Rozwiązywanie nierówności trygonometrycznych

Rozwiąż nierówność

a) $2\ \cos^2 x \geq 1$ ,

b) $|\text{tg}x|\ \geq\ \sqrt[]{3}$ (podaj rozwiązanie należące do przedziału $\left\langle 0\ ;\ 2\pi\right\rangle$ ,

c) $\sqrt[]{2}\sin x \ \leq\ 1$ .

Liceum Matematyka

Odpowiedź eSzkola.pl

Aleksandra Ekspert eSzkola.pl

26.02.2020 14:15

$2\ \cos^2 x \geq 1$

$\cos^2 x\ \geq\ \frac{1}{2}$

Nierówność jest spełniona, gdy

$\cos x \geq \frac{\sqrt[]{2}}{2} \hspace{20pt} \text{lub} \hspace{20pt} \cos x\leq - \frac{\sqrt[]{2}}{2}$ .

Z wykresu odczytujemy rozwiązania.

$x \in \left\langle-\frac{\pi}{4} + 2k\pi;\ \frac{\pi}{4}+2 k \pi\right\rangle \hspace{20 pt} \text{lub} \hspace{20pt} x \in \left\langle\frac{3\pi}{4} + 2k\pi;\ \frac{5\pi}{4}+2 k \pi\right\rangle$

Możemy to zapisać w prostszej postaci

$x \in \left\langle-\frac{\pi}{4} + k\pi;\ \frac{\pi}{4}+ k \pi\right\rangle$ .

$|\text{tg}x|\ \geq\ \sqrt[]{3}$

Korzystając z własności wartości bezwzględnej, otrzymujemy dwie możliwości

$\text{tg}x \ \geq \ \sqrt[]{3} \hspace{20pt} \text{lub} \hspace{20pt} \text{tg}x \leq - \sqrt[]{3}$ .

Wyznaczamy punkty, dla których zachodzi równość

$\text{tg}x \ = \ \sqrt[]{3} \hspace{20pt} \text{lub} \hspace{20pt} \text{tg}x = - \sqrt[]{3}$ .

Otrzymujemy dla pierwszej możliwości

$x = \frac{\pi}{3} + k \pi \hspace{20pt} \text{ dla } k\in C$

oraz dla drugiego równania, wiedząc że $-\text{tg}x \ = \ \text{tg} (- x)$ , dostajemy

$-x = \frac{\pi}{3} \ +\ l\pi \hspace{20pt} \text{ dla } l\in C$ ,

$x = -\frac{\pi}{3} \ +\ k\pi \hspace{20pt} \text{ dla } k\in C$ ,

$x = \frac{2\pi}{3} \ +\ k\pi \hspace{20pt} \text{ dla } k\in C$ .

Z wyskresu, na którym zaznaczamy odpowiednie punkty, odczytujemy rozwiązanie

$|\text{tg}x|\ \geq \ \sqrt[]{3}\hspace{20pt} \text{dla}$ $\hspace{5pt} x\in \left\langle \frac{\pi}{3}\ ;\ \frac{\pi}{2}\right) \ \cup\$ $\left( \frac{\pi}{2}\ ;\ \frac{2\pi}{3}\right\rangle\ \cup\ \left\langle\frac{4\pi}{3}\ ;\ \frac{3\pi}{2} \right) \ \cup\ \left(\frac{3\pi}{2}\ ;\ \frac{5\pi}{3}\right\rangle$ .

$\sqrt[]{2}\sin x \ \leq\ 1$

Przekształcamy nierówność dzieląc obie strony przez $\sqrt[]{2}$ i usuwając niewymierność

$\sin x \ \leq\ \frac{\sqrt[]{2}}{2}$ .

Wyznaczamy punkty, dla których zachodzi równość

$x = \frac{\pi}{4}\ +\ 2k\pi \hspace{20pt} \text{lub} \hspace{20pt} x=\frac{3\pi}{4}\ +\ 2k\pi \hspace{20pt} \text{dla } k\in C$ .

Korzystając z wykresu, odczytujemy rozwiązanie

$\sqrt[]{2}\sin x \ \leq\ 1\hspace{20pt} \text{ dla } x \in R\setminus \left( \frac{\pi}{4} +2 k\pi\ ;\ \frac{3\pi}{4}+2k\pi\right) \text{ , gdzie } k\in C$

Dzięki! 0

Znasz odpowiedź na to pytanie?

Wszystkie odpowiedzi (0)

Rozwiązywanie nierówności trygonometrycznych

Odpowiedź eSzkola.pl

Rozwiąż również: