Równanie trygonometryczne

Rozwiąż równanie sin8x + cos4x = 2sin4x + 1 dla x \in [0, \Pi]

Liceum Matematyka

Odpowiedź eSzkola.pl

Avatar
Weronika Ekspert eSzkola.pl
21.04.2023 16:00

Skorzystajmy tutaj ze wzoru na sinus podwójnego kąta

sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha

2sin4xcos4x + cos4x = 2sin4x+1

cos4x(2sin4x+1)=2sin4x+1

cos4x(2sin4x+1)-(2sin4x+1)=0

(2sin4x+1)(cos4x-1)=0

Rozbijamy to na dwa równania:

2sin4x+1=0 lub cos4x-1=0

2\sin4x=-1 lub \cos4x=1

sin4x=-\frac{1}{2} lub \cos4x=1

Wprowadźmy oznaczenia t=4x

\sin t=-\frac{1}{2} lub \cos t=1

t=\frac{5\Pi}{6} + 2k\Pi lub t=\frac{11\Pi}{6}  +2k\Pi lub t=0 + 2k\Pi

Wracając do zmiennej x:

4x=\frac{5\Pi}{6}+2k\Pi lub 4x=\frac{11\Pi}{6}+2k\Pi lub 4x=2k\Pi

x=\frac{5\Pi}{24} + k\frac{\Pi}{2} lub x=\frac{11\Pi}{24}+k\frac{\Pi}{2} lub x=k\frac{\Pi}{2}, gdzie k jest liczbą całkowitą

Nasze równanie rozwiązujemy w przedziale [0;\Pi], stąd

dla k=0 mamy rozwiązania x=\frac{5\Pi}{24} lub x=\frac{11\Pi}{24} lub x=0

dla k=1 mamy rozwiązania x=\frac{17 \Pi}{24} lub x=\frac{23\Pi}{24} lub x=\frac{\Pi}{2}

dla k=2 mamy rozwiązanie x=\Pi

Dzięki! 0
Znasz odpowiedź na to pytanie?
Wynik działania 3 + 5 =
Wszystkie odpowiedzi (0)

Rozwiąż również:

  • Wiedza