq - \frac{\sqrt[]{2}}{2}.

Z wykresu odczytujemy rozwiązania.

x \in \left\langle-\frac{\pi}{4} + 2k\pi;\ \frac{\pi}{4}+2 k \pi\right\rangle \hspace{20 pt} \text{lub} \hspace{20pt} x \in \left\langle\frac{3\pi}{4} + 2k\pi;\ \frac{5\pi}{4}+2 k \pi\right\rangle

Możemy to zapisać w prostszej postaci

x \in \left\langle-\frac{\pi}{4} + k\pi;\ \frac{\pi}{4}+ k \pi\right\rangle .


b)

 |\text{tg}x|\ \geq\ \sqrt[]{3}

Korzystając z własności wartości bezwzględnej, otrzymujemy dwie możliwości

\text{tg}x \ \geq \ \sqrt[]{3} \hspace{20pt} \text{lub} \hspace{20pt} \text{tg}x \leq - \sqrt[]{3}.

Wyznaczamy punkty, dla których zachodzi równość

\text{tg}x \ = \ \sqrt[]{3} \hspace{20pt} \text{lub} \hspace{20pt} \text{tg}x = - \sqrt[]{3}.

Otrzymujemy dla pierwszej możliwości

x = \frac{\pi}{3} + k \pi \hspace{20pt} \text{  dla  } k\in C

oraz dla drugiego równania, wiedząc że -\text{tg}x \ = \ \text{tg} (- x), dostajemy

-x = \frac{\pi}{3} \ +\ l\pi \hspace{20pt} \text{  dla  } l\in C,

x = -\frac{\pi}{3} \ +\ k\pi \hspace{20pt} \text{  dla  } k\in C,

x = \frac{2\pi}{3} \ +\ k\pi \hspace{20pt} \text{  dla  } k\in C.

Z wyskresu, na którym zaznaczamy odpowiednie punkty, odczytujemy rozwiązanie



|\text{tg}x|\ \geq \ \sqrt[]{3}\hspace{20pt} \text{dla}\hspace{5pt}  x\in \left\langle \frac{\pi}{3}\ ;\ \frac{\pi}{2}\right) \ \cup\  \left( \frac{\pi}{2}\ ;\ \frac{2\pi}{3}\right\rangle\ \cup\ \left\langle\frac{4\pi}{3}\ ;\ \frac{3\pi}{2} \right) \ \cup\  \left(\frac{3\pi}{2}\ ;\  \frac{5\pi}{3}\right\rangle.


c) 

\sqrt[]{2}\sin x \ \leq\  1

Przekształcamy nierówność dzieląc obie strony przez \sqrt[]{2} i usuwając niewymierność

\sin x \ \leq\  \frac{\sqrt[]{2}}{2}.

Wyznaczamy punkty, dla których zachodzi równość

x = \frac{\pi}{4}\ +\ 2k\pi \hspace{20pt} \text{lub} \hspace{20pt} x=\frac{3\pi}{4}\ +\ 2k\pi \hspace{20pt} \text{dla } k\in C.

Korzystając z wykresu, odczytujemy rozwiązanie


\sqrt[]{2}\sin x \ \leq\  1\hspace{20pt} \text{  dla  } x \in R\setminus \left( \frac{\pi}{4} +2 k\pi\ ;\ \frac{3\pi}{4}+2k\pi\right) \text{ , gdzie } k\in C











Dzięki! 0
Znasz odpowiedź na to pytanie?
Wynik działania 1 + 2 =
Wszystkie odpowiedzi (0)

Rozwiąż również: