Strona główna

/

Zadania

/

Matematyka

/

Liceum

Równanie trygonometryczne

Rozwiąż równanie sin8x + cos4x = 2sin4x + 1 dla $x \in [0, \Pi]$

Liceum Matematyka

Odpowiedź eSzkola.pl

Weronika Ekspert eSzkola.pl

21.04.2023 16:00

Skorzystajmy tutaj ze wzoru na sinus podwójnego kąta

$sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$

$2sin4xcos4x + cos4x = 2sin4x+1$

$cos4x(2sin4x+1)=2sin4x+1$

$cos4x(2sin4x+1)-(2sin4x+1)=0$

$(2sin4x+1)(cos4x-1)=0$

Rozbijamy to na dwa równania:

$2sin4x+1=0$ lub $cos4x-1=0$

$2\sin4x=-1$ lub $\cos4x=1$

$sin4x=-\frac{1}{2}$ lub $\cos4x=1$

Wprowadźmy oznaczenia t=4x

$\sin t=-\frac{1}{2}$ lub $\cos t=1$

$t=\frac{5\Pi}{6}$ $+ 2k\Pi$ lub $t=\frac{11\Pi}{6}$ $+2k\Pi$ lub $t=0 + 2k\Pi$

Wracając do zmiennej x:

$4x=\frac{5\Pi}{6}+2k\Pi$ lub $4x=\frac{11\Pi}{6}+2k\Pi$ lub $4x=2k\Pi$

$x=\frac{5\Pi}{24} + k\frac{\Pi}{2}$ lub $x=\frac{11\Pi}{24}+k\frac{\Pi}{2}$ lub $x=k\frac{\Pi}{2}$ , gdzie k jest liczbą całkowitą

Nasze równanie rozwiązujemy w przedziale $[0;\Pi]$ , stąd

dla k=0 mamy rozwiązania $x=\frac{5\Pi}{24}$ lub $x=\frac{11\Pi}{24}$ lub $x=0$

dla k=1 mamy rozwiązania $x=\frac{17 \Pi}{24}$ lub $x=\frac{23\Pi}{24}$ lub $x=\frac{\Pi}{2}$

dla k=2 mamy rozwiązanie $x=\Pi$

Dzięki! 0

Znasz odpowiedź na to pytanie?

Wszystkie odpowiedzi (0)

Rozwiąż również: